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多视图几何--立体校正--Bouguet方法

news 来源：原创 2025/8/21 18:03:31

Bouguet算法的数学原理详解

Bouguet算法的核心目标是实现双目相机的极线校正，使左右图像的对应点位于同一水平线上，从而简化立体匹配。其数学原理围绕旋转矩阵分解、极线约束构造和重投影优化展开，以下是分步推导：

一、坐标系定义与极线校正目标

设左相机坐标系为世界坐标系原点，右相机坐标系由旋转矩阵 R R R和平移向量 T T T定义。目标是将左右相机的图像平面变换到同一平面上，且基线与图像平面平行，实现极线水平对齐。

数学目标：

  1. 构造新的旋转矩阵 R rect R_{\text{rect}} Rrect​，使左右相机的光轴平行，且基线方向与图像x轴对齐。
  2. 将原始旋转矩阵 R R R分解为左右相机的部分旋转 R l R_l Rl​和 R r R_r Rr​，满足 R = R r T R l R = R_r^T R_l R=RrT​Rl​。
二、旋转矩阵分解与极线对齐

  1. 基线方向对齐：

    平移向量 T = [ T x , T y , T z ] T T = [T_x, T_y, T_z]^T T=[Tx​,Ty​,Tz​]T表示右相机相对于左相机的位置。
    归一化基线方向： e 1 = T ∥ T ∥ = [ e 1 x , e 1 y , e 1 z ] T e_1 = \frac{T}{\|T\|} = [e_{1x}, e_{1y}, e_{1z}]^T e1​=∥T∥T​=[e1x​,e1y​,e1z​]T。

  2. 构造正交基 R rect R_{\text{rect}} Rrect​：

新坐标系的x轴沿基线方向： r 1 = e 1 r_1 = e_1 r1​=e1​

y轴与原光轴正交： r 2 = [ 0 , 0 , 1 ] T − ( e 1 T [ 0 , 0 , 1 ] T ) e 1 ∥ [ 0 , 0 , 1 ] T − ( e 1 T [ 0 , 0 , 1 ] T ) e 1 ∥ r_2 = \frac{[0, 0, 1]^T - (e_1^T [0, 0, 1]^T)e_1}{\|[0, 0, 1]^T - (e_1^T [0, 0, 1]^T)e_1\|} r2​=∥[0,0,1]T−(e1T​[0,0,1]T)e1​∥[0,0,1]T−(e1T​[0,0,1]T)e1​​.

z轴由叉乘确定： r 3 = r 1 × r 2 r_3 = r_1 \times r_2 r3​=r1​×r2​.

构造正交旋转矩阵：
R rect = [ r 1 T r 2 T r 3 T ] . R_{\text{rect}} = \begin{bmatrix} r_1^T \\ r_2^T \\ r_3^T \end{bmatrix}. Rrect​= ​r1T​r2T​r3T​​ ​.

  1. 平分旋转角度：

将原始旋转矩阵 R R R分解为左右相机各旋转一半：
R l = R rect ⋅ R 1 / 2 , R r = R rect ⋅ R − 1 / 2 . R_l = R_{\text{rect}} \cdot R^{1/2}, \quad R_r = R_{\text{rect}} \cdot R^{-1/2}. Rl​=Rrect​⋅R1/2,Rr​=Rrect​⋅R−1/2.

其中 R 1 / 2 R^{1/2} R1/2是 R R R的平方根矩阵，满足 R 1 / 2 ⋅ R 1 / 2 = R R^{1/2} \cdot R^{1/2} = R R1/2⋅R1/2=R。

三、投影矩阵构造与重映射
  1. 构造新的投影矩阵：

左相机投影矩阵：
P l = K l ⋅ [ R rect 0 ] . P_l = K_l \cdot \begin{bmatrix} R_{\text{rect}} & 0 \end{bmatrix}. Pl​=Kl​⋅[Rrect​​0​].

右相机投影矩阵：
P r = K r ⋅ [ R rect T rect ] , P_r = K_r \cdot \begin{bmatrix} R_{\text{rect}} & T_{\text{rect}} \end{bmatrix}, Pr​=Kr​⋅[Rrect​​Trect​​],

其中 T rect = R rect ⋅ T T_{\text{rect}} = R_{\text{rect}} \cdot T Trect​=Rrect​⋅T.

