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基于Rosen梯度投影法的约束优化问题求解及MATLAB实现

news 来源：原创 2025/9/12 1:08:32

摘要

在工程优化、经济建模等领域，约束优化问题普遍存在，其核心是在满足线性或非线性约束条件下求解目标函数的极值。本文聚焦Rosen梯度投影法，系统阐述其算法原理、实现步骤及MATLAB编程方法。

关键词：Rosen梯度投影法；约束优化；可行点；MATLAB实现；线性约束

一、引言

在科学研究与工程实践中，优化问题常需满足特定约束条件，如资源限制、物理定律等。约束优化问题的数学模型可表示为：
$\min f(\boldsymbol{x}), \quad \text{s.t.} \quad \begin{cases} h_i(\boldsymbol{x}) = 0, & i=1,2,\cdots,k \\ g_j(\boldsymbol{x}) \geq 0, & j=1,2,\cdots,m \end{cases}$
其中， $f(\boldsymbol{x})$ 为目标函数， $h_i(\boldsymbol{x})$ 和 $g_j(\boldsymbol{x})$ 分别为等式与不等式约束。针对此类问题，Rosen梯度投影法是一种高效的直接法，尤其适用于线性约束场景，通过投影技术将梯度方向映射到可行域，逐步逼近最优解。

二、Rosen梯度投影法算法原理

2.1 核心思想

Rosen梯度投影法的核心是从一个可行点出发，沿目标函数下降的可行方向搜索，通过迭代更新可行点，最终收敛到最优解。其核心步骤包括：

可行点定义：满足所有约束条件的点 $\boldsymbol{x}$ ，即 $A\boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{b}$ （线性约束场景）。
梯度投影：将目标函数的负梯度方向投影到约束面的切空间，得到可行搜索方向；若投影后方向为零，则检查当前点是否为K-K-T点。

2.2 线性约束场景建模

假设约束条件为线性不等式 $A\boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{b}$ ，其中 $A$ 为约束系数矩阵， $\boldsymbol{b}$ 为约束向量。在当前可行点 $\boldsymbol{x}^{(k)}$ 处，可将约束分为active约束（ $A_1\boldsymbol{x}^{(k)} = \boldsymbol{b}_1$ ）和inactive约束（ $A_2\boldsymbol{x}^{(k)} > \boldsymbol{b}_2$ ），分别对应紧约束和非紧约束。

2.3 投影矩阵构造

定义投影矩阵 $P$ ，用于将梯度方向投影到active约束的切空间。若 $A_1$ 非空，投影矩阵为：
$P = I - A_1^T (A_1 A_1^T)^{-1} A_1$
其中， $I$ 为单位矩阵。该矩阵可将任意向量投影到 $A_1\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}_1$ 的切空间，即与active约束正交的子空间。

三、算法步骤详解

3.1 初始化

给定初始可行点 $\boldsymbol{x}^{(1)}$ ，满足 $A\boldsymbol{x}^{(1)} \geq \boldsymbol{b}$ ，设置迭代计数器 $k = 1$ 。
分解约束矩阵 $A$ 为 $A_1; A_2]$ ，对应active约束 $A_1\boldsymbol{x}^{(k)} = \boldsymbol{b}_1$ 和inactive约束 $A_2\boldsymbol{x}^{(k)} > \boldsymbol{b}_2$ 。

3.2 投影方向计算

若 $A_1$ 为空（无active约束），则投影矩阵 $P = I$ ，搜索方向为负梯度方向 $\boldsymbol{d}^{(k)} = -\nabla f(\boldsymbol{x}^{(k)})$ 。
若 $A_1$ 非空，计算投影后的搜索方向：
$\boldsymbol{d}^{(k)} = -P \nabla f(\boldsymbol{x}^{(k)})$
若 $\boldsymbol{d}^{(k)} \neq \boldsymbol{0}$ ，沿该方向搜索；若 $\boldsymbol{d}^{(k)} = \boldsymbol{0}$ ，则检查当前点是否为K-K-T点（即拉格朗日乘子非负）。

3.3 K-K-T点判定

计算拉格朗日乘子向量：
$\boldsymbol{w} = (A_1 A_1^T)^{-1} A_1 \nabla f(\boldsymbol{x}^{(k)})$
若 $\boldsymbol{w} \geq \boldsymbol{0}$ ，当前点为K-K-T点，停止迭代；否则，移除 $\boldsymbol{w}$ 中负分量对应的active约束，更新 $A_1$ 后重新计算投影方向。

3.4 一维搜索与步长确定

在搜索方向 $\boldsymbol{d}^{(k)}$ 上求解一维优化问题：
$\min_{\lambda \geq 0} f(\boldsymbol{x}^{(k)} + \lambda \boldsymbol{d}^{(k)}), \quad \text{s.t.} \quad A_2(\boldsymbol{x}^{(k)} + \lambda \boldsymbol{d}^{(k)}) \geq \boldsymbol{b}_2$
最大步长 $\lambda_{\text{max}}$ 由inactive约束决定：
$\lambda_{\text{max}} = \begin{cases} \infty, & A_2 \boldsymbol{d}^{(k)} \geq \boldsymbol{0} \\ \min\left\{ \frac{\boldsymbol{b}_2 - A_2 \boldsymbol{x}^{(k)}}{A_2 \boldsymbol{d}^{(k)}} \mid A_2 \boldsymbol{d}^{(k)} < 0 \right\}, & \text{其他} \end{cases}$
通过黄金分割法或进退法求解最优步长 $\lambda_k$ ，更新可行点：
$\boldsymbol{x}^{(k+1)} = \boldsymbol{x}^{(k)} + \lambda_k \boldsymbol{d}^{(k)}$

