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齐次坐标系下的变换矩阵

news 来源：原创 2025/7/30 0:42:41

理解齐次坐标系下的变换矩阵

文章目录

理解齐次坐标系下的变换矩阵
- 1 引言
- 2 齐次坐标系的简要介绍
- - 2.1 齐次坐标系的定义
  - 2.2 为什么需要齐次坐标系？
  - 2.3 齐次坐标系的特殊性质
  - - 2.3.1 点和向量的区分
    - 2.3.2 投影变换
- 3 齐次坐标系下的变换矩阵
- - 3.1 二维变换矩阵
  - - 平移变换
    - 缩放变换
    - 旋转变换（逆时针旋转θ角度）
    - 复合变换
  - 3.2 三维变换矩阵
  - - 平移变换
    - 缩放变换
    - 绕X轴旋转
    - 绕Y轴旋转
    - 绕Z轴旋转
- 4 齐次坐标系下的变换矩阵的实际应用示例
- 5 总结
- 参考文献

1 引言

在计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域，齐次坐标系是一个极其重要的数学工具。它不仅能够统一表示平移、旋转、缩放等变换，还能够处理投影变换，使得各种几何变换可以通过矩阵乘法优雅地表示和计算。本文将深入介绍齐次坐标系的概念以及在此基础上的变换矩阵。

2 齐次坐标系的简要介绍

关于齐次坐标系及其作用的介绍，可以参考我的这一篇文章：齐次坐标系统：什么是齐次坐标？为什么要引入齐次坐标？。

2.1 齐次坐标系的定义

齐次坐标系是将n维空间映射到n+1维空间的一种方法：

二维空间中的点 $(x, y)$ 在齐次坐标系中表示为 $(x, y, w)$ ，其中 $\neq 0$ ，对应的笛卡尔坐标为 $(x / w, y / w)$
三维空间中的点 $(x, y, z)$ 在齐次坐标系中表示为 $(x, y, z, w)$ ，其中 $\neq 0$ ，对应的笛卡尔坐标为 $(x / w, y / w, z / w)$

通常，我们令 $w = 1$ ，即二维点表示为 $(x, y, 1)$ ，三维点表示为 $(x, y, z, 1)$ 。

2.2 为什么需要齐次坐标系？

在传统的笛卡尔坐标系中，我们用 $(x, y)$ 表示二维平面上的点，用 $(x, y, z)$ 表示三维空间中的点。然而，当我们需要表示平移变换时，会遇到一个问题：平移不能用线性变换（即矩阵乘法）表示。

例如，在二维空间中，点 $(x, y)$ 沿向量 $t_x, t_y)$ 平移后的坐标为：
$x' = x + t_x \\ y' = y + t_y$

这个变换包含加法操作，无法用矩阵乘法表示。为了解决这个问题，齐次坐标系应运而生。

2.3 齐次坐标系的特殊性质

2.3.1 点和向量的区分

在齐次坐标系中，点和向量可以明确区分：

点： $(x, y, z, 1)$
向量： $(x, y, z, 0)$

这种区分在几何计算中非常有用，因为点可以平移，而向量只能旋转和缩放。

2.3.2 投影变换

齐次坐标系最强大的特性之一是能够表示投影变换。通过适当设置 $\times 4$ 矩阵，我们可以实现透视投影、正交投影等。

例如，一个简单的透视投影矩阵可以表示为：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1/d & 0 \end{pmatrix}$
其中d是视点到投影平面的距离。

3 齐次坐标系下的变换矩阵

注：这些变换矩阵的使用方式（对应的矩阵乘法）如下：

以在二维空间中，逆时针旋转θ角度的旋转矩阵为例：

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

对于点 $P = (x, y, 1)^T$ ，旋转后的点 $P^{'}$ 可以通过以下矩阵乘法计算（注意此时的 $P$ 矩阵是列向量）：

$R(\theta) \cdot P = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \\ x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \\ 1 \end{pmatrix}$

