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线性代数与解析几何——Part4 欧式空间酉空间

news 来源：原创 2024/7/27 21:44:09

线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 & 酉空间
- 1. 欧氏空间
  - 1. 定义 & 性质
  - 2. 内积表示与标准正交基
  - 3. 欧氏空间的同构
  - 4. 欧氏空间的线性变换
  - 5. 欧氏空间的子空间
- 2. 酉空间
  - 1. 定义 & 性质
  - 2. 酉变换
  - 3. Hermite变换
  - 4. 规范变换

1. 欧氏空间

1. 定义 & 性质

定义7.1.1
设 $V$ 是实数域 $R\bold{R}$ 上的线性空间，如果 $V$ 中的任意两个向量 $a,b\bold{a,b}$ 均按照某一法则对应一个实数，记作 $(a,b)(\bold{a,b})$ ，且满足：

对称性：对任意两个向量 $a,b∈V\bold{a,b} \in V$ ，有：
$(a,b)=(b,a)(\bold{a,b}) = (\bold{b,a})$
线性性：对任意实数 $λ\lambda$ 和任意三个向量 $a,b,c∈V\bold{a,b,c} \in V$ ，有：
$(λa,b)=λ(a,b)(\lambda \bold{a,b}) = \lambda (\bold{a,b})$
$(a+b,c)=(a,c)+(b,c)(\bold{a+b, c}) = (\bold{a,c}) + (\bold{b,c})$
正定性：对任意一个向量 $a∈V\bold{a} \in V$ ，有 $(a,a)≥0(\bold{a,a}) \geq 0$ ，等号成立当且仅当 $a=0\bold{a} = \bold{0}$ 。

则称 $(a,b)(\bold{a,b})$ 为向量 $a,b\bold{a,b}$ 的内积，定义了内记的实数域 $R\bold{R}$ 上的线性空间 $V$ 称为欧几里得（Euclid）空间，简称欧氏空间。

对于欧氏空间，有Cauchy-Schwarz不等式：

定理7.1.1（Cauchy-Schwarz不等式）
设 $V$ 是欧式空间， $(⋅,⋅)(\cdot,\cdot)$ 是 $V$ 的内积，则对 $V$ 当中的任意两个向量 $a,b\bold{a,b}$ ，有：
$∣(a,b)∣≤(a,a)(b,b)|(\bold{a,b})| \leq \sqrt{(\bold{a,a})(\bold{b,b})}$

定义 7.1.2
设 $V$ 是欧式空间， $(⋅,⋅)(\cdot, \cdot)$ 是 $V$ 的内积，对于任意的 $a∈V\bold{a} \in V$ ，称
$∣a∣=(a,a)|\bold{a}| = \sqrt{(\bold{a,a})}$
为 $a\bold{a}$ 的长度或者模。

模长具有如下性质：

对称性： $d(a,b)=d(b,a)d(\bold{a,b}) = d(\bold{b,a})$
正定性： $d(a,b)≥0d(\bold{a,b}) \geq 0$ ，等号成立当且仅当 $a=b\bold{a} = \bold{b}$
三角不等式： $d(a,b)≤d(a,c)+d(b,c)d(\bold{a,b}) \leq d(\bold{a,c}) + d(\bold{b,c})$

2. 内积表示与标准正交基

定义7.2.1
在 $n$ 为欧氏空间 $V$ 当中，一组两两正交的非零向量称为正交向量组。由正交向量组构成的基称为正交基。由单位向量组构成的正交基成为标准正交基。

定理7.2.1（Schmidt正交化）
从 $n$ 为欧氏空间 $V$ 的任意一组基出发，可以构造一组标准正交基。

3. 欧氏空间的同构

定义7.3.1
实数域上两个欧氏空间 $V$ 和 $V^{'}$ 称为同构的，如果存在一个从 $V$ 到 $V^{'}$ 的一一映射 $σ:V→V′\sigma: V \rightarrow V'$ ，满足：

$σ(λα+μβ)=λσ(α)+μσ(β)\sigma(\lambda \bold{\alpha} + \mu \bold{\beta}) = \lambda \sigma(\bold{\alpha}) + \mu \sigma(\bold{\beta})$
$(σ(α),σ(β))=(α,β)(\sigma(\bold{\alpha}), \sigma(\bold{\beta})) = (\bold{\alpha}, \bold{\beta})$

其中， $α,β\bold{\alpha, \beta}$ 为 $V$ 中的两个任意向量， $λ,μ\lambda, \mu$ 是两个任意实数。

定理7.3.1
两个有限维欧氏空间同构的充要条件是他们的维度相同。

4. 欧氏空间的线性变换

定义7.4.1
设 $V$ 是一个 $n$ 维的欧氏空间， $A\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换，如果 $A\mathcal{A}$ 保持 $V$ 的内积不变，即对于任意两个向量 $a,b∈V\bold{a,b} \in V$ ，都有：
$(A(a),(b))=((a,b))(\mathcal{A}(\bold{a}), \mathcal(\bold{b})) = (\bold(a,b))$
则称 $A\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的正交变换。

