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蓝桥杯 之 数论

news 来源：原创 2025/8/5 3:12:29

文章目录

  • 习题
    • 质数
      • 找素数
    • LCM
      • 报数游戏
    • 快速幂
      • 数字诗意
    • 组合数与错位排序
      • 小蓝与钥匙
    • 同余
      • 取模

  • 数论，就是一些数学问题，蓝桥杯十分喜欢考察，常见的数论的问题有：取模，同余，大整数分解，素数，质因数，最大公约数，最小公倍数等等

整除
在这里插入图片描述

取模
在这里插入图片描述

同余

  • 两个数同余，就是a % k = b % k,对于对同一个数的同余，那么就意味着a = b + x*k,意味着它们相差k的倍数，也就有(a-b) % k = 0

在这里插入图片描述

素数

  • 首先介绍这个素数的问题，也就是质数，只能被1或者本身整除，最小的素数是2
  • 需要掌握埃氏筛或者欧拉筛求解出1-n的范围内的所有的质数
is_prime = [True]*(N+1)
prime = []
for i in range(2,N+1):if is_prime[i]:prime.append(i)for j in range(2*i,N+1,i):is_prime[j] = False
# 最后的话，这个prime 会存储所有的质数

求解一个数的质因数

求解最小质因数

  • 同样，也可以使用埃氏筛，也可以使用欧式筛
def minprime(n):i = 2while i*i <= n:if n % i == 0:return ii += 1# 质数最后会返回自己本身return n

求解一个数的全部的质因数组成
在这里插入图片描述

def zuprime(n):ans = []i = 2while i*i <=n:while n % i == 0:ans.append(i)n = n // ii += 1if n > 1:ans.append(n)return ans

求解一个范围内的数的最小质因数

使用欧式筛,欧式筛的原理就是，每一个数只会被最小质因数所筛选，所以相对于埃氏筛来说具有优势

# 在这里我们初始化全部的数的最小质因数都是1，也包括质数
minprime = [1]*(N+1)
is_prime = [True]*(N+1)
prime = []
for i in range(2,N+1):if is_prime[i]:prime.append(i)for j in prime:if i*j > N :breakis_prime[i*j] = Falsemin_prime[i*j] = j# 保证只能被最小质因数筛选if i % j == 0:break

最大公因数

  • a和b的最大公因数表示，可以整除a,b的最大的公因数，一般使用辗转相除法进行求解
import math
# 需要求解a,b的最大公因数，可以直接调用这个gcd函数进行求解
ans = math.gcd(a,b)

最小公倍数

  • a和b的最小公倍数LCM可以通过这个与最大公因数的关系进行求解
# lcm(a,b) = a*b // math.gcd(a,b)

组合数

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快速幂
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  • 可以使用pow方法求解取模的幂次，类似于快速幂
result = pow(base, exponent, mod)  # 计算 (base ** exponent) % mod# 也可以手动实现上述功能
def quick_pow(a, n):ans = 1while n > 0:if n & 1:  # 如果该二进制位存在ans = ans * a % MODa = a * a % MODn >>= 1  # n除以2,判断下一个二进制位return ans

容斥定理
在这里插入图片描述
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错位排序

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习题

质数

找素数

在这里插入图片描述

  • 由于是填空题，直接暴力求解
N = 10**7
prime = []
is_prime = [True]*(N+1)
for i in range(2,N+1):if is_prime[i]:prime.append(i)for j in range(i*2,N+1,i):is_prime[j] = False
if len(prime) > 10**5 +2 :print(prime[10**5+1])
# 1299743

