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动态规划(8.下降路径最小和(medium))

题目链接:931. 下降路径最小和 - 力扣(LeetCode)

 

解法:

 

关于这⼀类题,由于我们做过类似的,因此「状态表示」以及「状态转移」是比较容易分析出来的。
比较难的地方可能就是对于「边界条件」的处理。
  • 1. 状态表示:
对于这种「路径类」的问题,我们的状态表示⼀般有两种形式:
  1. [i, j] 位置出发,到达目标位置有多少种方式;
  2. 从起始位置出发,到达 [i, j] 位置,⼀共有多少种方式
这⾥选择第⼆种定义状态表示的⽅式:
dp[i][j] 表示:到达 [i, j] 位置时,所有下降路径中的最小和。
  • 2. 状态转移方程:

 

对于普遍位置 [i, j] ,根据题意得,到达 [i, j] 位置可能有三种情况:
  1. 从正上方[i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置;
  2. 从左上方[i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置;
  3. 从右上方[i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置;
我们要的是三种情况下的「最小值」,然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。
于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1] [j - 1], dp[i - 1] [j + 1])) + matrix[i][j] 。
  • 3. 初始化:
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」,帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点:
  1. 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」;
  2. 「下标的映射关系」。
在本题中,需要「加上一行」,并且「加上两列」。所有的位置都初始化为无穷⼤,然后将第⼀⾏初始化为 0 即可。
  • 4. 填表顺序:
根据「状态表示」,填表的顺序是「从上往下」。
  • 5. 返回值:
注意这⾥不是返回 dp[m][n] 的值!
题目要求「只要到达最后⼀⾏」就行了,因此这⾥应该返回「 dp 表中最后一行的最小值」。

代码:

C++:

 

java:

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