定理7.4.1
设 $V$ 是一个 $n$ 维的欧式空间， $A\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换，则 $A\mathcal{A}$ 为正交变换当且仅当下列两个条件之一成立：

$A\mathcal{A}$ 保持任意向量的模不变；
$A\mathcal{A}$ 将标准正交基变换为标准正交基。

定义7.4.2
如果实方阵 $A\bold{A}$ 满足 $ATA=I\bold{A^{T}A} = \bold{I}$ 或者 $A−1=A\bold{A}^{-1} = \bold{A}$ ，则称方阵 $A\bold{A}$ 为正交矩阵。

定理7.4.2
欧式空间中的线性变换 $A\mathcal{A}$ 是正交变换的充要条件是 $A\mathcal{A}$ 在标准正交基下的矩阵 $A\bold{A}$ 是正交矩阵。

定理7.4.3
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，则：

单位变换是正交变换；
两个正交变换的复合仍然是正交变换；
正交变换一定可逆，其逆变换也是正交变换。

由正交矩阵的定义可知，正交矩阵的行列式 $detA=±1det\bold{A} = \pm 1$ 。如果 $A\mathcal{A}$ 在一组基下的矩阵行列式为 $1$ ，则称 $A\mathcal{A}$ 为第一类变换。如果正交变换 $A\mathcal{A}$ 在一组基下的矩阵行列式为 $- 1$ ，则称 $A\mathcal{A}$ 为第二类变换。

定理7.4.3
设 $A\mathcal{A}$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换，则 $A\mathcal{A}$ 的特征值的模都为 $1$ 。
特别的， $A\mathcal{A}$ 的实特征值（如果存在的话）只能是 $1$ 或者 $- 1$ 。
如果 $V$ 的维数是奇数且 $A\mathcal{A}$ 是第一类正交变换，则 $A\mathcal{A}$ 一定存在职位 $1$ 的特征值。

定义7.4.3
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间上的线性变换， $A\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换。
如果 $A\mathcal{A}$ 满足 $(a,A(b))=(A(a),b)(\bold{a}, \mathcal{A}(\bold{b})) = (\mathcal{A}(\bold{a}), \bold{b})$ 对 $V$ 中的任意两个向量 $a,b\bold{a,b}$ 成立，则称 $A\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的对称变换。

定理7.4.5
设 $A\mathcal{A}$ 是欧氏空间上的线性变换，则 $A\mathcal{A}$ 是对称变换的充要条件是 $A\mathcal{A}$ 在任何一组标准正交基下的矩阵 $A\bold{A}$ 是实对称矩阵。

定理7.4.6
设 $A\mathcal{A}$ 是欧式空间 $V$ 上的对称变换，则 $A\mathcal{A}$ 的不同特征值对应的特征向量相互正交。

定理7.4.7
实对称矩阵的特征值都是实数。

定理7.4.8
实对阵矩阵 $A\bold{A}$ 的属于不同特征值的特征向量必正交。

定理7.4.9
对于任意 $n$ 阶实对称矩阵 $A\bold{A}$ ，存在一个 $n$ 阶正交矩阵 $T\bold{T}$ ，使得 $T−1AT\bold{T^{-1}AT}$ 为对角矩阵。

5. 欧氏空间的子空间

定义7.5.1
设 $V_1, V_2$ 是欧式空间 $V$ 的两个子空间，如果对于任意的 $a1∈V1,a2∈V2\bold{a}_1 \in V_1, \bold{a}_2 \in V_2$ ，恒有 $(a1,a2)=0(\bold{a}_1, \bold{a}_2) = 0$ ，则称子空间 $V_1, V_2$ 相互正交，记为 $V1⊥V2V_1 \perp V_2$ 。
如果一个向量 $a\bold{a}$ 与子空间 $V_1$ 中的任意一个向量均正交，则称向量 $a\bold{a}$ 与子空间 $V_1$ 正交，记为 $a⊥V1\bold{a} \perp V_1$ 。

定理7.5.1
如果子空间 $V_1, V_2$ 相互正交，那么他们的和 $V_1 + V_2$ 是直和。推而广之，如果 $V_1, V_2, ..., V_r$ 两两相互正交，则它们的和 $V_1 + V_2 + ... + V_r$ 是直和。

定义7.5.2
如果 $V1⊥V2V_1 \perp V_2$ 且 $V=V_1 + V_2$ ，那么子空间 $V_2$ 称为子空间 $V_1$ 的正交补空间或简称为正交补。
显然，如果 $V_2$ 是 $V_1$ 的正交补，那么 $V_1$ 也是 $V_2$ 的正交补。

定理7.5.2
欧式空间 $V$ 中任意一个子空间 $V_1$ 都有唯一的正交补空间。

2. 酉空间

1. 定义 & 性质

定义7.6.1
设 $V$ 是复数域上的线性空间，如果对于 $V$ 内的任意两个向量 $a,b\bold{a,b}$ 都按某一法则对应于某一个复数，记作 $(a,b)(\bold{a,b})$ ，且满足：

