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欧拉函数φ

news 来源：原创 2025/9/12 2:22:25

函数作用

计算 $1$ ~ $n$ 中有多少个与 $n$ 互质的数。

函数公式

$φ(n)=n\times\frac{p_1-1}{p_1}\times\frac{p_2-1}{p_2}\times……\times\frac{p_m-1}{p_m}$
$p_i$ 为 $N$ 分解后的第 $i$ 个质因数。

公式证明

欧拉函数是积性函数，所以 $φ (ab) = φ (a) * φ (b)$
同理 $φ(n)=φ(p_1^{c_1})\timesφ(p_2^{c_2})\timesφ(p_3^{c_3})\timesφ(p_4^{c_4})\times……\timesφ(p_n^{c_n})$

然后我们再一一来看 $p_1^{c_1}$ ~ $p_n^{c_n}$ 的欧拉函数值。
欧拉函数求的是有多少个数与代入值互质，那么我们可以换一个思路，就是用所有数的数量减去不与代入值互质的数的数量。
对于 $p_i^{c_i}$ 来说，因为 $p_i$ 是质数，所以在 $1$ ~ $p_i^{c_i}$ 中只有是 $p_i$ 的倍数的数不与 $p_i^{c_i}$ 互质，那么在 $1$ ~ $p_i^{c_i}$ 中这样的数有： $p_i$ ， $p_i\times2$ ， $p_i\times3$ ， $p_i\times4……$ ， $p_i\times p_i^{c_i-1}$

所以一共有 $p_i^{c_i-1}$ 个，而 $1$ ~ $p_i^{c_i}$ 中，一共有 $p_i^{c_i}$ 个数，所以 $φ(p_i^{c_i})$ 的值就是 $p_i^{c_i}-p_i^{c_i-1}$ ，从中提取一个 $p_i^{c_i}$ 就是 $p_i^{c_i}\times(1-\frac{1}{p_i})$

接着就是计算 $φ(p_1^{c_1})\timesφ(p_2^{c_2})\timesφ(p_3^{c_3})\timesφ(p_4^{c_4})\times……\timesφ(p_n^{c_n})$

$p_1^{c_1}\times(1-\frac{1}{p_1})\times p_2^{c_2}\times(1-\frac{1}{p_2})\times p_3^{c_3}\times(1-\frac{1}{p_3})\times ……\times p_n^{c_n}\times(1-\frac{1}{p_n})$

由于 $n=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times……\times p_n^{c_n}$

所以 $φ(n)=n\times(1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times(1-\frac{1}{p_3})\times……\times(1-\frac{1}{p_n})$

将 $(1-\frac{1}{p_i})$ 稍作化简就可以得到 $φ(n)=n\times\frac{p_1-1}{p_1}\times\frac{p_2-1}{p_2}\times……\times\frac{p_m-1}{p_m}$

可以用 $O(\sqrt n)$ 的时间复杂度算出一个数的欧拉函数值。

int Euler_function(int n){int ans=n;for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){if(n%i==0)ans=ans/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}if(n>1)ans=ans/n*(n-1);return ans;
}

然后可以用 $O(n\log n)$ 的时间复杂度算出 $2$ ~ $n$ 的欧拉函数值。

void Euler(int n) {for(int i=2;i<=n;i++)phi[i]=i;for(int i=2;i<=n;i++)if(phi[i]==i)for(int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

函数性质

$\forall n>1$ ， $1$ ~ $n$ 中与 $n$ 互质的数之和为 $n\times φ(n)/2$ ；
若 $a, b$ 互质，则 $φ (ab) = φ (a) φ (b)$ ；（积性函数）
设 $p$ 为质数，若 $p\mid n$ 且 $p^2\mid n$ ，则 $φ (n) = φ (n / p) * p$ ；
设 $p$ 为质数，若 $p\mid n$ 且 $p^2\nmid n$ ，则 $φ (n) = φ (n / p) * (p - 1)$ ；
$\sum_{d\mid n}φ(d)=n$ 。

线性筛法

知道了函数性质，就可以考虑用更优的筛法。

线性筛

void Euler(int n) {for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){//质数情况p[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;i*p[j]<=n;j++) {vis[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];//性质3break;}else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);//性质4}}
}

例题1

Farey Sequence
这道题可以先前置求好 $1$ ~ $10^6$ 的欧拉函数，询问时就是求 $1$ ~ $n$ 的函数值之和就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int read(){int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();return x*f;
}
void print(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x<10){putchar(x+'0');return;}print(x/10);putchar(x%10+'0');
}
int n;
int vis[N];
int phi[N];
int p[N];
int cnt;
signed main(){for(int i=2;i<N;i++){if(!vis[i]){p[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;i*p[j]<N;j++){vis[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);}}while(1){n=read();if(!n)break;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans+=phi[i];print(ans);putchar('\n');}
}

例题2

Calculation 2
由性质1可以算出 $1$ ~ $n$ 的欧拉函数值之和，也就是 $1$ ~ $n$ 中所有与 $n$ 互质的数之和，用 $1$ ~ $n$ 的所有数之和减去它就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int read(){int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();return x*f;
}
void print(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x<10){putchar(x+'0');return;}print(x/10);putchar(x%10+'0');
}
int n;
int Sqrt(int res){int x=sqrt(res);while((x+1)*(x+1)<=res)x++;while(x*x>res)x--;return x;
}
int oula(int x){int res=x%mod;for(int i=2;i<=Sqrt(x);i++){if(x%i)continue;res=res/i%mod*(i-1)%mod;while(x%i==0)x/=i;}if(x>1)res=res/x%mod*(x-1)%mod;return res;
}
signed main(){while(1){n=read();if(!n)break;print((n-1-oula(n))*n/2%mod);putchar('\n');}
}

欧拉函数φ

函数作用计算 1 1 1 ~ n n n中有多少个与 n n n互质的数。函数公式 φ ( n ) n p 1 − 1 p 1 p 2 − 1 p 2 … … p m − 1 p m φ(n)n\times\frac{p_1-1}{p_1}\times\frac{p_2-1}{p_2}\times……\times\frac{p_m-1}{p_m} φ(n)np1p1−1p2p2−1……pmp…...

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函数作用

函数公式

公式证明

函数性质

线性筛法

线性筛

例题1

例题2

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