3.5 迭代终止条件

投影方向 $\boldsymbol{d}^{(k)}$ 为零，且拉格朗日乘子非负；
目标函数值或可行点变化小于指定精度 $\varepsilon$ 。

四、MATLAB实现

4.1 函数定义与参数说明

编写函数minRosen实现Rosen梯度投影法，调用格式：

[x, minf] = minRosen(f, A, b, x0, var, eps)

f：目标函数（符号表达式）；
A：约束矩阵（线性不等式 $A\boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{b}$ ）；
b：约束右端向量；
x0：初始可行点；
var：自变量向量（符号变量）；
eps：精度（默认 $10^{-6}$ ）。

4.2 核心代码逻辑

约束分解：遍历约束条件，分离active和inactive约束：

k = 0; s = 0;
A1 = A; A2 = A;
b1 = b; b2 = b;
for i = 1:mdfun = A(i,:)*x0 - b(i);if abs(dfun) < 1e-9  % 视为active约束k = k + 1;A1(k,:) = A(i,:);b1(k,1) = b(i);elses = s + 1;A2(s,:) = A(i,:);b2(s,1) = b(i);end
end

投影矩阵与搜索方向：

P = eye(n,n);
if k > 0tM = transpose(A1);P = P - tM * inv(A1 * tM) * A1;  % 构造投影矩阵
end
gv = Funval(gf, var, x0);  % 计算梯度
d = -P * gv;  % 搜索方向

一维搜索与步长计算：

bb = b2 - A2 * x0;
dd = A2 * d;
if all(dd >= 0)lm = inf;  % 无步长限制
elselm = min(bb(dd < 0) ./ dd(dd < 0));  % 计算最大可行步长
end

4.3 完整代码（节选）

function [x, minf] = minRosen(f, A, b, x0, var, eps)format long;if nargin == 5, eps = 1.0e-6; endsyms lambda;x0 = transpose(x0); n = length(var);sz = size(A); m = sz(1);gf = jacobian(f, var);  % 目标函数梯度bConti = 1;while bConti% 分解active和inactive约束k = 0; s = 0;A1 = A; A2 = A;b1 = b; b2 = b;for i = 1:mdfun = A(i,:)*x0 - b(i);if abs(dfun) < 1e-9k = k + 1;A1(k,:) = A(i,:);b1(k,1) = b(i);elses = s + 1;A2(s,:) = A(i,:);b2(s,1) = b(i);endendif k > 0, A1 = A1(1:k,:); b1 = b1(1:k,:); endif s > 0, A2 = A2(1:s,:); b2 = b2(1:s,:); end% 计算投影矩阵和搜索方向P = eye(n,n);if k > 0tM = transpose(A1);P = P - tM * inv(A1 * tM) * A1;endgv = Funval(gf, var, x0);gv = transpose(gv);d = -P * gv;  % 搜索方向if all(d == 0)if k == 0x = x0;bConti = 0;break;elsew = inv(A1 * tM) * A1 * gv;  % 拉格朗日乘子if all(w >= -1e-9)  % 考虑数值误差x = x0;bConti = 0;break;else[~, index] = min(w);  % 移除负乘子对应的约束if size(A1,1) == 1k = 0;elseA1 = [A1(1:(index-1),:); A1((index+1):end,:)];endendendelse% 计算最大步长lambda_maxbb = b2 - A2 * x0;dd = A2 * d;if all(dd >= -1e-9)lm = inf;elselm = min(bb(dd < -1e-9) ./ dd(dd < -1e-9));end% 一维搜索求解最优步长y1 = x0 + lambda * d;tmpf = subs(f, var, y1);[xm, ~] = minHJ(tmpf, 0, lm, 1e-14);  % 黄金分割法tol = norm(xm * d);if tol < epsx = x0;break;endx0 = x0 + xm * d;endendminf = Funval(f, var, x);format short;
end

五、实例分析：求解二维约束优化问题

5.1 问题描述

求目标函数 $f(t, s) = 2t^2 + s^2 - 2ts + 3t - 8s + 2$ 在约束条件：
$\begin{cases} -t + s \geq -4 \\ -3t - 5s \geq -8 \end{cases}$
下的极小值，初始可行点 $\boldsymbol{x}^0 = (0, 0)$ 。

5.2 MATLAB求解步骤

定义目标函数与约束：

syms t s;
f = 2*t^2 + s^2 - 2*t*s + 3*t - 8*s + 2;
A = [-1 1; -3 -5];  % 约束矩阵A
b = [-4; -8];       % 约束向量b
x0 = [0; 0];        % 初始可行点

调用minRosen函数：

[x, mf] = minRosen(f, A, b, x0, [t s])

结果输出：

x = -0.3764   1.8258
mf = -8.7444

5.3 结果分析

最优解 $\boldsymbol{x}^*\approx (-0.3764, 1.8258)$ ，满足所有约束条件：
- $\geq -4$
- $\geq -8$
目标函数值收敛到局部极小值，验证算法有效性。

六、注意事项

初始点选择：必须为可行点，否则算法无法启动（可通过预处理调整初始点）。
约束处理：仅适用于线性约束，非线性约束需转换为其他方法（如罚函数法）。
数值精度：迭代过程中需考虑浮点数误差，避免因舍入错误导致收敛失败。
计算效率：高维问题中投影矩阵求逆可能耗时，可结合稀疏矩阵优化计算。

七、总结

Rosen梯度投影法通过可行点搜索与梯度投影技术，为线性约束优化问题提供了高效的求解框架。其核心优势在于直接利用约束结构，避免了罚函数法的参数调整难题，适用于工程优化中的线性约束场景。

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