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CF985G Team Players

news 来源：原创 2025/9/7 9:54:40

我敢赌，就算你知道怎么做，也必然得调试半天才能 AC。

$\color{blue}{\texttt{[Problem Discription]}}$

在这里插入图片描述

图片来自洛谷。

$\color{blue}{\texttt{[Analysis]}}$

显然不可能正面计算。所以被迫正难则反。

把所有三元组分成四类：不考虑有没有边相连；有且只有一条边连接；有且只有两条边连接；三个点形成三元环。

每种情况分别考虑。

不考虑有没有边相连。
等价于对所有 $\quad \text{s.t.} \quad 0 \leq i <j<k<n$ 求出 $\sum\limits_{\text{legal (i,j,k)}} Ai+Bj+Ck$ 。
枚举 $k$ ，则 $(i, j)$ 只能在 $[0, k - 1]$ 中取值，共 $\dfrac{k(k-1)}{2}$ 种情况。
对于固定的 $k$ ， $\sum\limits_{0 \leq i < j <k}Ai+Bj=\sum\limits_{0 \leq i < k-1}\left ( \sum\limits_{i<j<k}Ai+Bj \right )=\sum\limits_{0\leq i <k-1} \left ( Ai(k-i-1)+\sum\limits_{i<j<k}Bj\right )$
然后把括号内的项展开，可以得到关于 $\sum i^2$ ， $\sum i$ 的式子，这些式子都是有公式可以 $O (1)$ 计算的。
有且只有一条边连接的三元组。
枚举每条边 $\quad \text{s.t.} \quad u<v$ ，则第三个点 $w$ 只有三种情况： $w < u < v$ ， $u < w < v$ ， $u < v < w$ 。每种情况下 $u, v$ 的贡献都是确定的，而 $w$ 的和是连续正整数的和，可以用公式求出。
注意： 用这种方法求出的三元组包含了第三步和第四步的情况。因此，准确地说，第二种情况是有边相连的三元组。
有且只有两条边连接的三元组。
这是最不好想的一种情况。不仅容易漏掉，也不好想解决方法。
正解还是很惊艳的。三个点有且只有两条边连接，必然两条边有一个公共点。枚举这个公共点 $u$ ，那么 $v, w$ 就只能在和 $u$ 有边相连的点集中取值。
问题是，这个点集可能很大，怎么办？
那我们就不要同时考虑 $v, w$ ，仅考虑单个点对答案的贡献。
如果 $v < u$ ，那么 $v$ 前面的系数可能是 $A$ 或者 $B$ （绝对不会是 $C$ ）。如果系数是 $A$ ，那么 $w$ 比 $v$ 大。在一个有限的点集中，我们很容易知道这样的 $w$ 有多少个，因此 $A v$ 的系数我们就可以求出来（请注意，我们只算 $v$ 的贡献，至于 $w$ 的和我们先不考虑）。其它情况同理。
枚举点集里的所有点，即可求出第三种情况的贡献。
注意： 第三步里也重复计算了第四步的情况。
有三条边连接的三元组。
这部分最简单了。直接用三元组计数的模板即可。
（当然，不会这个模板就是送命。）

现在来考虑容斥系数。分别记四个步骤算出来的结果为 $S_1,S_2,S_3,S_4$ 。

所有的三元组都会在第一步中计算且仅计算一次。
第二步中，有且仅有一条边连接的三元组仅计算了一次，两条边相连的三元组计算了两次，三条边相连的三元组计算了三次。
第三步中，有两条边相连的二元组计算了一次；三条边相连的三元组计算了三次。
第四步中，三条边连接的三元组都仅计算了一次。

因此，通过你聪明的大脑，你一定可以发现，答案就是 $S_1-S_2+S_3-S_4$ 。

就这么开心的写代码吧。小心细节不要 WA 哦。

$\color{blue}{\text{Code}}$

typedef unsigned long long ll; const int N=2e5+100; int n,m,A,B,C,u[N],v[N];
ll ans;
vector<int> edge[N],e[N];ll pre_sqr(int n){return 1ull*n*(n+1)/2*(2*n+1)/3;
}
ll pre_sum(int n){return 1ull*n*(n+1)/2;
}
ll get_sum(int a,int b){int t=(b-a+1);return 1ull*(a+b)*t/2;
}ll get_all(){ll cnt,tmp1,tmp2,res=0;for(int j=2;j<n;j++){
//		从 0 到 j-1 中选出两个数int i=j-1;//写着简单 cnt=pre_sum(i);tmp1=1ull*i*pre_sum(i-1)-pre_sqr(i-1);tmp2=pre_sqr(i);res+=1ull*tmp1*A;res+=1ull*tmp2*B;res+=1ull*cnt*C*j;}return res;
}//第一步ll get_minus(){ll res=0;for(int i=1;i<=m;i++){if (u[i]>v[i]) swap(u[i],v[i]);//(x, u[i], v[i])if (u[i]>0)res+=1ull*A*pre_sum(u[i]-1)+1ull*u[i]*(1ull*B*u[i]+1ull*C*v[i]);//(u[i], x, v[i])if (v[i]-u[i]>1)res+=1ull*B*get_sum(u[i]+1,v[i]-1)+(1ull*A*u[i]+1ull*C*v[i])*(v[i]-u[i]-1);//(u[i], v[i], x)if (v[i]<n-1)res+=1ull*C*get_sum(v[i]+1,n-1)+(1ull*A*u[i]+1ull*B*v[i])*(n-1-v[i]);} return res;
}//第三步int ind[N],vistime[N];ll get_triple(){ll res=0;for(int i=1;i<=m;i++){++ind[u[i]];++ind[v[i]];}for(int i=1;i<=m;i++){if (ind[u[i]]>ind[v[i]]) swap(u[i],v[i]);else if ((ind[u[i]]==ind[v[i]])&&(u[i]>v[i])) swap(u[i],v[i]);edge[u[i]].push_back(v[i]);}memset(vistime,-1,sizeof(vistime));//注意这里，不然可能会多算出一些三元组for(int i=0;i<n;i++){for(int j:edge[i]) vistime[j]=i;for(int j:edge[i])for(int k:edge[j])if (vistime[k]==i){//因为这里int t[]={i,j,k};sort(t,t+3);res+=1ull*A*t[0]+1ull*B*t[1]+1ull*C*t[2];}}return res;
}//第四步，三元环计数的板子ll get_add(){for(int i=1;i<=m;i++){e[u[i]].push_back(v[i]);e[v[i]].push_back(u[i]);}ll res=0;for(int u=0;u<n;u++){e[u].push_back(u);sort(e[u].begin(),e[u].end());int x=e[u].size()-1;if (x==0) continue;for(int i=0;i<=x;i++){int v=e[u][i];if (v<u)res+=1ull*A*v*(x-i-1)+1ull*B*v*i;else if (v>u)res+=1ull*B*v*(x-i)+1ull*C*v*(i-1);elseres+=1ull*v*(1ull*(x-i)*(x-i-1)/2*A+1ull*B*(x-i)*i+1ull*i*(i-1)/2*C); }}//第二步return res;
}int main(){n=read();m=read();A=read();B=read();C=read();for(int i=1;i<=m;i++){u[i]=read();v[i]=read();}ans=get_all()-get_minus()+get_add()-get_triple();cout<<ans<<endl;return 0;
}

最后，Good luck to you。

CF985G Team Players

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