LCM

报数游戏

报数游戏

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  • 很明显，这个题目不可能会让你从一开始就进行大范围的暴力求解
  • 所以还是考虑在小范围之内打表找规律
ans = []
for i in range(1,10**3+1):if i % 20 == 0 or i % 24 ==0:ans.append(i)
print(ans)
# 输出情况
[20, 24, 40, 48, 60, 72, 80, 96, 100, 120, 140, 144, 160, 168, 180, 192, 200, 216, 220, 240, 260, 264, 280, 288, 300, 312, 320, 336, 340, 360,····]
  • 即使在打表之前，我们就应该想到，这个找的是20或者24的倍数，那么他们的倍数在什么时候会重合？这里就回到了这个LCM的问题，我们可以发现LCM(20,24)=120,所以对于打表之后的输出找规律，发现，刚好120范围就会有10个数字，类似于这个进制一样，我们只需算出n是10个多少倍数，然后再对应余数找到这个对应的基数，后面再乘再+即可
num = [20, 24, 40, 48, 60, 72, 80, 96, 100, 120]
print(202420242024//10)
# 答案是 20242024202
print(202420242024%10)
# 答案是 4print(120*20242024202+48)
# 答案是 2429042904288

快速幂

数字诗意

数字诗意

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

  • 首先的思考，由于数字的范围十分大，所以考虑还是找规律，(其实数据范围较大的时候，就得考虑这个数字规律的问题，一般有幂次，循环规律等)
  • 当然，还是老方法，通过打表进行求解，但是如何打表就成为我们现在应该考虑的问题！
  • 暴力也是一种学问！：我们可以从1开始逐一枚举连续的和的开始位置，再枚举向右的位置
notres = []def check(num):# 枚举开始位置for i in range(1,num):ans = 0# 枚举结束的位置for j in range(i,num):ans += j if ans > num:breakelif ans == num:return True

直接暴力求解是可以通过30%的测试用例的

  • 但是我们可以把打表的结果输出找规律！
# notres 数组如下
[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192]
# 可以看到都是2的幂次，所以可以得到是2的幂次都是不满足的
  • 现在的任务转化为这个快速求解出10^16那么大的一个范围内的2的幂次的值，然后存储起来，那么大的范围的一个幂次的问题，直接转化为这个快速幂的问题
# 10**16
notres = []
i = 0
# python直接调用这个pow函数进行求解
while pow(2,i) <= 10**16:notres.append(pow(2,i))i += 1
  • 两个代码相互结合，就可以通过全部的测试用例
import os
import sys# 请在此输入您的代码notres = []# 10**16
notres = []
i = 0
while pow(2,i) <= 10**16:notres.append(pow(2,i))i += 1n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
cou = 0 
for nu in a:if nu in notres:cou+=1
print(cou)

组合数与错位排序

小蓝与钥匙

小蓝与钥匙

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  • 很容易看出来这是一个错位排序的问题，直接套公式dp[i] = (i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2])
  • 题目求解的是这个方案数，我们得在28个孩子中先选择14个孩子，作为错位排序的对象，剩余的就正常对应，所以这个还考察了这个组合数的问题
import os
import sys# 请在此输入您的代码# 错位排序+组合数
# 从28个孩子中选出14个孩子的方案数乘剩余14个错位排序的方案dp = [0]*15
dp[1] ,dp[2] = 0,1
for i in range(3,15):dp[i] = (i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2])# 从28个孩子中选出14个孩子，28! // (14!*14!)tmp1 ,tmp2 = 1,1
for i in range(1,29):tmp1 *= i if i <= 14:tmp2 *= i
zu = int(tmp1 / (tmp2*tmp2))
print(dp[14]*zu)
# 答案是 1286583532342313400

同余

取模

取模

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

  • 其实题目中的m的范围并没有那么大，我们直接采用暴力的做法即可
import os
import sys# 请在此输入您的代码# 取模，是否存在？
# 直接暴力求解
def check(num,m):store = set()for i in range(1,m+1):tmp = num % i if tmp in store:return Trueelse:store.add(tmp)return FalseT = int(input())
for _ in range(T):n,m = map(int,input().split())if check(n,m):print("Yes")else:print("No")

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编程日记 2025/8/2 4:50:45

搭建React简单项目

一、项目构建 目录结构&#xff1a; 安装脚手架 npm install -g create-react-app // or yarn add -g create-react-app 一、项目版本 1、react&#xff1a;"^18.3.1"&#xff1b; 2、react-router-dom&#xff1a;"^6.23.1"&#xff1b; 3、项目创…...

