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斐波那契数列的--------5种算法（又称“兔子数列”）

news 来源：原创 2024/4/27 14:26:07

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

一、循环法：
// n 太大会溢出，可以使用数据位更宽的数据类型
int fib(int n){if(n==1||n==2)  return 1;int f1=1;  int f2=1;  int res=0;  //存放结果 for(int i=3;i<=n;++i){res=f1+f2;f2=f1;f1=res;}return res;	
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

二、递归法：

根据递推公式：F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)可直接得出

int fib(int n){if(n<2)  return n;return   fib(n-1)+fib(n-2); 
}

在这里插入图片描述

时间复杂度：因为成二叉树形式 ，所以时间复杂度为O(2^n)
空间复杂度：树约有n-1层,所以空间复杂度为O(n)

三、动态规划法：
  1. 确定 dp数组以及下标的含义：dp[i] 的定义为：第 i 个数的斐波那契数值是 dp[i]
  2. 确定递推公式：题⽬已经把递推公式直接给我们了：状态转移⽅程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
  3. 初始化dp数组： dp[0] = 0， dp[1] = 1
  4. 确定遍历顺序： dp[i] 是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2] ，所以遍历的顺序是从前到后遍历
int fib(int n){if(n<2)  return n;int dp[n+1];dp[0]=0;dp[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n]; 
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
根据斐波那契数列的性质，我们可以用 滚动数组来优化一下空间复杂度

int fib(int n){if(n<2)  return n;int dp[2]={0,1};int result=0;for(int i=2;i<=n;++i){result=dp[0]+dp[1];dp[0]=dp[1];dp[1]=result;}return dp[1]; 
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

方法四：快速矩阵幂

定义一个矩阵:
在这里插入图片描述

可以找到一个矩阵M（这里可以理解为从一个状态转移到另一个状态），使得：

在这里插入图片描述

设:
在这里插入图片描述

所以
在这里插入图片描述

由矩阵乘法可以得到：

af(n)+bf(n-1)=f(n+1)
cf(n)+df(n-1)=f(n)
最终求得:
在这里插入图片描述

由递推公式最终得到：
在这里插入图片描述

因此只要我们能快速计算矩阵 M 的 k 次幂，就可以得到 F(n)的值。
此处需要用到快速幂的算法，不明白的可以看一下快速幂算法_Sakeyuan的博客-CSDN博客:

//矩阵相乘 
vector<vector<int>> array_multiply(vector<vector<int>>& a, vector<vector<int>>& b){  vector<vector<int>> c{ {0, 0}, {0, 0} };for (int i = 0; i < 2; i++) {for (int j = 0; j < 2; j++) {c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];}}return c;
}
vector<vector<int>> array_pow(vector<vector<int>>& a, int n) {   //矩阵快速幂 vector<vector<int>> ret{ {1, 0}, {0, 1} };     //单位矩阵 ，储存结果 while (n > 0) {if (n & 1) {ret = array_multiply(ret, a);}n >>= 1;a = array_multiply(a, a);}return ret;
}int fib(int n) {if (n < 2) {return n;}vector<vector<int>> m{ {1, 1}, {1, 0} };vector<vector<int>> result = array_pow(m, n);return result[0][1];       // 由递推公式可以看出f(n)为 result[0][1]位置 
}

时间复杂度：O(logn)
空间复杂度：O(1)

五、通项公式：

根据递推公式 F(n)=F(n - 1)+F(n - 2) 可以得出特征方程：

在这里插入图片描述

求得:
在这里插入图片描述

通解为：
在这里插入图片描述

带入f(0)=0,f(1)=1,解得：
在这里插入图片描述

最终得到通项公式：
在这里插入图片描述

int fib(int n) {double sqrt_5 = sqrt(5);double fib_n = pow((1 + sqrt_5) / 2, n) - pow((1 - sqrt_5) / 2, n);return round(fib_n / sqrt_5);  /*round()函数四舍五入*/
}

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编程日记 2024/4/21 10:45:35

gcc中预定义的宏__GNUC__ __GNUC_MINOR__ __GNUC_PATCHLEVEL__

今天在看Linux系统编程这本书的代码的时候看到了__GNUC__&#xff0c;不太清楚这个宏所以去查了一下&#xff0c;以此记录。GNU C预定义了一系列的宏&#xff0c;这些宏都是以双下划线开始的&#xff0c;这里只讲一下__GNUC__ __GNUC_MINOR__ __GNUC_PATCHLEVEL__&#xff0c;完…...

