【数据结构】励志大厂版·初阶(复习+刷题):复杂度
前引:从此篇文章开始,小编带给大家的是数据结构初阶的刷题讲解 ,此类文章将简略的包含相关知识,详细的思路拆分讲解,分析每一题的难点、易错点,看见题目如何分析,以上就是小编预备的内容,对于数据结构巩固知识的伙伴们来说,可以一试,告别冗杂的知识点,如果伙伴们发现下面哪有有问题,欢迎在评论区指出哦!小编一定会进行修改的!正文开始~
目录
知识点速览
计算时间复杂度
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
第六题
第七题
第八题
计算空间复杂度
第一题
第二题
第三题
复杂度的实际应用
第一题
第二题
知识点速览
复杂度可以分为时间复杂度、空间复杂度,它们都是度量算法优劣的算级说明,通常是估算,采用大O渐进表示法,例如如O(N)
复杂度计算:
时间复杂度是计算执行次数(估算);空间复杂度看(变量个数+额外开辟空间数)
复杂度种类:复杂度一般有最坏、最好、平均复杂度之分,我们一般取最坏结果
计算步骤:(1)先算出准确执行次数【时间复杂度】 /(变量个数(函数内)+额外空间数量) 【空间复杂度】(2)再根据规则修改
时间复杂度、空间复杂度计算规则:
(1)用常数 1 取代运行时间中所有的加法常数(常数化1)
(2)只要高阶项,不用低阶项(取大舍小)
(3)不要高阶项系数(去系数)
计算时间复杂度
第一题
void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; i++){for (int j = 0; j < N; j++){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; k++){++count;}int M = 0;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}
按照上面的计算步骤:先算总的执行次数,可以算出准确次数为:N*N + 2N,再根据计算规则(取大舍小),最终得到它的时间复杂度用大O渐进表示法得到 O(N^2)
第二题
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N; k++){++count;}int M = 0;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}
根据计算步骤,得到总的执行次数为:2N,再根据计算规则(去系数),得到最后它的时间复杂度用大O渐进表示法表示为O(N)
第三题
void Func3(int N,int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < N; ++k){++count;}for (int k = 0; k < M; ++k){++count;}
}
按照计算步骤,我们先算出准确的执行次数为N+M,这里出现一个问题,如果按照取大舍小,我们是无法判断的,因为M、N都是未知数
分析:如果M较大,那就舍弃N;如果M较小,那就舍弃M;如果M等于N,那就是2M或者2N
对于这种情况,我们是都不能舍弃的,只能都保存,因此最后的时间复杂度是O(M+N)
第四题
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; k++){++count;}printf("%d\n", count);
}
根据计算步骤,我们先算出准确的执行次数为100次,再根据计算规则常数化1,得到最后的时间复杂度用大O渐进表示法表示为O(1)
第五题
const char* strchr(const char* str, char character)
{while (*str != '\0'){if (*str == character){return str;}++str;}return NULL;
}
首先根据计算步骤,我们需要先计算准确执行次数,这题同样有一个问题,就是不知道这个字符串的长度,所以我们需要分类:
最好情况:直接出循环,1次执行次数(总执行次数)
最坏情况:假设字符串长度N,它找到底才找到,也就是N次(总执行次数)
按照计算规则,选择最坏情况,时间复杂度表示为O(N)
第六题
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap[&a[i - 1], &a[i]];exchange = 1;}}if (exchange == 0){break;}}return;
}
按照计算步骤,先算总的执行次数,通过代码我们看到,还是需要分类考虑
最好情况:进入外面的 for 循环一次,里面的循环需要走 end 次,总的执行次数就是 end+1 次
最坏情况:那就只能把循环走完了!总的执行次数也就是 end^2 次
再根据计算规则,取最坏情况,得到最后的时间复杂度为O(N^2)
易错点:首先小编也经历过这个雷区!经常以为双层for循环就是N^2了,一层for循环就是N次,但是需要避雷这个,具体情况需要具体分析,我们继续向下看!
