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正弦函数的连续傅里叶变换正弦序列的DTFT

news 来源：原创 2025/7/27 14:56:15

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正弦序列

时域
$\sin(\omega_0 n)$
频域
$X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = \frac{{\rm j}\pi}{2} \left[ \delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0) \right]$

说明

正弦序列的频谱由两个冲激函数组成，分别位于 $\omega = \omega_0$ 和 $\omega = -\omega_0$ 。
系数 $\frac{{\rm j}\pi}{2}$ 表示了频谱的幅度和相位特性。
正频率处的冲激函数 $\delta(\omega - \omega_0)$ 表示正弦信号的正频率分量。
负频率处的冲激函数 $\delta(\omega + \omega_0)$ 表示正弦信号的负频率分量。

推导过程

正弦序列可以表示为：
$\sin(\omega_0 n) = \frac{{\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n} - {\rm e}^{-{\rm j}\omega_0 n}}{2{\rm j}}$

利用复指数序列的DTFT：
$\text{DTFT}\{{\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n}\} = 2\pi\delta(\omega - \omega_0)$
$\text{DTFT}\{e^{-{\rm j}\omega_0 n}\} = 2\pi\delta(\omega + \omega_0)$

根据线性性质，得到：
$X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = \frac{1}{2{\rm j}} \left[ 2\pi\delta(\omega - \omega_0) - 2\pi\delta(\omega + \omega_0) \right]$

二维正弦序列

时域
$\sin(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)$
其中， $u_0$ 和 $v_0$ 分别是水平和垂直方向的空间频率。
频域
$X({\rm e}^{{\rm j}\omega_m}, {\rm e}^{{\rm j}\omega_n}) = \frac{1}{2{\rm j}} \left[ 2\pi \delta(\omega_m - 2\pi u_0, \omega_n - 2\pi v_0) - 2\pi \delta(\omega_m + 2\pi u_0, \omega_n + 2\pi v_0) \right]$

说明

二维正弦序列的频谱由两个冲激函数组成，分别位于 $(\omega_m, \omega_n) = (2\pi u_0, 2\pi v_0)$ 和 $(\omega_m, \omega_n) = (-2\pi u_0, -2\pi v_0)$ 。
系数 $\frac{{\rm j}\pi}{2}$ 表示了频谱的幅度和相位特性。
正频率处的冲激函数 $\delta(\omega_m - 2\pi u_0, \omega_n - 2\pi v_0)$ 表示正弦信号的正频率分量。
负频率处的冲激函数 $\delta(\omega_m + 2\pi u_0, \omega_n + 2\pi v_0)$ 表示正弦信号的负频率分量。

推导过程

二维正弦序列可以表示为：
$\sin(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n) = \frac{{\rm e}^{{\rm j}(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)} - {\rm e}^{-{\rm j}(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)}}{2{\rm j}}$

利用复指数序列的二维DTFT：
$\text{DTFT}\{{\rm e}^{{\rm j}(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)}\} = 2\pi \delta(\omega_m - 2\pi u_0, \omega_n - 2\pi v_0)$
$\text{DTFT}\{{\rm e}^{-{\rm j}(2\pi u_0 m + 2\pi v_0 n)}\} = 2\pi \delta(\omega_m + 2\pi u_0, \omega_n + 2\pi v_0)$

根据线性性质，得到：
$X({\rm e}^{{\rm j}\omega_m}, {\rm e}^{{\rm j}\omega_n}) = \frac{1}{2{\rm j}} \left[ 2\pi \delta(\omega_m - 2\pi u_0, \omega_n - 2\pi v_0) - 2\pi \delta(\omega_m + 2\pi u_0, \omega_n + 2\pi v_0) \right]$
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正弦序列

说明

推导过程

二维正弦序列

说明

推导过程

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