编程日记 2024/4/19 12:00:39

AxMath使用教程（持续更新中）

前言 这两天学了学Latex&#xff0c;主要是为了以后写毕业论文做铺垫&#xff0c;而且Latex在数学公式这一方面&#xff0c;要比Word方便许多&#xff0c;于是我就下载了一款国产的公式编辑器——AxMath。永久会员不贵&#xff0c;只要36元&#xff0c;而且软件很好用&#xf…...

编程日记 2024/4/26 0:56:29

day11 栈和队列 | 20、有效的括号 1047、删除字符串中的所有相邻重复项 150、逆波兰表达式求值

题目 20、有效的括号 给定一个只包括 ‘(’&#xff0c;‘)’&#xff0c;‘{’&#xff0c;‘}’&#xff0c;‘[’&#xff0c;‘]’ 的字符串&#xff0c;判断字符串是否有效。 有效字符串需满足&#xff1a; 左括号必须用相同类型的右括号闭合。 左括号必须以正确的顺序…...

编程日记 2024/4/24 5:56:43

【前端面试】http面试整理

"一问一答"模型的协议 客户端通过http请求&#xff1b;服务器端根据请求返回客户想要的资源&#xff1b;客户端接收到资源&#xff1b;http是什么 HTTP是超文本传输协议&#xff0c;是一个在计算机世界里专门在两点之间传输文字、图片、音频、视频等超文本数据的约…...

编程日记 2024/4/27 1:17:35

(四)Servlet教程——Maven的安装与配置

1.在C盘根目录下新建一个Java文件夹,该文件夹用来放置以下步骤下载的Maven&#xff1b; 2. 下载Maven的来源有清华大学开源软件镜像站和Apache Maven的官网&#xff0c;由于清华大学开源软件镜像站上只能下载3.8.8版本以上的Maven&#xff0c;我们选择在Apache Maven的官网上下…...

编程日记 2024/4/27 11:54:02

安卓悬浮窗权限检查

目录 悬浮窗权限代码检测悬浮窗功能 悬浮窗权限 请求了这个权限后&#xff0c;app的权限管理中会有「显示悬浮窗」的权限选项。后面会引导用户去开启这个权限。 <uses-permission android:name"android.permission.SYSTEM_ALERT_WINDOW" />代码检测悬浮窗功能…...

编程日记 2024/4/27 9:42:09

Spark 中的分桶分化

Spark 中的分桶分化 Bucketing是 Spark 和 Hive 中用于优化任务性能的一种技术。在分桶桶&#xff08;集群列&#xff09;中确定数据分区并防止数据混洗。根据一个或多个分桶列的值&#xff0c;将数据分配给预定义数量的桶。 分桶有两个主要好处&#xff1a; 改进的查询性能&…...

编程日记 2024/4/26 15:27:43

Nginx基本使用 反向代理与负载均衡

什么是Nginx Nginx (engine x) 是一个高性能的HTTP和反向代理web服务器。 其特点是占有内存少&#xff0c;并发能力强&#xff0c;nginx的并发能力在同类型的网页服务器中表现较好&#xff0c;而且几乎可以做到7*24不间断运行&#xff0c;即使运行数个月也不需要重新启动。 …...

编程日记 2024/4/26 12:02:39

OceanBase V4.2特性解析：用 Show Trace 快速定位数据库性能瓶颈

在数据库日常运维中&#xff0c;当遇到慢SQL问题时&#xff0c;若无法迅速查明原因&#xff0c;将极大地影响用户的使用感受&#xff0c;甚至可能引发业务或服务的中断。相较于单机数据库&#xff0c;分布式数据库系统因其涉及多个节点和多组件的协同工作&#xff0c;集群规模可…...

编程日记 2024/4/27 9:38:15

Python基础：【习题系列】列表、元组、字典和集合

在Python中，用于创建空列表的语法是什么？（ A ） A．[] B．() C．{} D．None 答案：A 难易程度：易 答案解析：在Python中，空列表可以通过空方括号[]来创建。 知识点：列表；Python数据结构 在Python中，以下哪个方法用于向列表添加元素？（ B ） A．insert B．append C．ad…...

编程日记 2024/4/27 10:27:32