当前位置： 首页 > news >正文

算法——通俗讲解升幂定理

news 来源：原创 2025/8/26 16:48:42

一、生活比喻：台阶与放大镜

想象你有一盏灯，光线穿过一层玻璃（基础台阶），每层玻璃会过滤掉一定颜色的光（质数 ( p )）。升幂定理就像在灯前叠加放大镜（指数 ( n )），每叠加一层，过滤效果会被特定倍数放大。最终过滤掉的层数 = 基础层数 + 放大镜的“放大能力”。

二、核心规则

  1. 适用条件：

    • 质数 ( p )：一般为奇质数（如3,5,7），若 ( p=2 )，需特殊处理。
    • ( a ) 和 ( b )：不被 ( p ) 整除，但 ( a pm b ) 被 ( p ) 整除（如 ( a=10 ), ( b=1 ), ( p=3 ), 则 ( 10-1=9 ) 被3整除）。

  2. 公式：

    • 减法形式（任何 ( n )）：

      text{总层数} = text{基础层数}(a - b) + text{放大能力}(n)

      即：

      v_p(a^n - b^n) = v_p(a - b) + v_p(n)

    • 加法形式（仅限 奇数 ( n )）：

      v_p(a^n + b^n) = v_p(a + b) + v_p(n)

三、数形结合：数轴与模运算

  1. 基础层数（( a pm b ) 的幂次）：

    • ( a ) 和 ( b ) 在数轴上相距 ( a pm b )，若这段距离被 ( p ) 整除（如 ( p=3 ) 整除9），则 ( a ) 和 ( b ) 在模 ( p ) 下“重合”（如 ( 10 equiv 1 mod 3 )）。

  2. 放大能力（( n ) 的贡献）：

    • 当 ( n ) 增大时，表达式 ( a^n pm b^n ) 的“重合效果”被放大。
    • 每多一个 ( p ) 因子在 ( n ) 中（如 ( n=6=3 times 2 )，则 ( v_3(n)=1 )），放大能力加1层。

四、实例操作

例1：计算 ( v_3(10^6 - 1) )

  1. 条件检查：

    • ( p=3 ), ( a=10 ), ( b=1 )，满足 ( 3 nmid 10 ), ( 3 nmid 1 )，且 ( 3 mid 10 - 1 = 9 )。

  2. 基础层数：

    v_3(10 - 1) = v_3(9) = 2

  3. 放大能力：

    v_3(6) = 1 quad (text{因为 } 6 = 3^1 times 2)

  4. 总层数：

    v_3(10^6 - 1) = 2 + 1 = 3

    验证：( 10^6 - 1 = 999999 = 3^3 times 37037 )，确实含3³。

例2：计算 ( v_2(5^3 + 3^3) )（特殊处理 ( p=2 )）

  1. 条件检查：

    • ( p=2 )，要求 ( a equiv b equiv 1 mod 2 )（满足：5和3均为奇数）。
    • ( n=3 ) 为奇数，适用加法形式。

  2. 基础层数：

    v_2(5 + 3) = v_2(8) = 3

  3. 放大能力：

    v_2(3) = 0 quad (text{3中无2的因子})

  4. 总层数：

    v_2(5^3 + 3^3) = 3 + 0 = 3

    验证：( 5^3 + 3^3 = 152 = 2^3 times 19 )。

五、常见误区

  1. 忽略 ( p=2 ) 的特殊性：

    • 若 ( p=2 )，必须检查 ( a ) 和 ( b ) 是否均为奇数，且加法形式仅当 ( n ) 为奇数时成立。

  2. 误用于不满足条件的情况：

    • 例如 ( p=5 )，若 ( a=7 ), ( b=3 )，则 ( 5 nmid 7-3=4 )，定理不适用。

六、总结

  • 升幂定理 = 基础层（( a pm b ) 的质数幂次） + 放大层（( n ) 的质数幂次）。
  • 数形结合：想象数轴上 ( a ) 和 ( b ) 的“质数对齐”，通过指数 ( n ) 放大这种对齐效果。
  • 适用场景：快速计算高次幂中质数的幂次，避免直接分解大数。

口诀：
质数整除差或和，升幂定理直接说。
基础幂次加放大，指数因子别漏过！

相关文章：

算法——通俗讲解升幂定理

一、生活比喻：台阶与放大镜 想象你有一盏灯，光线穿过一层玻璃（基础台阶），每层玻璃会过滤掉一定颜色的光（质数 ( p )）。升幂定理就像在灯前叠加放大镜（指数 ( n )）&#…...

