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搜索与图论树的深度优先遍历树的重心

news 来源：原创 2025/9/4 7:12:42

树的一种特殊的图，无环连通图

图还分为有向图，无向图

但是无向图其实也是特殊的有向图（a指向b，b也指向a，每个连接节点都如此，则是无向图）

那我们只需要讨论有向图

有向图的分类

邻接矩阵

开一个二维数组，g[a][b]，存储a->b的信息，存储的就是是否连通，如有权重，存储的就是权重

缺点，空间复杂度是n的平方

邻接表

邻接表类似于单链表，实际上就是每个点，都存储一个单链表

单链表指向自己可以走向哪些点

例如下图的有向图

在邻接表中，如下

1->3->4->null

2->1->4->null

3->4->null

4->null

添加节点，代码实现如下

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010,M = N*2;
int h[N];//所有头，每个节点都自己为一个链表头
int e[M],ne[M],idx;//每个节点和其指向的其他节点，组成链表
void add(int a,int b){//将b加入a为头节点的链表e[idx]=b;//先把b放入ne[idx]=h[a];//然后b的指针，和头节点指向同一个节点h[a]=idx;//头结点指向bidx++;//方便下次调用idx直接用
}
int main(){memset(h,-1,sizeof h);
}

遍历邻接表

例如遍历下图邻接表

例如我们从A开始遍历，只遍历单链表，我们能得到下图

如果想得到完整表

我们可以在遍历单链表时，遍历每个节点，作为头结点的单链表，有哪些节点

因为每个节点作为头结点时，存储了他所相连的所有节点

推导出A的相邻节点，和A的相邻节点的相邻节点，和和A的相邻节点的相邻节点的相邻节点....

我们也就推出了整个邻接表

在代码实现中，为了防止重复遍历，记得标记一下已经做过头结点的表

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010,M = N*2;
int h[N];//所有头，每个节点都自己为一个链表头
int e[M],ne[M],idx;//每个节点和其指向的其他节点，组成链表
bool st[N];//记录st[i]的i是否被遍历过void add(int a,int b){//将b加入a为头节点的链表e[idx]=b;//先把b放入ne[idx]=h[a];//然后b的指针，和头节点指向同一个节点h[a]=idx;//头结点指向bidx++;//方便下次调用idx直接用
}void dfs(int u){//查看u下的链表st[u] = true;//标记u曾作为头结点，被遍历了for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){//查看u作为头结点的单链表上的所有节点int j = e[i];//从第二个节点开始查看//从第二个节点开始，递归链表上所有节点，使其当做头结点if(!st[j])dfs(j);//遍历其他未被遍历节点，各自为头节点的单链表}
}
int main(){memset(h,-1,sizeof h);dfs(1);//遍历链表头1
}

树的重心

题目

给定一颗树，树中包含n个节点（编号1~n）和n-1条无向边。
请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
重心定义：重心是指树中的一个节点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

【输入格式】
第一行包含整数n，表示树的节点数。1≤n10e5
接下来n-1行，每行包含两个整数a和b，表示点a和点b之间存在一条边。

【输出格式】
输出一个整数m，表示将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

分析题目要求

假设题目中要删除的点为U

在树中任意删除一节点U，剩下的数量值最大的连通块的数量为M

题目中是求，如何取节点U，使得M的值最小

则U就为重心，M为要输出的值

推测

若我们能求出每个U被删除后，所对应的最大M，然后比较每个U的M谁更大

则就可以求出U，进而同时，已经求出M

而要求出任意一点U的最大M，我们可以用U把整个连通块分成两个部分

u以及u以下的节点，是一个部分，u以上的节点，是一个部分

u作为头节点

使用邻接表可以推导出u下面（不含u）所有节点的最大连通块大小，我们将其设为s

我们取出最大的s,保存为size

size就是u被删除后，u以下的子节点的最大的连通块的数量值
而所有子节点的s，加上u本身（1个节点），就是u以及u以下连通块的节点数量

所以我们以u为根的节点数量值为sum

因为这是一个树，初始所有节点都联通，而且不会出现循环节点，例如A->B,B->C,C->A这种情况

而且n为所有连通块的数量，可得，n-sum，为u以上父节点，连通块最大数量

要么是u的父节点组成的连通块大，要么是u的最大一个子树，组成的连通块大

那我们求ans=max(size,n-sum)，ans，就是删除u节点后，剩余最大的连通块的值

那我们再循环求出每个u对应的ans，即得出此题答案

size;//记录u的最大子树的节点数量
sum;//记录以u为根的树的节点数量
n-sun;//记录，记录删除u以及u以下所有节点，还剩余多少节点数量
ans=max(size,n-sum);//记录删除u节点，剩下的最大的连通块的连通节点的数量

完整代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010,M = N*2;
int h[N];//所有头，每个节点都自己为一个链表头
int e[M],ne[M],idx;//每个节点和其指向的其他节点，组成链表，所以得用两倍的N
bool st[N];//记录st[i]的i是否被遍历过
int ans = N;//记录删除u节点，剩下的最大的连通块的连通节点的数量
int n;
void add(int a,int b){//将b加入a为头节点的链表e[idx]=b;//先把b放入ne[idx]=h[a];//然后b的指针，和头节点指向同一个节点h[a]=idx;//头结点指向bidx++;//方便下次调用idx直接用
}int dfs(int u){//返回以u为根的子树中节点的个数st[u]=1;//标记此单链表头节点已经被使用int size = 0;//记录u的最大子树的节点数量int sum = 1;//记录以u为根的树的节点数量for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int j = e[i];//从头结以外的节点开始if(!st[j]){//作为头节点，没被查找过int s=dfs(j);//递归求出每个节点sum+=s;//累加，求出以u为根的树的节点数量size=max(s,size);//保留最大的子树的连通节点数量}}//比较每个u删除后，剩余最大连通节点的数量，保留最小的那个ans=min(ans,max(n-sum,size));//n-sun记录删除u以及u以下所有节点，还剩余多少节点数量return sum;//返回u为根的树的节点数量
}
int main(){memset(h,-1,sizeof h);//每一个节点，都是单链表头节点，初始都指向-1cin>>n;for(int i=0;i<n-1;i++){int a,b;cin>>a>>b;//无向图，所以都加上add(a,b);add(b,a);//父节点都被st[]标记了，所以不会遍历到父节点}dfs(1);//遍历链表头1开始，因为树是全部都连接在一起的，所以相当于遍历了所有节点cout<<ans;
}

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树的重心

题目

分析题目要求

推测

完整代码

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