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第二类换元法倒代换专项训练

news 来源：原创 2024/4/27 19:07:59

前置知识：第二类换元法

题1： 计算∫1x10+xdx\int\dfrac{1}{x^{10}+x}dx∫x10+x1​dx

解：
\qquad令x=1tx=\dfrac 1tx=t1​，t=1xt=\dfrac 1xt=x1​，dx=−1t2dtdx=-\dfrac{1}{t^2}dtdx=−t21​dt

\qquad原式=∫11t10+1t⋅(−1t2)dt=−∫t81+t9dt=\int \dfrac{1}{\frac{1}{t^{10}}+\frac 1t}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=-\int\dfrac{t^{8}}{1+t^9}dt=∫t101​+t1​1​⋅(−t21​)dt=−∫1+t9t8​dt

=−19ln⁡(1+t9)+C=−19ln⁡(1+1x9)+C\qquad\qquad =-\dfrac 19\ln(1+t^9)+C=-\dfrac 19\ln(1+\dfrac{1}{x^9})+C=−91​ln(1+t9)+C=−91​ln(1+x91​)+C


题2： 计算∫1x(x7+1)dx\int\dfrac{1}{x(x^7+1)}dx∫x(x7+1)1​dx

解：
\qquad令x=1tx=\dfrac 1tx=t1​，t=1xt=\dfrac 1xt=x1​，dx=−1t2dtdx=-\dfrac{1}{t^2}dtdx=−t21​dt

\qquad原式=∫11t8+1t⋅(−1t2)dt=−∫t61+t7dt=\int\dfrac{1}{\frac{1}{t^8}+\frac 1t}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=-\int\dfrac{t^6}{1+t^7}dt=∫t81​+t1​1​⋅(−t21​)dt=−∫1+t7t6​dt

=−17ln⁡(1+t7)+C=−17ln⁡(1+1x7)+C\qquad\qquad =-\dfrac 17\ln(1+t^7)+C=-\dfrac 17\ln(1+\dfrac{1}{x^7})+C=−71​ln(1+t7)+C=−71​ln(1+x71​)+C


题3： 计算∫1(1+x)1−x−x2dx\int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}dx∫(1+x)1−x−x2​1​dx

解：
\qquad令1+x=1t1+x=\dfrac 1t1+x=t1​，t=11+xt=\dfrac{1}{1+x}t=1+x1​，dx=−1t2dtdx=-\dfrac{1}{t^2}dtdx=−t21​dt

\qquad原式=∫1(1+x)1+(x+1)−(x+1)2dx=∫11t1+1t−1t2⋅(−1t2)dt=\int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{1+(x+1)-(x+1)^2}}dx=\int\dfrac{1}{\frac 1t\sqrt{1+\frac 1t-\frac{1}{t^2}}}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=∫(1+x)1+(x+1)−(x+1)2​1​dx=∫t1​1+t1​−t21​​1​⋅(−t21​)dt

=−∫1t2+t−1dt=−∫1(t+12)2−54dt\qquad\qquad =-\int\dfrac{1}{\sqrt{t^2+t-1}}dt=-\int\dfrac{1}{\sqrt{(t+\frac 12)^2-\frac 54}}dt=−∫t2+t−1​1​dt=−∫(t+21​)2−45​​1​dt

=−ln⁡∣(t+12)+t2+t−1∣+C\qquad\qquad =-\ln|(t+\dfrac 12)+\sqrt{t^2+t-1}|+C=−ln∣(t+21​)+t2+t−1​∣+C

=ln⁡∣3+x+21−x−x22(1+x)∣+C\qquad\qquad =\ln|\dfrac{3+x+2\sqrt{1-x-x^2}}{2(1+x)}|+C=ln∣2(1+x)3+x+21−x−x2​​∣+C


由直接积分法可得∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C∫x2−a2​dx​=ln∣x+x2−a2​∣+C，同样也可得∫dx(x+k)2−a2=ln⁡∣(x+k)+(x+k)2−a2∣+C\int\dfrac{dx}{\sqrt{(x+k)^2-a^2}}=\ln|(x+k)+\sqrt{(x+k)^2-a^2}|+C∫(x+k)2−a2​dx​=ln∣(x+k)+(x+k)2−a2​∣+C。
所以解题过程中−∫1(t+12)2−54dt=−ln⁡∣(t+12)+t2+t−1∣+C-\int\dfrac{1}{\sqrt{(t+\frac 12)^2-\frac 54}}dt=-\ln|(t+\dfrac 12)+\sqrt{t^2+t-1}|+C−∫(t+21​)2−45​​1​dt=−ln∣(t+21​)+t2+t−1​∣+C


总结

观察被积函数，若分母比较复杂，令x=1tx=\dfrac 1tx=t1​，有时可以令x+a=1tx+a=\dfrac 1tx+a=t1​，然后进行转换，利用被积函数的特性来求解。

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zkMove——针对Move合约生态的zkVM

1. 引言 Move为不同于Solidity的&#xff0c;开源的安全的智能合约开发语言&#xff0c;最早由Facebook为Diem链创造开发。不过&#xff0c;Move本身设计为与平台无关的语言&#xff0c;具有通用的库、工具&#xff0c;并使得采用完全不同数据模型和执行模型的链的开发者社区都…...