编程日记 2025/8/26 16:48:42

DeepSpeed ZeRO++：降低4倍网络通信，显著提高大模型及类ChatGPT模型训练效率

图1: DeepSpeed ZeRO 简介 大型 AI 模型正在改变数字世界。基于大型语言模型 (LLM)的 Turing-NLG、ChatGPT 和 GPT-4 等生成语言模型用途广泛，能够执行摘要、代码生成和翻译等任务。 同样，DALLE、Microsoft Designer 和 Bing Image Creator 等大型多模…...

编程日记 2025/8/26 16:45:48

【Audio开发四】音频audio中underrun和overrun原因详解和解决方案

一，underrun & overrun定义 我们知道，在Audio模块中数据采用的是生产者-消费者模式，生产者负责生产数据，消费者用于消费数据，针对AudioTrack和AudioRecord，其对应的角色不同； AudioTrack …...

编程日记 2025/8/25 3:31:45

[CMake] vcpkg的使用方法

C第三方库管理工具vcpkg使用教程。 如果要在vscode当中使用 1. 使用 CMakePresets.txt 来配置configure时的参数 2. 设置如下 即可正常编译...

编程日记 2025/8/26 16:46:27

光纤模块全解：深入了解XFP、SFP、QSFP28等类型

随着信息技术的快速发展，数据中心和网络的带宽需求不断提高，光纤模块的选择与应用显得尤为重要。光纤模块是实现高速网络连接的重要组件，选择合适的模块能够显著提升传输性能、降低延迟。本文将深入解析几种常见的光纤模块类型，包…...

编程日记 2025/8/26 5:20:45

【数据结构】之散列

一、定义与基本术语 （一）、定义 散列（Hash）是一种将键（key）通过散列函数映射到一个固定大小的数组中的技术，因为键值对的映射关系，散列表可以实现快速的插入、删除和查找操作。在这…...

编程日记 2025/8/25 17:19:13

利用pnpm patch命令实现依赖包热更新：精准打补丁指南

需求场景 在Element Plus的el-table组件二次开发中，需新增列显示/隐藏控件功能。直接修改node_modules源码存在两大痛点： 团队协作时修改无法同步 依赖更新导致自定义代码丢失 解决方案选型 通过patch-package工具实现： 📦 非…...

编程日记 2025/8/26 16:46:25

pve常用命令

pve常用命令 虚拟机管理容器管理集群管理存储与磁盘管理网络相关备份/还原手动备份计划任务备份（Web 界面常用）还原备份 快照创建快照查看快照恢复快照删除快照 其他实用命令 虚拟机管理 # 查看所有虚拟机列表 qm list# 查看虚拟机运行状态 qm status 1…...

编程日记 2025/8/25 1:01:50

数据结构（三）---单向循环链表

单向循环链表（Circular Linked List） 一、基本概念 循环链表是一种特殊的链表，其末尾节点的后继指针指向头结点，形成一个闭环。 循环链表的操作与普通链表基本一致，但需注意循环特性的处理。 二、代码实现 clList…...

编程日记 2025/8/25 8:45:12

HCIP-H12-821 核心知识梳理 （3）

从EBGP邻居接受的路由发送给IBGP邻居的时候，下一跳不会自动修改。一个 Route - Policy 最多可配置 65535个节点 BFD 单跳使用UDP3784端口多跳使用UDP 4784端口。 防火墙 Local：代表防火墙自身，处理防火墙本地发起或接收的流量 。 优先级 100I…...

编程日记 2025/8/26 16:24:21

Vue接口平台学习七——接口调试页面请求体

一、实现效果图及简单梳理 请求体部分的左边，展示参数，分text和file类型。 右边部分一个el-upload的上传文件按钮，一个table列表展示，一个显示框，用于预览选择的文件，点击可大图展示。 二、页面内容实现 …...