共轭对称性：对任意两个向量 $a,b∈V\bold{a, b}\in V$ ，有 $(a,b)=(b,a)‾(\bold{a,b}) = \overline{(\bold{b,a})}$
线性性：对任意一个复数 $λ\lambda$ 和三个向量 $a,b,c∈V\bold{a,b,c} \in V$ ，有 $(a,λb)=λ(a,b),(a,b+c)=(a,b)+(a,c)(\bold{a}, \lambda \bold{b}) = \lambda (\bold{a,b}), (\bold{a}, \bold{b+c}) = (\bold{a,b}) + (\bold{a,c})$
正定性：对于任意一个向量 $a∈V\bold{a} \in V$ ，有 $(a,a)≥0(\bold{a, a}) \geq 0$ ，等号成立当且仅当 $a=0\bold{a} = \bold{0}$ 。

则称 $(a,b)(\bold{a, b})$ 为 $a\bold{a}$ 和 $b\bold{b}$ 的内积。
定义了内积的复数域 $C\bold{C}$ 上的线性空间 $V$ 称为酉空间。

定义7.6.2
有空间中的两个向量 $a,b\bold{a,b}$ 满足 $(a,b)=0(\bold{a,b})=0$ ，则称 $a\bold{a}$ 和 $b\bold{b}$ 相互正交或垂直，记为 $a⊥b\bold{a} \perp \bold{b}$ 。

定理7.6.1
设 $V$ 是 $n$ 维酉空间，则：

$V$ 中两两正交的一组非零向量一定是线性无关的；
$V$ 中也存在标准正交基，即存在一组基 $e1,..,en\bold{e}_1, .., \bold{e}_n$ ，满足 $(ei,ej)=δi,j(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{i,j}$ ， $i, j = 1, 2, . . ., n$ ；
欧式空间的Schmidt正交化过程在酉空间一样有效，即从酉空间中任意一组基出发，可以通过完全一样的Schmidt正交化过程，得到一组标准正交基。

我们摘录书中给出的欧氏空间与酉空间的对比如下：

欧氏空间	酉空间
内积 $(a,b)(\bold{a,b})$ 为实数，满足： 1. $(a,b)=(b,a)(\bold{a,b}) = (\bold{b,a})$ 2. $(λa,b)=(a,λb)=λ(a,b)(\lambda \bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \lambda\bold{b}) = \lambda(\bold{a,b})$	内积 $(a,b)(\bold{a,b})$ 为复数，满足： 1. $(a,b)=(b,a)‾(\bold{a,b}) = \overline{(\bold{b,a})}$ 2. $(λa,b)=(a,λb)=λ(a,b)(\lambda \bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \lambda\bold{b}) = \lambda(\bold{a,b})$
模 $\bold{a} \| = \sqrt{(\bold{a,a})} \geq 0$ 向量 $a\bold{a}$ 的单位向量化 $a∣a∣\frac{\bold{a}}{\| \bold{a} \|}$	模 $\bold{a} \| = \sqrt{(\bold{a,a})} \geq 0$ 向量 $a\bold{a}$ 的单位向量化 $a∣a∣\frac{\bold{a}}{\| \bold{a} \|}$
Cauchy-Schwarz不等式 $(a,b)2≤(a,a)(b,b)(\bold{a,b})^2 \leq (\bold{a,a})(\bold{b,b})$ 即 $(\bold{a,b}) \| \leq \| \bold{a} \| \| \bold{b} \|$ 当且仅当 $a,b\bold{a,b}$ 线性相关时等号成立	Cauchy-Schwarz不等式 $(a,b)(a,b)‾≤(a,a)(b,b)(\bold{a,b}) \overline{(\bold{a,b})} \leq (\bold{a,a})(\bold{b,b})$ 即 $(\bold{a,b}) \| \leq \| \bold{a} \| \| \bold{b} \|$ 当且仅当 $a,b\bold{a,b}$ 线性相关时等号成立
非零向量 $a,b\bold{a,b}$ 的夹角 $φ=arccos(a,b)∣a∣∣b∣\varphi = arccos \frac{(\bold{a,b})}{\| \bold{a} \| \| \bold{b} \|}$	无定义
向量 $a,b\bold{a,b}$ 正交，即 $(a,b)=0(\bold{a,b}) = 0$	向量 $a,b\bold{a,b}$ 正交，即 $(a,b)=0(\bold{a,b}) = 0$
三角不等式成立 $\bold{a} + \bold{b} \| \leq \| \bold{a} \| + \| \bold{b} \|$	三角不等式成立 $\bold{a} + \bold{b} \| \leq \| \bold{a} \| + \| \bold{b} \|$
度量矩阵 $G\bold{G}$ 为是对称矩阵设 $e1,...,en\bold{e}_1, ..., \bold{e}_n$ 为基， $σij=(ei,ej)=σji\sigma_{ij} = (\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \sigma_{ji}$ 度量矩阵 $G=(σij)=GT\bold{G} = (\sigma_{ij}) = \bold{G}^T$	度量矩阵 $G\bold{G}$ 为是对称矩阵设 $e1,...,en\bold{e}_1, ..., \bold{e}_n$ 为基， $σij=(ei,ej)=(ej,ei)‾=σji‾\sigma_{ij} = (\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \overline{(\bold{e}_j, \bold{e}_i)} = \overline{\sigma_{ji}}$ 度量矩阵 $G=(σij)=(G‾)T\bold{G} = (\sigma_{ij}) = (\overline{\bold{G}})^T$
用Schmidt方法可以将任意一组基改造为标准正交基 $e1,...,en\bold{e}_1, ..., \bold{e}_n$ $(ei,ej)=δij,i,j=1,2,...,n(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{ij}, i,j = 1,2,...,n$	用Schmidt方法可以将任意一组基改造为标准正交基 $e1,...,en\bold{e}_1, ..., \bold{e}_n$ $(ei,ej)=δij,i,j=1,2,...,n(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{ij}, i,j = 1,2,...,n$
在标准正交基下， $a,b=∑i=1naibi\bold{a,b} = \sum_{i=1}^{n}a_i b_i$	在标准正交基下， $a,b=∑i=1na‾ibi\bold{a,b} = \sum_{i=1}^{n}\overline{a}_i b_i$