也可以写成（注意此时的 $P$ 矩阵是列向量(x, y, 1)）：

$\cdot R(\theta) = \begin{pmatrix} x & y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos(\theta) - y\sin(\theta) & x\sin(\theta) + y\cos(\theta) & 1 \end{pmatrix}$

下文中的变换矩阵均以前一种方法（即表示点的坐标的 $P$ 矩阵是行向量，与变换矩阵依次左乘）为例。如果采用后一种方法，即表示点的坐标的 $P$ 矩阵是列向量，那么变换矩阵应该转置，并且这个表示点的坐标的列向量 $P$ 矩阵与变换矩阵应依次右乘。

3.1 二维变换矩阵

在二维齐次坐标系下，变换矩阵是 $\times 3$ 的：

平移变换

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

缩放变换

$\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

旋转变换（逆时针旋转θ角度）

$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

复合变换

多个变换可以通过矩阵乘法组合在一起。例如，先旋转后平移的变换矩阵为：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & t_x \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3.2 三维变换矩阵

在三维齐次坐标系下，变换矩阵是 $\times 4$ 的：

平移变换

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

缩放变换

$\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

绕X轴旋转

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

绕Y轴旋转

$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

绕Z轴旋转

$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4 齐次坐标系下的变换矩阵的实际应用示例

下面是一个使用Python和NumPy实现齐次坐标变换的简单示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义一个2D点
point = np.array([1, 2, 1])  # 齐次坐标 (x, y, 1)# 定义变换矩阵
# 1. 平移变换 (x+2, y+3)
translation = np.array([[1, 0, 2],[0, 1, 3],[0, 0, 1]
])# 2. 旋转变换 (45度)
theta = np.radians(45)
rotation = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],[np.sin(theta), np.cos(theta), 0],[0, 0, 1]
])# 3. 缩放变换 (x*2, y*2)
scaling = np.array([[2, 0, 0],[0, 2, 0],[0, 0, 1]
])# 应用变换
translated_point = translation.dot(point)
rotated_point = rotation.dot(point)
scaled_point = scaling.dot(point)# 组合变换 (先旋转，再平移)
combined = translation.dot(rotation)
combined_point = combined.dot(point)# 打印结果
print(f"原始点: ({point[0]}, {point[1]})")
print(f"平移后: ({translated_point[0]}, {translated_point[1]})")
print(f"旋转后: ({rotated_point[0]:.2f}, {rotated_point[1]:.2f})")
print(f"缩放后: ({scaled_point[0]}, {scaled_point[1]})")
print(f"组合变换后: ({combined_point[0]:.2f}, {combined_point[1]:.2f})")

5 总结

齐次坐标系是计算机图形学中的基础工具，它通过增加一个维度，使得各种变换（包括平移、旋转、缩放和投影）都可以用矩阵乘法统一表示。这种表示方法不仅数学上优雅，而且在计算上高效，特别是在需要连续应用多种变换的场景中。

理解齐次坐标系及其变换矩阵，对于从事计算机图形学、计算机视觉、机器人学等领域的开发和研究工作至关重要。通过本文的介绍，希望读者能够掌握这一强大工具的基本原理和应用方法。

参考文献

Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., & Hughes, J. F. (1995). Computer Graphics: Principles and Practice. Addison-Wesley.
Shirley, P., & Marschner, S. (2009). Fundamentals of Computer Graphics. A K Peters/CRC Press.
Craig, J. J. (2004). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Pearson Education.

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理解齐次坐标系下的变换矩阵

文章目录

1 引言

2 齐次坐标系的简要介绍

2.1 齐次坐标系的定义

2.2 为什么需要齐次坐标系？

2.3 齐次坐标系的特殊性质

2.3.1 点和向量的区分

2.3.2 投影变换

3 齐次坐标系下的变换矩阵

3.1 二维变换矩阵

平移变换

缩放变换

旋转变换（逆时针旋转θ角度）

复合变换

3.2 三维变换矩阵

平移变换

缩放变换

绕X轴旋转

绕Y轴旋转

绕Z轴旋转

4 齐次坐标系下的变换矩阵的实际应用示例

5 总结

参考文献

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