当前位置：首页 > news >正文

数值积分知识

news 来源：原创 2025/7/2 5:01:10

数值积分

对于增加插值节点序列： $\left\{x_i\right\}_{i=0}^{n}$ ，由插值定理给出：

$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i l_i(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^{n}{(x-x_i)}$

对 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上积分得到：

$\int_{a}^{b}f(x)=\int_{a}^{b}\left[\sum_{i=0}^{n}y_i l_i(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^{n}{(x-x_i)}\right]\text{d}x$

得到结论：

对于插值型的求积公式，其截断误差为：

$\boxed{\int_{a}^{b}\left(\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^{n}{(x-x_i)}\right)\text{d}x}$

其数值计算公式为：

$\int_{a}^{b}\left[\sum_{i=0}^{n}y_i l_i(x)\right]\text{d}x$

更特殊地，我们对区间 $[a, b]$ 进行等间距插值选取步长 $h=\dfrac{b-a}{n}$ ,得到 $n + 1$ 个插值节点 $x_i=a+ih,i=0,1,2,3,...,n$ ,这就对著名的柯特斯公式。

常用的数值求积公式

梯形公式

公式推导：
- 对于定积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ，将区间 $[a, b]$ 进行 $n$ 等分，每个小区间 $x_{i},x_{i + 1}]$ 的长度 $h=\frac{b - a}{n}$ ，其中 $x_{i}=a+ih$ ， $0,1,\cdots,n$ 。
- 在每个小区间 $x_{i},x_{i + 1}]$ 上，用梯形面积近似小曲边梯形的面积。梯形面积公式为 $=\frac{(上底 + 下底)\times高}{2}$ ，对于小区间 $x_{i},x_{i + 1}]$ ，上底为 $f(x_{i})$ ，下底为 $f(x_{i+1})$ ，高为 $h$ 。
- 则
$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{h}{2}[f(x_{i})+f(x_{i + 1})]=\frac{h}{2}[f(x_{0}) + 2\sum_{i = 1}^{n - 1}f(x_{i})+f(x_{n})]。$
误差分析：
- 设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上具有二阶连续导数，则梯形公式的误差 $R_{T}=-\frac{(b - a)^{3}}{12n^{2}}f^{\prime\prime}(\xi)$
  其中 $\xi\in(a,b)$ 。

辛普森公式

公式推导：
- 同样将区间 $[a, b]$ 进行 $n$ 等分( $n$ 为偶数），在每个子区间 $x_{i},x_{i + 1}]$ 上，用二次函数 $p(x)=A x^{2}+Bx + C$ 来近似 $f (x)$ 。
- 辛普森公式为
$\int_{a}^{b} f(x)\text{d}x\approx\frac{h}{6}\left[f(x_{0}) +4\sum\limits_{i = 0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+2\sum_{i = 1}^{n - 1}f(x_{i})+f(x_{n})\right]$

其中 $\frac{b - a}{n}$

误差分析：
- 设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上具有四阶连续导数，则辛普森公式的误差
  $R_{S}=-\frac{(b - a)^{5}}{180(2n)^{4}}f^{(4)}(\xi)$

其中 $\xi\in(a,b)$

习题

例

对于函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ ，给出 $n = 8$ 时的函数表，试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分
$I=\int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}dx$
并估计误差。

解

当 $n = 8$ 时，复合梯形公式得到：

$T_n=\frac{0.125}{2}\left[f(0)+f(1)+2\times \left(\sum _{i=1}^{7}f(x_i)\right)\right]=0.9456909$

其中 $x_i=\frac{i}{8}$

同理，复合辛普森公式得到：

$S_n=\frac{0.25}{6}\left[f(0)+f(1)+2\times \left(f(0.25)+f(0.5)+f(0.75)\right)+4\times \left(f(0.125)+f(0.325)+f(0.625)+f(0.875)\right)\right]=0.9460832$

为了求解 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 的高阶导数：

$\frac{\sin x}{x}=\int_{0}^{1}\cos(xt)\text{d}t$

由维尔斯特拉斯定理不难证明，求导与积分可以换序：

$f^{(k)}(x)=\int_{0}^{1}t^{k}\cos \left( xt+\frac{k\pi}{2}\right)\text{d}x$

其上界：
$\max f^{(k)}(x)=\max \int_{0}^{1}t^{k}\cos \left( xt+\frac{k\pi}{2}\right)\text{d}x\leq \frac{1}{k+1}$

得到复合梯形公式误差:

$\left|R_{8}(f)\right|=\frac{1}{12}\left(0.125\right)^2\times \frac{1}{3}$

得到复合辛普森公式误差:

$\left|R_{4}(f)\right|=\frac{1}{180}\left(\frac{0.25}{2}\right)^4\times \frac{1}{5}$

数值积分

常用的数值求积公式

梯形公式

辛普森公式

习题

例

相关文章：