编程日记 2025/8/24 7:37:46

STM32

GPIO 输入输出模式 GPIO 输出描述 GPIO_Mode_Out_OD 开漏输出模式： 1.对输入数据寄存器的读访问可得到I/O状态 HAL输出输出模式 GPIO输出描述GPIO_MODE_OUTPUT_PP推挽输出GPIO_MODE_OUTPUT_OD开漏输出GPIO输入GPIO_PULLUP上拉输入 寄存器 GPIOx->ODR/IDR …...

编程日记 2025/8/25 8:34:26

linux如何用关键字搜索日志

在 Linux 系统中搜索日志是日常运维的重要工作，以下是几种常用的关键字搜索日志方法： 1. 基础 grep 搜索 bash 复制 # 基本搜索（区分大小写） grep "keyword" /var/log/syslog# 忽略大小写搜索 grep -i "error&…...

编程日记 2025/8/24 18:50:31

381_C++_decrypt解密数据、encrypt加密数据，帧头和数据buffer分开

仿照.cpp中将帧头和数据分开处理的方式来修改.cpp中的加密： if (StreamCipher::self().needEncrypt()) {// 创建加密缓冲区static std::vector...

编程日记 2025/8/26 16:48:40

MongoDB常见语句

目录 1. 增删改 2. 评估查询运算符 3. 比较查询运算符 4. 逻辑运算符 5. 元素运算符 6. 数组查询运算符 7. 字段更新操作符 8. 数组更新操作符 10. 聚合管道 1. 增删改 增 db.getCollection("Y").insert({"age": 10,name: "ces5"});//增…...

编程日记 2025/8/25 8:07:28

Kotlin学习记录2

Android Studio中的注意事项 本文为个人学习记录，仅供参考，如有错误请指出。本文主要记录在Android Studio中开发时遇到的问题和回答。 Fragment有哪些特性？ Fragment 是 Android 开发中的一个重要组件，具有以下特性&#xff1a…...

编程日记 2025/8/26 16:48:41

如何通过工具实现流程自动化

通过自动化工具，企业可以显著提高工作效率、降低人为错误、节省时间和成本。现代企业的运营中，流程管理是确保工作顺畅的关键，而人工处理繁琐的流程不仅容易出错，还会消耗大量的时间和人力资源。通过使用适合的自动化工具&#xf…...

编程日记 2025/8/26 16:48:40

组合数哭唧唧

前言&#xff1a;手写一个简单的组合数&#xff0c;但是由于长期没写&#xff0c;导致一些细节没处理好 题目链接 #include<bits/stdc.h> using namespace std; #define endl "\n"#define int long longconst int N (int)2e510; const int Mod (int)1e97;int…...

编程日记 2025/8/20 1:51:41

LINUX基石

Vim编辑器Linux系统常用命令管理Linux实例软件源Nginx服务配置多站点Cron定时任务在Linux系统上安装图形化界面升级Linux ECS实例内核设置Linux实例的预留内存Linux系统中TCP/UDP端口测试方法进入Linux/FreeBSD系统的单用户模式 Vim编辑器 linux系统默认安装vim编辑器。终端中…...

编程日记 2025/8/26 16:48:39

Flowable工程化改造相关文档

本章将针对前期进行的Flowable流程引擎研究&#xff0c;进行相应的工程化改造&#xff0c;改造过程分别为对Flowable引擎流程文件远程化处理&#xff0c;流程过程接口化升级&#xff0c;等方面进行改造&#xff0c;以适配其他项目对流程引擎的API调用 首先对流程引擎项目主要流…...

编程日记 2025/8/26 11:28:02

架构设计系列

架构设计系列&#xff1a;什么是架构设计架构设计系列&#xff1a;几个常用的架构设计原则架构设计系列&#xff1a;高并发系统的设计目标架构设计系列&#xff1a;如何设计可扩展架构架构设计系列&#xff1a;如何设计高性能架构架构设计系列&#xff1a;如何设计高可用架构架…...

编程日记 2025/8/26 13:30:35

波束形成（BF）从算法仿真到工程源码实现-第十节-非线性波束形成

一、概述 本节我们基于webrtc的非线性波束形成进行代码仿真&#xff0c;并对仿真结果进行展示和分析总结。更多资料和代码可以进入https://t.zsxq.com/qgmoN &#xff0c;同时欢迎大家提出宝贵的建议&#xff0c;以共同探讨学习。 二、仿真代码 2.1 常量参数 % *author : a…...