  1. 极线约束的数学表达：

校正后，极线方程退化为水平线 y = y 0 y = y_0 y=y0​，对应极线方程为：
x r = x l + [ d 0 0 ] , \mathbf{x}_r = \mathbf{x}_l + \begin{bmatrix} d \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, xr​=xl​+ ​d00​ ​,

其中 d d d为视差。

code：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Geometry>using namespace Eigen;// 定义相机参数结构体
struct CameraParams {Matrix3f K;     // 内参矩阵Vector3f T;     // 平移向量 (右相机相对于左相机)Matrix3f R;     // 旋转矩阵 (右相机相对于左相机)
};// Bouguet立体校正核心函数
void bouguetRectify(const CameraParams& left, const CameraParams& right, Matrix3f& R_rect, Matrix3f& R_left, Matrix3f& R_right,Matrix34f& P1, Matrix34f& P2) {// ------------ 步骤1: 构造校正旋转矩阵 R_rect ------------// 计算基线方向 (左相机到右相机的归一化平移向量)Vector3f e1 = left.T.normalized();// 构造正交基Vector3f r1 = e1;Vector3f temp = Vector3f::UnitZ() - e1.dot(Vector3f::UnitZ()) * e1;Vector3f r2 = temp.normalized();Vector3f r3 = r1.cross(r2);// 构造 R_rectR_rect.row(0) = r1.transpose();R_rect.row(1) = r2.transpose();R_rect.row(2) = r3.transpose();// ------------ 步骤2: 分解旋转矩阵 ------------// 计算旋转矩阵的平方根分解 R = R_half * R_halfEigen::Matrix3f R = left.R; // 原始旋转矩阵Eigen::Matrix3f logR, R_half;// 使用对数-指数方法计算平方根logR = R.log();             // 矩阵对数R_half = (0.5 * logR).exp(); // 矩阵指数// 左右相机旋转矩阵R_left = R_rect * R_half;R_right = R_rect * R_half.inverse();// ------------ 步骤3: 构造投影矩阵 ------------// 左相机投影矩阵 P1 = K * [R_rect | 0]P1.block<3,3>(0,0) = left.K * R_rect;P1.col(3) = Vector3f::Zero();// 右相机投影矩阵 P2 = K * [R_rect | T_rect]Vector3f T_rect = R_rect * left.T;P2.block<3,3>(0,0) = right.K * R_rect;P2.col(3) = right.K * T_rect;
}int main() {// 相机参数CameraParams left, right;// 左相机内参left.K << 800, 0, 320,0, 800, 240,0, 0, 1;left.T = Vector3f(0.1, 0, 0);  // 平移向量left.R = Matrix3f::Identity(); // 左相机无旋转// 右相机参数 right.K = left.K;              // 假设内参相同right.T = Vector3f::Zero();    // 无额外平移right.R = AngleAxisf(0.2, Vector3f::UnitY()).toRotationMatrix(); // Y轴旋转// 输出参数Matrix3f R_rect, R_left, R_right;Matrix34f P1, P2; // 3x4投影矩阵// 执行校正bouguetRectify(left, right, R_rect, R_left, R_right, P1, P2);// 打印结果std::cout << "校正旋转矩阵 R_rect:\n" << R_rect << "\n\n";std::cout << "左相机旋转 R_left:\n" << R_left << "\n\n";std::cout << "右相机旋转 R_right:\n" << R_right << "\n\n";std::cout << "左投影矩阵 P1:\n" << P1 << "\n\n";std::cout << "右投影矩阵 P2:\n" << P2 << "\n";return 0;
}

参考：《learning opencv》
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2025年 npm淘宝镜像最新地址

查看当前镜像 npm config get registry 切换陶宝镜像源 npm config set registry https://registry.npmmirror.com/ 验证npm镜像源是否切换成功 npm config get registry 如果返回的地址是https://registry.npmmirror.com/&#xff0c;那么说明你已经成功切换到淘宝的npm…...

编程日记 2025/8/20 7:46:25

0基础 | 硬件 | LM386芯片

LM386芯片&#xff1a;音频功率放大器芯片 内部集成三极管功能将微弱信号放大20-200倍&#xff0c;并且驱动内阻为8Ω的扬声器注意CD系列芯片&#xff0c;内部集成MOS管 LM386特性 LM386主要由以下三个部分组成 内部电路 差分输入 差分输入 多个三极管左右对称&#xff0c;形…...

编程日记 2025/8/21 14:46:46

Spring Boot集成APK Parser库实现APK文件解析

目录 1. 添加依赖 2. 创建APK解析服务 3. 创建控制器 4. 测试 注意事项 在Spring Boot项目中集成APK Parser库并解析APK文件&#xff0c;可以按照以下步骤进行操作&#xff1a; 1. 添加依赖 在项目的pom.xml文件中添加apk-parser库的依赖&#xff1a; <dependency&…...

编程日记 2025/8/21 21:18:37

java基础 迭代Iterable接口以及迭代器Iterator

Itera迭代 Iterable < T>迭代接口(1) Iterator iterator()(2) forEach(Consumer<? super T> action)forEach结合Consumer常见场景forEach使用注意细节 (3)Spliterator spliterator() Iterator< T>迭代器接口如何“接收” Iterator<T>核心方法迭代器的…...

编程日记 2025/8/21 18:08:53