2. 酉变换

定义7.6.3
设 $U\mathcal{U}$ 是酉空间 $V$ 上的线性变换，如果 $U\mathcal{U}$ 保持内积不变，即对一切向量 $a,b∈V\bold{a,b} \in V$ 有
$(Ua,Ub)=(a,b)(\mathcal{U}\bold{a}, \mathcal{U}\bold{b}) = (\bold{a,b})$
则称 $U\mathcal{U}$ 是酉空间 $V$ 上的一个酉变换。

定义7.6.4
设 $U\bold{U}$ 是一个 $n$ 阶复矩阵，如果它满足 $UHU=I\bold{U^HU} = \bold{I}$ 或者 $U−1=UH\bold{U}^{-1} = \bold{U^H}$ ，则称 $U\bold{U}$ 为酉矩阵。

定理7.6.2
设 $U\mathcal{U}$ 是酉空间 $V$ 上的一个线性变换，则下列各命题互相等价：

$U\mathcal{U}$ 是一个酉变换
$U\mathcal{U}$ 保持向量的模不变，即对任意的 $a∈V\bold{a} \in V$ ，有 $∣Ua∣=∣a∣|\mathcal{U}\bold{a}| = |\bold{a}|$
$U\mathcal{U}$ 把酉空间的标准正交基变为标准正交基；
$U\mathcal{U}$ 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。

定理7.6.3
设 $U (V)$ 是 $n$ 为酉空间 $V$ 中所有酉变换的全体所形成的集合，则：

单位变换 $E∈U(V)\mathcal{E} \in U(V)$
如果 $U1,U2∈U(V)\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2 \in U(V)$ ，则 $U1∘U2∈U(V)\mathcal{U}_1 \circ \mathcal{U}_2 \in U(V)$ ;
如果 $U∈U(V)\mathcal{U} \in U(V)$ ，则 $U−1∈U(V)\mathcal{U}^{-1} \in U(V)$

3. Hermite变换

定义7.6.5
设 $A\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，如果对 $V$ 中任意两个向量 $a,b\bold{a,b}$ 有 $(a,Ab)=(Aa,b)(\bold{a}, \mathcal{A}\bold{b}) = (\mathcal{A}\bold{a}, \bold{b})$ ，则称 $A\mathcal{A}$ 是酉空间 $V$ 上的Hermite变换。

定义7.6.6
称满足 $A=AH\bold{A} = \bold{A^H}$ 的复矩阵为Hermite矩阵。

4. 规范变换

定义7.6.7
设 $A\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的一个线性变换，如果存在 $V$ 上的线性变换 $A∗\mathcal{A}^{*}$ ，使得对于任意两个向量 $a,b\bold{a,b}$ ，有 $(Aa,b)=(a,A∗b)(\mathcal{A}\bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \mathcal{A}^{*} \bold{b})$ ，则称 $A∗\mathcal{A}^{*}$ 为 $A\mathcal{A}$ 的共轭变换。

线性变换的共轭关系满足如下性质：

$E∗=E\mathcal{E}^{*} = \mathcal{E}$ ，即单位变换的共轭等于其本身；
$(A∗)∗=A(\mathcal{A}^{*})^{*} = \mathcal{A}$ ，即线性变换共轭的共轭等于其本身；
$(λA)∗=(‾λ)A∗(\lambda \mathcal{A})^{*} = \overline(\lambda) \mathcal{A}^{*}$
$(A±B)∗=A∗±B∗(\mathcal{A} \pm \mathcal{B})^{*} = \mathcal{A}^{*} \pm \mathcal{B}^{*}$
$(A∘B)∗=B∗∘A∗(\mathcal{A} \circ \mathcal{B})^{*} = \mathcal{B}^{*} \circ \mathcal{A}^{*}$

