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【算法竞赛】dfs+csp综合应用（蓝桥2023A9像素放置）

news 来源：原创 2025/9/4 7:10:09

一、题目

二、思路

（1）算法框架选择

（2）剪枝策略

具体来说就是：

三、代码

(1) 数据读取与初始化

(2) 检查当前填充是否符合要求

(3) 递归 DFS 进行填充

(4) 读取输入 & 调用 DFS

(5) 完整代码

一、题目

9.像素放置 - 蓝桥云课

【将题目翻译过来就是】：

该游戏基于 n × m 的网格棋盘进行，每个网格可以是白色或黑色，并且某些网格内标注了数字 x（0 ≤ x ≤ 9）。

核心规则：

每个带数字 x 的网格周围 8 个相邻格子（上下左右 + 左上、左下、右上、右下）中，必须恰好有 x 个格子被填充为黑色。
其余未标注数字的网格可以自由填充。
最终输出符合条件的填充方案，白色格子用 0 表示，黑色格子用 1 表示。

二、思路

这道题本质上是一个约束满足问题（CSP），每个数字格子对其九宫格区域内的黑色格子数施加了严格约束，我们需要在满足所有约束的条件下找到唯一的合法解，个人认为这个问题的挑战在于：

所有约束相互关联，修改一个格子可能影响多个数字区域
需要同时处理正向推导（根据已知约束确定颜色）和反向验证（尝试填充后检查约束）
必须确保解的唯一性

（1）算法框架选择

我们采用DFS框架，但与我们一般用传统DFS解题的区别在于：

非路径式搜索：不是寻找路径，而是构建完整的二维状态
顺序填充：按行优先顺序逐个填充格子（0,0）→（0,1）→...→（n-1,m-1）
随时验证：在填充过程中随时验证已确定的约束

（2）剪枝策略

当处理到格子（x,y）时，其左上方的格子（x-1,y-1）的后续填充操作不会再改变该格子的状态，这其实也就是说：

在填充（x,y）后，必须立即验证（x-1,y-1）的约束
当处理到行末（y=m-1）时，还需验证正上方格子（x-1,y）的约束

这种剪枝策略基于"最早失败"原则——一旦发现局部约束不满足，立即停止当前搜索路径，可以比较有效的减少时间复杂度

具体来说就是：

当前处理位置	必须验证的约束位置
非行末（y<m-1）	（x-1,y-1）
行末（y=m-1）	（x-1,y-1）和（x-1,y）

弄明白了这两个问题，其实这个问题就比较轻松了，核心就是如何实现约束

三、代码

(1) 数据读取与初始化

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAX_N = 15;
int n, m;
char map[MAX_N][MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N]; // 存储填色方案

由于 n, m ≤ 15，可以使用 15 × 15 的二维数组存储棋盘数据。
map[][] 用于存储输入的棋盘布局。
f[][] 用于存储填充方案（0 代表白色，1 代表黑色）。

(2) 检查当前填充是否符合要求

bool check(int x, int y) {if (map[x][y] == '_') return true; // 没有限制的网格，直接返回 trueint num = map[x][y] - '0';int cnt = 0; // 统计周围黑色格子的数量for (int i = -1; i <= 1; i++) {for (int j = -1; j <= 1; j++) {int newX = x + i, newY = y + j;if (newX < 0 || newX >= n || newY < 0 || newY >= m) continue; // 越界检查if (f[newX][newY] == 1) cnt++; // 统计黑色格子}}return cnt == num; // 若黑色格子数量符合 `x`，则返回 true
}

遍历 3×3 的范围，统计黑色格子数量。
若符合 x 约束，返回 true，否则返回 false。

(3) 递归 DFS 进行填充

void dfs(int x, int y) {if (x == n) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) cout << f[i][j];cout << endl;}return;}// 计算下一步的坐标int nextX = (y == m - 1) ? x + 1 : x;int nextY = (y == m - 1) ? 0 : y + 1;// 先尝试填黑色f[x][y] = 1;if ((x == 0 || y == 0 || check(x-1, y-1)) && (y == m - 1 || check(x-1, y)))dfs(nextX, nextY);// 尝试填白色f[x][y] = 0;if ((x == 0 || y == 0 || check(x-1, y-1)) && (y == m - 1 || check(x-1, y)))dfs(nextX, nextY);
}

递归填充每个网格，并在 x == n 时输出方案。
由于每个格子可以填 0 或 1，因此分别尝试后递归调用 dfs。
在填充后，检查左上角及已填充区域是否仍满足 x 约束。

(4) 读取输入 & 调用 DFS

int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {scanf(" %c", &map[i][j]); // 读取地图数据}}dfs(0, 0); // 递归填充return 0;
}

读取棋盘信息，并调用 dfs(0,0) 开始填充。
由于 scanf(" %c") 前有空格，可自动跳过空白符（空格、换行）。

(5) 完整代码

//每个格子都要填到，但是可能重复访问，比如先填黑色，再填白色
//如何解决重复访问且保证不会死循环：按顺序遍历格子
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m;
char map[15][15];
int f[15][15];//填色方案
bool check(int x,int y)
{if(map[x][y]=='_') return true;else {int num=map[x][y]-'0';int cnt=0;//涂黑的个数for(int i=-1;i<=1;i++){for(int j=-1;j<=1;j++){int newx=x+i,newy=y+j;if(newx<0||newx>=n||newy<0||newy>=m) continue;if(f[newx][newy]==1) cnt++;}}if(cnt==num) return true;else return false;}
}
void dfs(int x,int y)//剩余的可以填黑色的方格数,已经填过的方格数
{//按逐行逐列的顺序填充//全部填充完if(x==n) {//检查最后一行是否全满足条件//（还剩最后一行没有检查）for(int y=0;y<m;y++){if(!check(n-1,y)) return;//该方案不符合条件}//输出符合条件的方案for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<m;j++) cout<<f[i][j];cout<<endl;}return;}//每次填充完当前格子检查左上方格子是否合格//因为它的状态不会再被影响了，已经固定了//到达最后一列的情况要特殊判断，不仅要判断左上方还要判断上方，还涉及到换行if(y==m-1){//填黑色f[x][y]=1;//第一行不用检查，第一列只用检查上方if(x==0||check(x-1,y-1)&&check(x-1,y)||y==0&&check(x-1,y)) dfs(x+1,0);//换行//填白色 f[x][y]=0;if(x==0||check(x-1,y-1)&&check(x-1,y)||y==0&&check(x-1,y)) dfs(x+1,0);//换行}//最后一列之前只用检查左上方else{//填黑色f[x][y]=1;if(x==0||y==0||check(x-1,y-1)) dfs(x,y+1);//填白色f[x][y]=0;if(x==0||y==0||check(x-1,y-1)) dfs(x,y+1);}
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++){//scanf前面加空格读换行 for(int j=0;j<m;j++) cin>>map[i][j];                   }dfs(0,0);return 0;
}

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