编程日记 2025/8/26 16:04:51

QuickAPI 全生命周期管理：从开发到退役的闭环实践​

数据 API 作为企业核心的数据资产&#xff0c;其生命周期管理直接影响数据服务的稳定性、安全性和复用效率。麦聪 QuickAPI 通过可视化、智能化的管理工具&#xff0c;构建了覆盖 API 全生命周期的闭环管理体系&#xff0c;实现从 "粗放式开发" 到 "精细化运营&…...

编程日记 2025/8/25 19:58:44

STM32 TDS＋温度补偿

#define POLAR_CONSTANT (513385) /* 电导池常数&#xff0c;可通过与标准TDS测量仪对比计算反推 */ #define TDS_COEFFICIENT (55U) /* TDS 0.55 * 电子传导率*/void TDS_Value_Conversion() {u32 ad0;u8 i;float compensationCoefficient;float compens…...

编程日记 2025/8/26 11:10:13

【四川省第三届青少年C++算法设计大赛 (小低组) 第 一试】

一、单项选择题(共15题&#xff0c;每题2分&#xff0c;共计30分;每题有且仅有一个正确选项) 1、计算机中负责执行算术和逻辑运算的部件是() A. 内存 B.CPU C.硬盘 D.鼠标 2、近期备受关注的国产开源生成式人工智能大模型是() A. AlphaChat B. …...

编程日记 2025/8/26 15:37:16

疾控01-实验室信息管理系统需求分析

支持录入送检单位的基本信息&#xff0c;包括单位名称、联系方式、地址、联系人等。支持修改、删除、查询功能&#xff1b;支持录入检验目的的具体内容&#xff0c;如疾病类型&#xff08;例如血液检测、癌症检测&#xff09;或样本来源&#xff08;如水质监测、食品安全检测&a…...

编程日记 2025/8/24 10:01:23

Redis之RedLock算法以及底层原理

自研redis分布式锁存在的问题以及面试切入点 lock加锁关键逻辑 unlock解锁的关键逻辑 使用Redis的分布式锁 之前手写的redis分布式锁有什么缺点&#xff1f;&#xff1f; Redis之父的RedLock算法 Redis也提供了Redlock算法&#xff0c;用来实现基于多个实例的分布式锁。…...

编程日记 2025/8/26 5:22:21

【JavaScript】二十二、通过关系查找DOM节点、新增、删除

文章目录 1、DOM节点的分类2、查找亲戚节点2.1 父节点查找2.2 子节点查找2.3 兄弟节点查找 3、新增节点3.1 创建新节点3.2 追加节点3.3 克隆节点3.4 案例&#xff1a;学成在线页面数据渲染 4、删除节点 1、DOM节点的分类 DOM树里每一个内容都称之为节点&#xff0c;节点分为三…...

编程日记 2025/8/26 7:27:29

SQL学习-关联查询（应用于多表查询）

复习 前几篇写的基础查询语法复习 以上都在单一表单内进行查询&#xff0c;那么我们需要用到多个表单的数据时&#xff0c;我们应该怎么处理呢&#xff1f; 关联查询 在excle文档中我们的处理方式如下 excle的这个查询虽然简单直观&#xff0c;但是也具有一定的局限性 比…...

编程日记 2025/8/26 16:46:23

在 MySQL 单表存储 500 万数据的场景下，如何设计读取

在 MySQL 单表存储 500 万数据的场景下，设计高效读取方案需要从 查询优化、架构扩展、硬件调优 三个层面综合考虑。以下是具体方案，结合实际项目经验（如标易行投标服务平台）进行分析： 一、查询优化：降低单次查询开销 1. 索引优化 核心原则：仅为高频查询条件、排序字段、…...

编程日记 2025/8/24 8:48:02

Python使用FastMCP开发MCP服务端

MCP简介 Model Context Protocol (MCP) 是一个专门为 LLM&#xff08;大语言模型&#xff09;应用设计的协议&#xff0c;它允许你构建服务器以安全、标准化的方式向 LLM 应用程序公开数据和功能。FastMCP 作为 Python 生态中的一款轻量级框架&#xff0c;利用装饰器来简化路由…...