定义7.6.8
设 $A\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间上的一个线性变换，如果 $A\mathcal{A}$ 和它的共轭变换 $A∗\mathcal{A}^{*}$ 可交换，即 $AA∗=A∗A\mathcal{AA^{*}} = \mathcal{A^{*}A}$ ，则称变换 $A\mathcal{A}$ 是一个规范变换。
规范变换在标准正交基下的矩阵满足 $AAH=AHA\bold{AA^H} = \bold{A^HA}$ ，我们称满足上式的矩阵为规范矩阵。

定理7.6.4
设 $A\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 中的一个线性变换，如果 $W$ 是 $A\mathcal{A}$ 的不变子空间（即 $W$ 是 $V$ 的子空间，且对任意的 $a∈W\bold{a} \in W$ ，有 $Aa∈W\mathcal{A}\bold{a} \in W$ ），则 $W$ 在 $V$ 中的正交补空间 $W⊥W^{\perp}$ 是 $A\mathcal{A}$ 的共轭变换 $A∗\mathcal{A}^{*}$ 的不变子空间。

定理7.6.5
设 $λ\lambda$ 是 $n$ 维酉空间上的规范变换 $A\mathcal{A}$ 的特征值， $x\bold{x}$ 是对应的特征向量，则 $λ‾\overline{\lambda}$ 是 $A\mathcal{A}$ 的共轭变换 $A∗\mathcal{A}^{*}$ 的特征值， $x\bold{x}$ 是对应的特征向量。

定理7.6.6
设 $A\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的规范变换，则 $A\mathcal{A}$ 的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定理7.6.7
设 $A\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 中任意规范变换，则存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $A\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵 $A\bold{A}$ 为对角矩阵。

定义7.6.9
对于复数域上的 $n$ 阶方阵 $A,B\bold{A, B}$ ，如果存在 $n$ 阶酉矩阵 $U\bold{U}$ ，使得 $A=U−1BU\bold{A} = \bold{U^{-1}BU}$ ， $U−1=UH\bold{U}^{-1} = \bold{U}^{H}$ ，则称 $A\bold{A}$ 酉相似于 $B\bold{B}$ 。

定理7.6.8
任一规范矩阵 $A\bold{A}$ 都可有相似于对角矩阵。
反之，复数域上任意酉相似于对角矩阵的矩阵一定是规范矩阵。

定理7.6.9
设 $A\mathcal{A}$ 是酉空间 $V$ 中任一酉变换，则：

$A\mathcal{A}$ 的特征值的模为1；
存在一组标准正交基，使得 $A\mathcal{A}$ 在这组基下对应的矩阵为对角矩阵。

定理7.6.10
设 $A\mathcal{A}$ 是酉空间 $V$ 中的任意一个Hermite变换，则：

$A\mathcal{A}$ 的特征值一定是实数；
存在一组标准正交基，使得 $A\mathcal{A}$ 在这组基下对应的矩阵为实对角矩阵。

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编程日记 2024/7/27 21:43:05

Python学习基础笔记二十一——迭代器

列表，我们使用for循环来取值，我们把每个值都取到，不需要关心每一个值的位置，因为只能顺序的取值，并不能跳过任何一个去取其他位置的值。那么我们为什么可以使用for循环来取值，for循环内部是怎么工作的呢&am…...

编程日记 2024/7/27 10:37:23

【云原生之Docker实战】使用docker部署IT资产管理系统GLPI

【云原生之Docker实战】使用docker部署IT资产管理系统GLPI 一、GLPI介绍1.GLPI简介2.GLPI功能二、检查本地docker环境1.检查docker版本2.检查docker状态三、下载GLPI镜像四、编辑docker-compose.yaml文件五、部署GLPI系统1.创建数据目录2.使用docker compose创建容器应用3.查看…...

编程日记 2024/7/26 23:27:24

【SSM框架二】Spring

文章目录二、Spring1、简介2、IOC理论思想3、Hello Spring4、IOC创建对象的方式4.1 无参构造构造器注入4.2 有参构造器注入5、Spring的配置5.1 别名5.2 Bean的配置5.3 import6、DI依赖注入6.1 构造方法注入6.2 set方法注入6.3 扩展注入6.4、Bean的作用域7、Bean的自动装配7.1 正…...

编程日记 2024/7/27 14:25:40

基于java+ssm+vue+mysql的社区流浪猫狗救助网站

项目介绍随着迅速的发展，宠物饲养也较以前发生很大的变化，社区流浪猫狗救助网站系统以其独有的优势脱颖而出。“社区流浪猫狗救助网站”是以JAVA程序设计语言课为基础的设计出适合社区流浪猫狗救助网站，其开发过程主要包括后台数据库的建立…...

编程日记 2024/7/27 16:15:25

推特营销引流入门指南

一、关注当您关注另一个Twitter用户时，您进行订阅，即可立即阅读其内容分享。因此，请评估您关注的人，尤其是刚开始时。跟踪新用户的一种简单方法是找到他们的个人资料，然后单击“关注”按钮。 Twitter对于那些疯狂点…...