编程日记 2025/7/30 10:08:39

ROCK 280A-M 工业级电调：高性能无人机动力心脏，重塑严苛场景飞行边界

—— 工业级动力控制系统解决方案 —— 【产品概述】 针对工业级无人机高负载、复杂工况需求&#xff0c;南昌长空科技的ROCK 280A-M 电调以航空级标准打造动力控制中枢。采用工业级控制算法与智能自适应系统&#xff0c;为多旋翼 / 固定翼无人机提供稳定动力支撑&#xff0c;突…...

编程日记 2025/7/29 19:31:05

带你从入门到精通——自然语言处理（十. BERT）

建议先阅读我之前的博客&#xff0c;掌握一定的自然语言处理前置知识后再阅读本文&#xff0c;链接如下&#xff1a; 带你从入门到精通——自然语言处理&#xff08;一. 文本的基本预处理方法和张量表示&#xff09;-CSDN博客 带你从入门到精通——自然语言处理&#xff08;二…...

编程日记 2025/7/30 16:45:18

八股JAVA并发

多线程 线程的创建方式有哪些? 1.继承Thread类 2.实现Runnable接口 3.Callable接口FutureTask 4.线程池 1.继承Thread类 这是最直接的一种方式&#xff0c;用户自定义类继承java.lang.Thread类&#xff0c;重写其run()方法&#xff0c;run()方法中定义了线程执行的具体任务。…...

编程日记 2025/8/1 8:44:00

#include ＜hello.h＞ 与 #include “hello.h“的区别

#include <hello.h> 和 #include "hello.h" 在C/C中用于包含头文件&#xff0c;但它们在搜索头文件时的行为有所不同&#xff0c;这可能导致前者找不到头文件的情况。 ### 区别 1. **搜索路径不同** - #include "hello.h"&#xff1a;编译器首先…...

编程日记 2025/8/1 22:02:52

PyPDF2简单介绍

PyPDF2 是一个开源的纯 Python 库&#xff0c;用于读取、操作和创建 PDF 文件。它最初是 PyPDF 的改进版&#xff0c;功能更丰富。 安装&#xff1a; bash pip install PyPDF2核心功能 1.合并 PDF 文件 python from PyPDF2 import PdfMergermerger PdfMerger() merger.appe…...

编程日记 2025/7/31 11:08:11

记录flutter编译项目遇到的问题

目录 1.更换flutter版本 2.解压到指定地址 3.在Android Studio配置 问题: Flutter assets will be downloaded from https://storage.flutter-io.cn. Make sure you trust this source! Resolving dependencies... The current Dart SDK version is 3.3.0. Because coach d…...

编程日记 2025/8/3 21:56:46

小米AX6000上安装tailscale

在之前的文章中&#xff0c;已经介绍了如何解锁ax6000的ssh&#xff0c;以及必坑指南。 今天突发奇想&#xff0c;为了不让我的nas天天开着tailscale&#xff0c;所以我想让我的tailscale运行在路由器&#xff0c;这样完美实现穿透。 首先&#xff0c;通过ssh登录ax6000&#x…...

编程日记 2025/8/3 1:13:17

git使用经验（一）

git使用经验&#xff08;一&#xff09; 我之前已经下载了别人的代码&#xff0c;我想在此基础上进行修改&#xff0c;并移动到自己的私有仓库&#xff0c;方便上传到自己的私有仓库自己进行版本控制 git clone下来别人的代码&#xff0c;删除有关git的隐藏文件 进入到自己的…...

编程日记 2025/7/28 20:24:39