编程日记 2024/4/22 8:27:44

贪心算法的题目

每一步都做出一个局部最优的选择&#xff0c;最终的结果就是全局最优 只有一部分问题才能用贪心算法&#xff08;严格来讲&#xff0c;一个问题能不能用贪心算法需要证明的&#xff09; 2022.8.30 蔚来笔试题&#xff1a; 有a个y,b个o,c个u,用这些字母拼成一个字符串&#xf…...

编程日记 2024/4/25 19:55:01

线程控制--Linux

文章目录线程理解线程的优点与缺点进程的多个线程共享线程控制线程创建线程终止线程等待线程分离总结线程理解 谈及线程&#xff0c;就不得不谈起进程与线程的关系了。学习完前面有关进程的知识&#xff0c;之前我们对进程的定义是&#xff1a;内核数据结构代码和数据。但是今…...

编程日记 2024/4/23 23:35:43

17 | 如何做好面试复盘？将经验提升为能力

前言 前言&#xff1a;面试是最好的查漏补缺机会&#xff0c;做好面试复盘又是十分的重要。 文章目录前言一. 关于复盘1. 什么是复盘&#xff08;What&#xff09;2. 复盘的目的&#xff08;Why&#xff09;3. 什么时候需要复盘&#xff08;When&#xff09;4. 怎么进行复盘&am…...

编程日记 2024/4/23 0:22:03

数据结构-树

1. 二叉树遍历 #include <stdbool.h> #include "stdio.h" #include "stdlib.h"typedef struct TNode *Position; typedef Position BinTree; // 二叉树类型 typedef char ElementType;// 树结点定义 struct TNode {ElementType Data; // 结点数据Bin…...

编程日记 2024/4/23 17:07:25

Python3 循环语句

本章节将为大家介绍 Python 循环语句的使用。 Python 中的循环语句有 for 和 while。 Python 循环语句的控制结构图如下所示&#xff1a; while 循环 Python 中 while 语句的一般形式&#xff1a; while 判断条件(condition)&#xff1a;执行语句(statements)…… 执行流程…...

编程日记 2024/4/23 3:52:03

多商家AI智能名片商城系统（开源版）——构建高效数字化商业新生态

一、项目概述 1、项目背景 1&#xff09;起源 随着数字化时代的快速发展&#xff0c;传统名片和商城系统已经难以满足企业日益增长的需求。商家需要更高效、更智能的方式来展示自己的产品和服务&#xff0c;与消费者进行互动和交易。同时&#xff0c;开源技术的普及也为开发…...

编程日记 2024/4/27 18:44:06

如何安全进行速卖通自养号测评操作？

对于新加入的卖家而言&#xff0c;进行销量测评显得尤为关键。速卖通平台上的新店往往难以获得活动的扶持&#xff0c;且初始流量相当有限。因此&#xff0c;开店的首要任务便是积极展开测评工作&#xff0c;努力积累初始的评论和销售记录。测评的益处颇为显著&#xff0c;它不…...

编程日记 2024/4/27 17:05:34

Spark 基础

/* Why Spark一、MapReduce编程模型的局限性1、繁杂&#xff1a;只有Map和Reduce两个操作&#xff0c;复杂的逻辑需要大量的样板代码2、处理效率低&#xff1a;2.1、Map中间结果写磁盘&#xff0c;Reduce写HDFS&#xff0c;多个Map通过HDFS交换数据2.2、任务调度与启动开销大3、…...

编程日记 2024/4/27 12:44:02

【函数式接口使用✈️✈️】配合策略模式实现文件处理的案例

目录 &#x1f378;前言 &#x1f37b;一、功能描述 &#x1f37a;二、面向对象设计模式 &#x1f379;三、策略模式 &#x1f366;四、策略 VS 面向对象 &#x1f368;章末 &#x1f378;前言 小伙伴们大家好&#xff0c;上周初步了解了下函数式接口&#xff0c;Consume…...

编程日记 2024/4/26 21:24:53

如何通过cURL库实现远程控制插座

如何通过cURL库实现远程控制插座呢&#xff1f; 本文描述了使用cURL库调用HTTP接口&#xff0c;实现控制插座&#xff0c;即插即用&#xff0c;先插入插座&#xff0c;再接电器&#xff0c;实现远程控制。 可选用产品&#xff1a;可根据实际场景需求&#xff0c;选择对应的规格…...

编程日记 2024/4/27 14:35:49

重发布的原理及其应用

重发布的作用&#xff1a; 在一个网络中&#xff0c;若运行多种路由协议或者相同协议的不同进程&#xff1b;因为协议之间不能直接沟通计算&#xff0c;进程之间也是独立进行转发和运算的&#xff0c;所以&#xff0c;需要使用重发布来实现路由的共享。 条件 &#xff1a; 1&am…...

编程日记 2024/4/27 18:56:32