编程日记 2024/7/26 17:02:26

Seata概述基础

分布式事务原因： 单体架构的spring事务不能跨机器，不能跨数据源分布式事务的概念： 一个业务流程，在分布式系统（微服务）中，每个业务模块都是一个分支，保证每个业务分支一起成功&am…...

编程日记 2024/7/27 15:34:51

Python学习基础笔记二十二——生成器

一个包含yield关键字的函数就是一个生成器函数。yield可以为我们从函数中返回值，但是yield又不同于return，return的执行意味着程序的结束，调用生成器函数不会得到返回的具体的值，而是得到一个可迭代的对象。每一次获取这个可迭代对…...

编程日记 2024/7/27 20:56:41

python -- PyQt5（designer）中文详细教程(四)事件和信号

事件 signals and slots也被其他⼈翻译成信号和槽机制。所有的应用都是事件驱动的。事件大部分都是由用户的行为产⽣的，当然也有其他的事件产生方式，比如网络的连接，窗口管理器或者定时器等。调⽤应⽤的exec_()⽅法时，应⽤会进⼊…...

编程日记 2024/7/27 16:44:20

你绝对想象不到的端对端通信的几种方式

一、前言今天要和大家说的是我们常用的一些端对端的通信方式，这里我们会以python和php语言为主，举例说明客户端、浏览器端和服务器端通信，部分代码可能展示不全，不过我会放在文末链接供大家下载测试，下面我们先来让大…...

编程日记 2024/7/21 4:03:22

序列化--Serial

序列化：将数据结构或对象转换成二进制串的过程。反序列化：将在序列化过程中所生成的二进制串转换成数据结构或者对象的过程。 Parcelable 与 Serializeable 的区别 SerializableParcelable通过IO对硬盘操作，速度较慢直接在内存操作&#x…...

编程日记 2024/7/25 1:30:26

BDD - SpecFlow ExternalData Plugin 导入外部测试数据

BDD - SpecFlow ExternalData Plugin 导入外部测试数据引言SpecFlow ExternalData 插件支持的数据源Tags实践创建一个 Class Libary Project添加 NuGet Packages添加测试数据源文件CSV 文件Excel 文件添加 Feature 文件实现 Step Definition执行Scenario 导入测试数据源Scenari…...

编程日记 2024/7/26 22:04:03

[Power Query] 日期和时间处理

Power Query查询编辑器为日期和时间数据提供了强大而快捷的处理方式例1: 从日期中提取年、月份、日、季度、周、天等信息数据源步骤1:将数据源导入到Power BI Desktop，单击【转换数据】选项，进入Power Query查询编辑器界面步骤2:选中"日期&qu…...

编程日记 2024/7/14 16:57:13

设计模式之抽象工厂模式

利用反射技术简单梳理抽象工厂模式工厂模式实现通常我们在实际工作中，经常遇到需要访问数据库的场景。而常见的数据库又多种多样，怎么样针对不同的数据库来建立不同的数据库连接呢？ 我们可以看下用抽象工厂模式加上反射技术来如何实现。…...

编程日记 2024/7/27 14:48:05

JavaWeb_第5章_会话技术_Cookie+Session

JavaWeb_第5章_会话技术_CookieSession 文章目录JavaWeb_第5章_会话技术_CookieSession1，会话跟踪技术的概述2，Cookie2.1 Cookie的基本使用2.2 Cookie的原理分析2.3 Cookie的使用细节2.3.1 Cookie的存活时间2.3.2 Cookie存储中文3，Session3.1…...

编程日记 2024/7/26 5:42:23

跟着实例学Go语言（一）

本教程全面涵盖了Go语言基础的各个方面。一共80个例子，每个例子对应一个语言特性点，非常适合新人快速上手。教程代码示例来自go by example，文字部分来自本人自己的理解。本文是教程系列的第一部分，共计20个例子、约1万字。目…...

编程日记 2024/7/19 23:17:00

数据库基础 - 数据类型、关键字、cmd中操作数据库的命令

cmd中操作数据库的命令 mysql -hlocalhost -用户名 -密码 show database；查询数据库中的小数据库 show 数据库名；查询某一个小数据库 show 表名；查询表的结构 exit 退出数据类型数值类型 int ：整形 double：双精度&…...

编程日记 2024/7/27 12:26:26

2022SDNU-ACM结训赛题解

首先感谢一下各位出题人的精心准备、验题人的辛勤付出、以及选手的积极参加题解 Problem A 柳予欣的归来【数学】出题人： bhq 没想到一血是被打完山大的牛客比赛后来结训赛玩的wyx拿走的！ 题目描述： 计算(∑0<d<pd−1)m(\sum_{0…...

编程日记 2024/7/27 15:31:09

《人类简史》笔记三—— 历史从无正义

目录一、尽管把人人生而平等喊得震天响，其实还是把人分成了上下等级二、恶性循环三、当男人究竟有什么好的？ 一、尽管把人人生而平等喊得震天响，其实还是把人分成了上下等级古时候： 上等人平民和奴隶现在：…...

