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学习如何解决“区间划分”问题（一般方法论+实例应用讲解）

news 来源：原创 2025/5/13 17:14:00

文章目录

解决“区间划分”问题的一般方法论
- 方法论：解决区间划分问题的四步法
- - 1. 问题分析与建模
  - 2. 动态规划状态的定义
  - 3. 状态转移方程
  - 4. 初始条件与边界
- 方法论应用：最小和最大石子合并得分
- - 问题描述
  - 步骤 1：问题分析与建模
  - 步骤 2：动态规划状态定义
  - 步骤 3：状态转移方程
  - 步骤 4：初始条件与实现
  - 代码实现
  - 示例运行
  - 总结

解决“区间划分”问题的一般方法论

在算法竞赛和动态规划领域，“区间划分”问题是一类重要的题型。它们的共同点是：

一个序列需要按某种规则被分成若干部分，
通过特定操作合并这些部分，达到最优目标（最小化或最大化某个值）。

这类问题需要我们构造合适的动态规划模型，掌握核心思路后，可以灵活解决多种场景下的区间划分问题。

方法论：解决区间划分问题的四步法

1. 问题分析与建模

对于“区间划分”问题，通常会问：

给定一个序列或区间，如何通过某种方式划分（或合并）使得某种代价最小化或收益最大化？

我们需要：

定义一个合理的状态表示当前问题的局部最优解。
找到问题的递归关系，即如何用更小的子问题求解当前问题。

2. 动态规划状态的定义

核心是找到一个合适的状态表示：

令 dp[i][j] 表示某个区间 [i, j] 的最优解
比如，合并区间的最小代价或最大收益：
根据题目要求，dp[i][j] 的定义可以是：
- 从第 i 堆到第 j 堆合并的最小得分。
- 从第 i 堆到第 j 堆合并的最大得分。
- 等等。

3. 状态转移方程

为了求解 dp[i][j]，需要找到如何将 [i, j] 分成两部分，从而通过递归子问题解决区间问题：

通常通过一个分割点 k，将区间 [i, j] 分成两部分 [i, k] 和 [k+1, j]。
我们假设 [i, k] 和 [k+1, j] 的最优解已经通过 dp 数组计算出来，那么：
$\min_{i \leq k < j} (dp[i][k] + dp[k+1][j] + \text{额外的代价})$
或者：
$\max_{i \leq k < j} (dp[i][k] + dp[k+1][j] + \text{额外的收益})$

额外的代价或收益通常与当前区间 [i, j] 的属性相关，比如它的总和、长度等。

4. 初始条件与边界

例如，常见的边界条件可以是：区间 [i, j] 的长度为 1，即 i == j，那么区间无需操作，从而 dp[i][i] = 0。
确保 dp[i][j] 的计算顺序满足依赖关系（从小区间到大区间逐步计算）。

方法论应用：最小和最大石子合并得分

接下来，将我们可以试着一步步将刚学到的方法论应用于实际的例子中

问题描述

我们有 n 堆石子排成一排，石子数依次为 [a1, a2, ..., an]。我们需要通过 n-1 次合并，使所有石子堆合并成一堆，每次合并的得分为两堆石子的总和：

求使得总得分最小的合并方式。
求使得总得分最大的合并方式。

步骤 1：问题分析与建模

对于区间 [i, j]，其最优合并得分（最小或最大）取决于：

如何将区间 [i, j] 分成两部分 [i, k] 和 [k+1, j]。
每次合并产生的额外得分是区间 [i, j] 的总石子数 sum[i][j]。

我们定义：

dp_min[i][j]：区间 [i, j] 合并成一堆的最小得分。
dp_max[i][j]：区间 [i, j] 合并成一堆的最大得分。

步骤 2：动态规划状态定义

状态 dp_min[i][j] 表示从第 i 堆到第 j 堆合并的最小代价。
状态 dp_max[i][j] 表示从第 i 堆到第 j 堆合并的最大代价。

步骤 3：状态转移方程

我们选择分割点 k，将区间 [i, j] 分成两部分 [i, k] 和 [k+1, j]：

最小得分：
$dp\_min[i][j] = \min_{i \leq k < j} (dp\_min[i][k] + dp\_min[k+1][j] + sum[i][j])$
最大得分：
$dp\_max[i][j] = \max_{i \leq k < j} (dp\_max[i][k] + dp\_max[k+1][j] + sum[i][j])$

其中 sum[i][j] 是区间 [i, j] 的总和，可以通过前缀和快速计算。

步骤 4：初始条件与实现

当 i == j 时，dp_min[i][i] = 0 和 dp_max[i][i] = 0，因为单个石子堆无需合并。
我们从长度为 2 的区间开始，逐步扩展到整个区间 [0, n-1]。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;vector<int> stones(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> stones[i];}// 计算前缀和vector<vector<int>> sum(n, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < n; ++i) {sum[i][i] = stones[i];for (int j = i + 1; j < n; ++j) {sum[i][j] = sum[i][j - 1] + stones[j];}}// 初始化 dp 数组vector<vector<int>> dp_min(n, vector<int>(n, 0));vector<vector<int>> dp_max(n, vector<int>(n, 0));// 动态规划求解for (int len = 2; len <= n; ++len) {for (int i = 0; i <= n - len; ++i) {int j = i + len - 1;dp_min[i][j] = INT_MAX;dp_max[i][j] = INT_MIN;for (int k = i; k < j; ++k) {dp_min[i][j] = min(dp_min[i][j], dp_min[i][k] + dp_min[k+1][j] + sum[i][j]);dp_max[i][j] = max(dp_max[i][j], dp_max[i][k] + dp_max[k+1][j] + sum[i][j]);}}}// 输出最小和最大得分cout << dp_min[0][n-1] << endl;cout << dp_max[0][n-1] << endl;return 0;
}

示例运行

输入：

4
4 5 9 4

输出：

44
54

解释：

最小得分：合并顺序通过动态规划找到，使得代价最小。
最大得分：合并顺序通过动态规划找到，使得收益最大。

总结

通过本例我们总结了解决“区间划分”问题的步骤：

问题建模：将问题描述转化为求解某个区间的最优解。
状态定义：用动态规划数组表示子区间的最优解。
状态转移：通过分割区间，递归地构建当前区间的最优解。
逐步求解：从小区间到大区间逐步扩展，最终得到整个问题的最优解。

掌握了这个方法论，你就可以轻松应对类似的区间动态规划问题了！
希望本篇博客对你有所帮助！

学习如何解决“区间划分”问题（一般方法论+实例应用讲解）

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