编程日记 2025/8/26 15:15:40

ESLint常见错误

1、Strings must use singlequote —— 字符串必须使用单引号 2、Extra semicolon semi——额外的分号&#xff1a;一行语句结尾不能添加分号 3、Unexpected trailing comma —— 行尾多了一个逗号 4、Newline required at end of file but not found ——文件结尾必须要新加…...

编程日记 2025/8/26 13:14:46

京东硬核挑战潜规则，外卖算法要变天？

刘强东这次回归后的动作&#xff0c;真是越来越有看头了&#xff01;最近那段内部讲话视频爆出来&#xff0c;直接扔了个重磅炸弹&#xff1a;京东外卖&#xff0c;净利润率永远不许超过5%&#xff0c;谁敢超标就得挨处分&#xff01;这话一出&#xff0c;整个外卖圈估计都得抖…...

编程日记 2025/8/26 16:48:39

怎样利用 macOS 自带功能快速进行批量重命名文件教程

在日常办公或个人使用中&#xff0c;我们经常需要对多个文件进行重命名操作。幸运的是&#xff0c;macOS 提供了一套非常实用的内置工具&#xff0c;可以轻松完成这一任务而无需借助任何第三方应用程序。今天&#xff0c;我们就来详细介绍如何利用 macOS 自带的功能实现文件的批…...

编程日记 2025/8/26 14:36:03

Java Spring Cloud框架使用及常见问题

Spring Cloud作为基于Spring Boot的分布式微服务框架&#xff0c;显著简化了微服务架构的开发与管理。其核心优势包括集成Eureka、Ribbon、Hystrix等组件&#xff0c;提供一站式服务发现、负载均衡、熔断容错等解决方案&#xff0c;支持动态配置与消息总线&#xff0c;实现高效…...

编程日记 2025/8/25 17:06:06

机器视觉检测Pin针歪斜应用

在现代电子制造业中&#xff0c;Pin针&#xff08;插针&#xff09;是连接器、芯片插座、PCB板等元器件的关键部件。如果Pin针歪斜&#xff0c;可能导致接触不良、短路&#xff0c;甚至整机失效。传统的人工检测不仅效率低&#xff0c;还容易疲劳漏检。 MasterAlign 机器视觉对…...

编程日记 2025/8/26 11:11:15

抗量子算法验证工具

抗量子算法计算工具 抗量子算法验证工具ML-KEMML-DSASLH-DSA 抗量子算法验证工具 2024年末&#xff0c;美国NIST陆续公布了FIPS-203、FIPS-204、FIPS-205算法标准文档&#xff0c;抽空学习了一下&#xff0c;做了个算法计算工具。 ML-KEM ML-DSA SLH-DSA 需要的朋友可留言交流…...

编程日记 2025/8/26 2:02:32

临床协调简历模板

模板信息 简历范文名称&#xff1a;临床协调简历模板&#xff0c;所属行业&#xff1a;其他 | 职位&#xff0c;模板编号&#xff1a;C1S3WO 专业的个人简历模板&#xff0c;逻辑清晰&#xff0c;排版简洁美观&#xff0c;让你的个人简历显得更专业&#xff0c;找到好工作。希…...

编程日记 2025/8/26 14:05:11

linux命令八

tmux防止远程管理中断 格式:tmux # 进入会话模式 进入会话模式后,你进行文件的压缩时,如果远程管理突然中断,也不会影响压缩的进程 DNS服务器 作用&#xff1a;负责域名解析的服务器&#xff0c;将域名解析为IP地址 /etc/resolv.conf:指定DNS服务器地址配置文件 日志管理 •常见…...

编程日记 2025/8/25 6:07:43

37-串联所有单词的子串

给定一个字符串 s 和一个字符串数组 words。 words 中所有字符串 长度相同。 s 中的 串联子串 是指一个包含 words 中所有字符串以任意顺序排列连接起来的子串。 例如&#xff0c;如果 words ["ab","cd","ef"]&#xff0c; 那么 "abcdef…...

编程日记 2025/8/24 6:47:59

机器学习赋能的多尺度材料模拟与催化设计前沿技术

随着新能源、先进制造等领域对功能材料性能要求的日益严苛&#xff0c;传统材料研发模式面临显著挑战&#xff1a;跨尺度关联机制不清晰、实验试错周期长、计算资源消耗巨大。人工智能技术与多尺度模拟方法的深度融合&#xff0c;为材料科学开辟了“数据驱动物理建模”的创新路…...