编程日记 2024/7/27 15:56:59

Python实现基于用户的协同过滤推荐算法构建电影推荐系统

说明：这是一个机器学习实战项目（附带数据代码文档视频讲解），如需数据代码文档视频讲解可以直接到文章最后获取。 1.项目背景基于用户的协同过滤推荐（User-based CF）的原理假设：跟你喜好相似的人…...

编程日记 2024/7/23 16:12:06

阿里巴巴专场——第322场周赛题解

目录模拟法：6253.回环句排序后模拟：6254. 划分技能点相等的团队 BFS：6255. 两个城市间路径的最小分数 BFS：6256. 将节点分成尽可能多的组模拟法：6253.回环句这道题直接按照题目的意思暴力模拟即可：…...

编程日记 2024/7/18 16:30:22

【机器学习】支持向量回归

有任何的书写错误、排版错误、概念错误等，希望大家包含指正。在阅读本篇之前建议先学习： 【机器学习】支持向量机【上】硬间隔【机器学习】支持向量机【下】软间隔与核函数支持向量回归支持向量回归（support vector regression&#xf…...

编程日记 2024/7/27 4:54:25

Linux安装mysql

1、查看是否已经安装 Mysql rpm -qa | grep mysql 如果你查看出来有东西，可以使用下面命令将其删除 rpm -e 文件名 2 、下载官方 Mysql 包 wget -i -c http://dev.mysql.com/get/mysql57-community-release-el7-10.noarch.rpm 如果安装有提示：Cannot…...

编程日记 2024/7/27 21:29:34

JeecgBoot搭建(低代码)

环境安装后端：JDK: 1.8 (小于11)、Maven: 3.5、MySql: 5.7、Redis: 3.2 前端：Node Js: 14.18 / 16、Npm: 5.6.0、Yarn: 1.21.1 、Pnpm 工具： IDEA、Navicat、Git、TortoiseGit拉取代码后端：git clone https://gitee.com/jeecg/…...

编程日记 2024/7/23 17:56:27

【java】3-获取线程引用与线程的属性

1.获取线程的引用在创建一个线程之后，我们很有必要去获取当前线程实例的引用，以便能够观察到线程的一些属性，或是对于当前线程进行一系列的操作调用Thread类的静态方法currentThread，我们便能拿到当前线程的引用 Thread.curr…...

编程日记 2024/7/27 21:29:54

2022-12-04一周学习

这周基本上还是在对前端学习的更多一点，主要是之前没有重视vue3的学习,现在在补上来，学习了vue3的一些知识，前端的权限管理，设置路由守卫，pinia，还学习了redis的一些基本操作，之前只是照搬了别人…...

编程日记 2024/7/26 21:17:39

CG-34 浊度传感器简单说明

产品概述浊度传感器是一种智能监测水中悬浮物对光线透过时所发生的阻碍程度的仪器。允许在水中的测量点进行无人值守的操作。采用自清洗设计，可清除水中附着物以及气泡聚集而影响测量结果。具有优异的抗污染能力，即使恶劣的环境长期在线监测&#xff0c…...

编程日记 2024/7/24 23:11:40

跟着实例学Go语言（二）

本教程全面涵盖了Go语言基础的各个方面。一共80个例子，每个例子对应一个语言特性点，非常适合新人快速上手。教程代码示例来自go by example，文字部分来自本人自己的理解。本文是教程系列的第二部分，共计20个例子、约1.2万字。 …...

编程日记 2024/7/21 14:51:42

linux+window+macos下的JDK安装

1. Linux中安装JDK （1）下载Linux版本的jdk压缩包 （2）解压 tar -zxvf 压缩包名例如： tar -zxvf jdk-8u251-linux-x64.tar.gz（3）在系统配置文件配置java 编辑profile配置文件 vim /etc/prof…...

编程日记 2024/7/26 23:10:03

DiffuSEEG：一种基于stable diffusion 的SEEG数据补全方法

目录一. 立体脑电图（SEEG）1.1 SEEG概念1.2 SEEG作用1.3 SEEG的适用场景1.4 操作方法一. 立体脑电图（SEEG） 1.1 SEEG概念立体脑电图（SEEG）：是一种借助外科微创的方法将电极植入到大脑不同的部…...

编程日记 2024/7/27 16:05:23

kubernetes—Service介绍

Service介绍在kubernetes中，pod是应用程序的载体，我们可以通过pod的ip来访问应用程序，但是pod的ip地址不是固定的，这也就意味着不方便直接采用pod的ip对服务进行访问。为了解决这个问题，kubernetes提供了Service资…...

编程日记 2024/7/27 16:42:07

AlphaFold2源码解析(7)--模型之Evoformer

AlphaFold2源码解析(7)–模型之Evoformer 这篇文章我们主要药讲解AlphaFold2的Evoformer的代码细节。 Evoformer Stack 该网络有一个双塔结构，在MSA堆栈中具有轴向的自我注意；在Pair堆栈中具有三角形的乘法更新和三角形的自我注意；以及外积…...