第七题
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n;while (begin < end){int mid = begin + ((end - begin) >> 1);if (a[mid] < x){begin = mid + 1;}else if (a[mid] > x){end = mid;}elsereturn mid;}return -1;
}
首先我们先来计算它的总次数,根据这个代码情况,属于二分查找,还是需要分类
最好情况:那肯定就一次找到,总执行次数就是1次
最坏情况:对一组数据一直二分下去,要找的元素在数组最后一个被检查的位置
假设数组长度为N,每经过一次二分,剩余元素为N/2,经过 k 次后,剩余元素为N/ (2^k)
最坏情况也就是当剩余元素为1时,即N/(2^k)=1
解得k=log N(注意log N在复杂度里面是等于㏒以2为底N的对数的)
按照计算规则,取最坏情况,得到最后的时间复杂度为 log N
第八题
long long Factorial(size_t N)
{return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}
首先根据计算步骤,计算总的执行次数,我们发现这是一个三目操作符,我先来简答解释一下它的运算思路:
如果N<2,为真就得到结果N,如果为假就得到结果 Factorial(N-1)*N
因此我们发现这是一个计算前 n 项阶层的递归函数,下面我们来分析
最好情况:直接执行一次,即计算 1 的前 n 阶层
最坏情况:假设有N个数字,那么它的阶层就是N*(N-1)*(N-2)*(N-3)......,执行了N次
根据计算规则,保留最坏情况,得到最后的时间复杂度为O(N)
计算空间复杂度
第一题
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap[&a[i - 1], &a[i]];exchange = 1;}}if (exchange == 0){break;}}return;
}
首先我们按照计算步骤,先算(变量个数+额外空间数),上面总共有3个变量,没有开辟额外的空间,因此准确计算得到数量为3
再按照复杂度的计算规则(常数化1),得到最后的空间复杂度为O(1)
第二题
long long* Fibonacci(size_t n)
{if (n == 0){return NULL;}long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
}
首先我们按照计算步骤,先算(变量数+额外空间数),这个函数没有变量,但是它额外开辟了(n+1)的空间个数,因此总的数量就是 0+(n+1)= N+1
根据计算规则(舍大取小),得到最后的空间复杂度为O(N)
第三题
long long Factorial(size_t N)
{return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}
这是一个计算 N 的阶层积的函数,比如N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*........
每次递归都需要开辟函数栈帧空间,这里是从N-1开始调用递归函数的,因此是N-1个额外空间,没有其它变量,所以得到总的数量是0+(N-1)= N-1
根据计算规则(舍大取小),得到最后的空间复杂度为O(N)
复杂度的实际应用
话不多说我们通过两道例题来看看复杂度的实际应用
第一题
上面我们看到它的要求是时间复杂度不能超过O(N),这就是复杂度在实际的应用,题目可能会规定一定的时间复杂度、空间复杂度,下面我们开始解决这个问题!
(1)最简单的方法就是:计算 0~N 的数字之和,再减去题目中已有的数字,这样我们就找到了 那个缺失的数字,大家不能理解的话欢迎在评论区留言啊!下面我们来实现代码:
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int sum = 0;//求和for (int i = 0; i <= numsSize; i++){sum += i;}//求差for (int i = 0; i < numsSize; i++){sum -= nums[i];}return sum;
}
(2)算法解法:我们先来了解一个运算符^ ,它比较的是二进制位,相同为0,相异为1,例如:
3的二进制是:00000000 00000000 00000000 00000011
1的二进制是:00000000 00000000 00000000 00000001
1^2^3的二进制是:00000000 00000000 00000000 00000011
将1^2^3的二进制分别与3、2的二进制去异或,这样我们就得到了中间的2的二进制
算法实现:我们把0~N的数字去分别异或,然后再将异或得到的结果与题目中数组的每个元素异或,那样就找到了少的那个数字(一般用0去开始异或,因为0与任何数异或都为那个数字)
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{//0与任何数异或都为那个数,不会产生影响int n = 0;//分别异或0~N的数字for (int i = 0; i <= numsSize; i++){n ^= i;}//再与0~N-1的数字异或,得到差值for (int i = 0; i < numsSize; i++){n ^= nums[i];}return n;
}
第二题
首先我们我们来说一下几种解法:
(1)暴力解法:一次旋转一位数字,通过移动其余元素达到目标,但是效率上无法通过
(2)间接解法:将后k个元素拷贝到另外一个数组,再将前n-k个元素拷贝过来,再进行整体拷 贝,但是这样就不是原地了,也无法达到更高的进阶要求
(3)算法解法:我们先将数组的前n-k个元素旋转交换位置,再将后k个元素旋转位置,再整体旋 转交换位置,拿时间换取空间。例如下面这样:
void Exchange(int* p1, int* p2)
{int num = *p1;*p1 = *p2;*p2 = num;
}
int* missNumber(int* nums, int numsSize)
{//旋转前numsSize-k个元素int i = 0;int j = numsSize - k - 1;while (i < j){Exchange(&nums[i], &nums[j]);i++;j--;}//旋转后k个元素i = numsSize - k - 1;j = numsSize - 1;while (i < j){Exchange(&nums[i], &nums[j]);i++;j--;}//旋转整体i = 0;j = numsSize - 1;while (i < j){Exchange(&nums[i], &nums[j]);i++;j--;}return nums;
}
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