编程日记 2025/8/25 12:59:58

HarmonyOS-ArkUI V2工具类：AppStorageV2:应用全局UI状态存储

AppStorageV2是一个能够跨界面存储数据，管理数据的类。开发者可以使用AppStorageV2来存储全局UI状态变量数据。它提供的是应用级的全局共享能力，开发者可以通过connect绑定同一个key，进行跨ability数据共享。 概述 AppStorageV2是一个单例，创建时间是应用UI启动时。其目的…...

编程日记 2025/8/26 6:31:04

【Linux】进程池bug、命名管道、systemV共享内存

一.进程池bug 我们在之前进程池的创建中是通过循环创建管道&#xff0c;并且让子进程与父进程关闭不要的读写段以构成通信信道。但是我们这样构建的话会存在一个很深的bug。 我们在销毁进程池时是先将所有的信道的写端关闭&#xff0c;让其子进程read返回值为0&#xff0c;并…...

编程日记 2025/8/26 12:20:42

.Net 9 webapi使用Docker部署到Linux

参考文章连接&#xff1a; https://www.cnblogs.com/kong-ming/p/16278109.html .Net 6.0 WebApi 使用Docker部署到Linux系统CentOS 7 - 长白山 - 博客园 项目需要跨平台部署&#xff0c;所以就研究了一下菜鸟如何入门Net跨平台部署&#xff0c;演示使用的是Net 9 webAPi Li…...

编程日记 2025/8/26 16:46:24

【差分隐私相关概念】瑞丽差分隐私（RDP）引理1

引理1的详细推导过程 引理1陈述 若分布 P P P 和 Q Q Q 满足&#xff1a; D ∞ ( P ∥ Q ) ≤ ϵ 且 D ∞ ( Q ∥ P ) ≤ ϵ , D_\infty(P \parallel Q) \leq \epsilon \quad \text{且} \quad D_\infty(Q \parallel P) \leq \epsilon, D∞​(P∥Q)≤ϵ且D∞​(Q∥P)≤ϵ, …...

编程日记 2025/8/23 20:58:50

Java练习——day1（反射）

文章目录 练习1练习2练习3思考封装原则与反射合理使用反射“破坏”封装的场景 练习1 编写代码&#xff0c;通过反射获取String类的所有公共方法名称&#xff0c;并按字母顺序打印。 示例代码&#xff1a; import java.lang.reflect.Method; import java.util.Arrays;public …...

编程日记 2025/8/26 9:04:15

【C++】二叉搜索树

目录 一、二叉搜索树 &#x1f354;二叉搜索树概念 &#x1f35f;二叉搜索树的操作 &#x1f32e;二叉搜索树的实现 &#x1f96a;二叉搜索树的应用 &#x1f959;二叉搜索树的效率分析 二、结语 一、二叉搜索树 &#x1f354;二叉搜索树概念 二叉搜索树又称二叉排序树&…...

编程日记 2025/8/24 10:01:36

fastjson2 使用bug

fastjson2 版本2.0.52 转jsonString保留null值求助 有如下对象&#xff1a; JSONObject jsonObject {“A”:null,“B”:“value”} 当服务运行几天之后&#xff0c; 还是这个json格式&#xff0c;因为需要保留null值&#xff0c;如下方法&#xff1a; jsonObject.toJSONString…...

编程日记 2025/8/24 18:06:21

Redis日常维护技巧与常见问题解决方案

Redis是一个开源的内存数据存储系统&#xff0c;广泛应用于缓存、消息队列、实时分析等场景。由于其高性能和持久化特性&#xff0c;越来越多的企业开始引入Redis。然而&#xff0c;要使Redis高效、稳定地运行&#xff0c;日常的维护和问题解决显得尤其重要。本文将分享一些Red…...

编程日记 2025/8/26 1:14:05

【Leetcode-Hot100】最小覆盖子串

题目 解答 想到使用双指针哈希表来实现&#xff0c;双指针的left和right控制实现可满足字符串。 class Solution(object):def minWindow(self, s, t):""":type s: str:type t: str:rtype: str"""len_s, len_t len(s), len(t)hash_map {}for…...

编程日记 2025/8/24 8:05:52