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基于相机内参推导的透视投影矩阵

news 来源：原创 2025/5/26 6:35:40

基于相机内参推导透视投影矩阵（splatam）：

$M_{cam}= \begin{bmatrix} \frac{2 \cdot fx}{w} & 0.0 & \frac{(w - 2 \cdot cx)}{w} & 0.0 \\ 0.0 & \frac{2 \cdot fy}{h} & \frac{(h - 2 \cdot cy)}{h} & 0.0 \\ 0 & 0 & \frac{far + near}{near - far} & \frac{2far \cdot near}{near - far} \\ 0.0 & 0.0 & -1.0 & 0.0 \end{bmatrix}$

fx: 相机内参中的焦距在x方向上的分量。
fy: 相机内参中的焦距在y方向上的分量。
cx: 图像中心在x方向上的坐标。
cy: 图像中心在y方向上的坐标。
w: 图像宽度。
h: 图像高度。
near: 视锥体（frustum）的近裁剪平面距离。
far: 视锥体（frustum）的远裁剪平面距离。
注：此处深度为负

参考透射投影矩阵的数学推导的推导得到透视投影矩阵另一种形式：
$M_p = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{r + l}{r - l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t - b} & \frac{t + b}{t - b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f + n}{n - f} & \frac{2fn}{n - f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

n: 近裁剪平面距离。
f: 远裁剪平面距离。
r: 近裁剪平面的右边界。
l: 近裁剪平面的左边界。
t: 近裁剪平面的上边界。
b: 近裁剪平面的下边界。

可以先看这两个参考再往下看：
参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/421962223
https://blog.csdn.net/qq_43758883/article/details/116503614

通过视场角来从 $M_p$ 得到 $M_{cam}$ :

在这里插入图片描述

上图，忽略y轴，上半部分是相机坐标系，下班部分是像素坐标系，可见相机坐标下的视场角和像素坐标下的视场角是一致的，
1、
在相机坐标系下：
$\frac{r-l}{2n}$

在像素坐标系下：
$\frac{fx}{w/2}$
将上式公式同时提取缩放因子：
$\frac{ \alpha f}{\alpha w'/2} = \frac{ f}{ w'/2} = \frac{r-l}{2n}$

2、
$\begin{align} \alpha (r-l) &= w \\ \alpha (r+l) &= (w - 2cx) \end{align}$
所以，
$\frac {r+l}{r-l} = \frac {(w - 2cx)}{w}$

同理，透视投影矩阵y轴也是如此推导。

splatam非标准透视投影

splatam使用的非标准透视投影，与一般不同，splatam是把深度缩放到 [0,1]：
此处深度全取正数，因此第三、四列需要加个负号。
$M_{splatam}= \begin{bmatrix} \frac{2 \cdot fx}{w} & 0.0 & \frac{-(w - 2 \cdot cx)}{w} & 0.0 \\ 0.0 & \frac{2 \cdot fy}{h} & \frac{-(h - 2 \cdot cy)}{h} & 0.0 \\ 0.0 & 0.0 & \frac{far}{far - near} & \frac{-(far \cdot near)}{far - near} \\ 0.0 & 0.0 & 1.0 & 0.0 \end{bmatrix}$
可以看到矩阵的第三行与之前的不同，它的作用是把深度最后归一化到 [0,1]。
设相机坐标下的点位置为 $x_{cam} , y_{cam} ,z_{cam},1]$ ，对应裁剪空间坐标为 $x_{c} , y_{c} ,z_{c},w_c]$ ，对应NDC坐标 $x_{n} , y_{n} ,z_{n},1]$ 。
故：
$\begin{bmatrix}x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \\w_c \end{bmatrix} =M_{splatam} \begin{bmatrix}x_{cam} \\ y_{cam} \\ z_{cam} \\1 \end{bmatrix}$
考虑深度，即z轴的变换有：
$\begin{align} z_c &= \frac{far}{far - near} z_{cam} - \frac{(far \cdot near)}{far - near} \\ w_c &= z_{cam} \end{align}$

归一化处理，得到NDC坐标
$\begin{align} z_n &= \frac {z_c}{w_c} = \frac{\frac{far}{far - near} z_{cam} - \frac{(far \cdot near)}{far - near}}{z_{cam}} \\ &= \frac{far - \frac{(far \cdot near)}{z_{cam}}}{far - near} \end{align}$
故，当 $z_{cam} = near$ 时， $z_n = 0$ ，当 $z_{cam} = far$ 时， $z_n = 1$ ，所以深度最后是限制在 [0,1]。为什么要怎样设计呢，因为使用3DGS渲染时，只考虑深度大于0的。

splatam非标准透视投影

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