编程日记 2024/7/18 23:43:33

docker 安装 redis 6.0.8 cluster 实战 (3主3从) 动态扩容

这里将上篇博客搭建的3主3从扩容为 4主4从 1. 新建两个node节点 docker run -d \ --net host \ --privileged \ --name redis-node-7 \ --log-opt max-size100m \ --log-opt max-file3 \ -v /root/docker/redis-node-7/data:/data \ redis:6.0.8 \ --cluster-enabled yes \ -…...

编程日记 2024/7/22 6:49:10

20221204

You are so much more than how you look. 你比你的外表更有魅力 Never give up until the fight is over. 永远不要放弃，要一直战斗到最后一秒。 whats done cannot be undone 覆水难收 If I was going somewhere, I was running。如果我要去哪儿&#xff…...

编程日记 2024/7/27 15:53:06

CN_数据链路层流量控制@可靠的传输机制@ARP协议

文章目录流量控制技术(协议)停止-等待流量控制滑动窗口流量控制发送窗口接收窗口基本原理可靠的传输机制确认机制ACK超时重传机制RTOARQ处理差错自动重传请求ARQ协议🎈ARQ具体协议单帧ARQ协议停止-等待协议SW-ARQ例连续ARQ协议后退N帧协议(GBN)GBN多帧滑动窗口累计确…...

编程日记 2024/7/23 18:38:34

程序人生 | 与足球共舞的火柴人（致敬格拉利什，赋予足球更深的意义）

个人简介 👀个人主页： 前端杂货铺 🙋‍♂️学习方向： 主攻前端方向，也会涉及到服务端 📃个人状态： 在校大学生一枚，已拿多个前端 offer（秋招） 🚀未…...

编程日记 2024/7/27 21:23:26

安装ubuntu20.04， CUDA11.4, cnDNN, tensorflow, pytorch

ubuntu22.04默认python为3.11 ubuntu20.04默认python为3.8 第一步，分区安装系统 efi引导区, 逻辑分区，512M root: 主分区，512M swap: 逻辑分区，64G home:逻辑分区，320G /:逻辑分区, 130G， CUDA是安装…...

编程日记 2024/7/23 1:40:13

shell脚本受限执行

shell 中运行的脚本或脚本的个代码断会禁用一些正常 shell 中可以执行的命令.这是限制脚本用户的权限和最小化运行脚本导致的破坏的安全措施.受限的内容包括：使用 cd 命令更改工作目录. 更改环境变量$PATH, $SHELL, $BASH_ENV,或$ENV 的值. 读或更改 shell 环境选项…...

编程日记 2024/7/21 13:59:29

[双指针] --- 快乐数盛最多水的容器

Welcome to 9ilks Code World (๑•́ ₃ •̀๑) 个人主页: 9ilk (๑•́ ₃ •̀๑) 文章专栏： 算法Journey 本篇博客我们分享一下双指针算法中的快慢指针以及对撞双指针，下面我们开始今天的学习吧~ 🏠 快乐数 📒 题…...

编程日记 2024/7/27 14:33:45

开源工具专题-04 Atlassian Crowd部署备份及迁移

开源工具专题-04 Atlassian Crowd部署备份及迁移注： 本教程由羞涩梦整理同步发布，本人技术分享站点：blog.hukanfa.com转发本文请备注原文链接，本文内容整理日期：2024-05-29csdn 博客名称：五维空间-影子&…...

编程日记 2024/7/27 5:52:44

快团团供货大团长如何打印电子面单？

一、功能说明快团团打单平台是目前唯一一个服务于快团团团长的打单发货工具，免费提供给团长使用。可帮助团长快速打印面单、分拣包裹、完成发货。目前快团团打单平台已支持大批量打印快递单、自定义快递面单、自动发货、绑定拼多多电子面单账号等功能&#xff0c…...

编程日记 2024/7/27 14:39:01

WebService的wsdl详解

webservice服务的wsdl内容详解，以及如何根据其内容编写调用代码 wsdl示例展示一个webservice的wsdl，及调用这个接口的Axis客户端 wsdl This XML file does not appear to have any style information associated with it. The document tree is shown…...

编程日记 2024/7/26 10:01:55

【15年成为通用MCU第一，STM32凭什么？】

微控制器（MCU）是这个快速变化世界的重要助推器和核心组成部分，也是整个数字世界应用最普遍的数字芯片之一。通用MCU市场竞争情况复杂且多样，开发者需要选择最适合的MCU产品完成创新设计。而MCU市场竞争发展的重点一定是以开发者为…...

编程日记 2024/7/27 10:36:42

Git钩子(Hooks)之commit之前自动执行脚本

介绍官方文档： 英文：https://git-scm.com/book/en/v2/Customizing-Git-Git-Hooks中文：https://git-scm.com/book/zh/v2/自定义-Git-Git-钩子下面只复制了pre-commit部分文档，其他详见官方文档。 Git Hooks Like many other…...

编程日记 2024/7/27 12:56:15

1. 欧氏空间

1. 定义 & 性质

2. 内积表示与标准正交基

3. 欧氏空间的同构

4. 欧氏空间的线性变换

5. 欧氏空间的子空间

2. 酉空间

1. 定义 & 性质

2. 酉变换

3. Hermite变换

4. 规范变换

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