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【数据结构专栏】二叉搜索树(Binary Search Tree)的剖析？

news 来源：原创 2025/7/27 14:10:11

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文章目录

🧨前言
- 1、二叉搜索树的基本概念？
- - 2、二叉搜索树的节点结构组成？
  - - 3、二叉搜索树的插入操作？
    - - 4、二叉搜索树的删除操作？
      - 5、二叉搜索树的遍历？
      - 6、二叉搜索树的性能分析？
    - 🎉完整代码如下：

🧨前言

该章节主要就是明确二叉树是什么？二叉树的基本操作等。

1、二叉搜索树的基本概念？

二叉所搜索树：它是一棵有一定规则的二叉树。它的每个节点的都遵循这两个条件：
①左子树不为空的时候，左子树的所有节点的值都小于当前节点的值。
②右子树不为空的时候，右子树的所有节点的值都大于当前节点的值。
③左右子树也必须是二叉搜索树。
二叉搜索树的性质决定了节点之间的连接方式，也就是说它可能会连接长满二叉树，亦可能为完全二叉树，但是在插入的而数据是有序的时候，那连接形式就会成一棵链表，会导致该树的高度非常高，影响操作效率。但是有一种平衡二叉搜索树，比如AVL树或红黑树，可以解决这个问题，但这里先不考虑平衡，先假设是一棵普通的二叉搜索树进行讲述。

2、二叉搜索树的节点结构组成？

⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等
值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值。
此文章的前提是使用一个普通二叉搜索树来分析，同时不包含重复值的节点
该树的节点组成有：
_key：用于存储数据值的变量。
_left：指向左子树的变量
_right：指向右子树的变量

代码结构如下：

template<class K>
class BSTNode
{
public://构造函数，初始化列表给变量赋值BSTNode(const K& key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}
public:K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;
};

3、二叉搜索树的插入操作？

插入‌：如果树为空，新节点成为根节点；否则，按照二叉搜索树的性质找到插入位置并插入新节点‌。
从根节点开始，比较目标值与当前节点的值：
若目标值较小，则移动到左子树；
若目标值较大，则移动到右子树。
重复上述过程，直到找到一个空位置插入新节点。
代码加注释讲解：

//插入数据函数。
bool Insert(const K& key)
{//首先，为空的时候，直接插入到根节点。if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}//根节点不为空的时候，那就先从根节点开始。Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//直到为空就插入while (cur){//若插入的数据值 小于 当前节点的数据值，往左走。if (key < cur->_key){//临时记录当前节点的父节点，不然后面链接不上新节点。parent = cur;cur = cur->_left;}//插入的数据值 大于 当前节点的数据值，往右走。else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//走到此处说明找到一个空位置，跳出循环进行链接。return false;}}//找到cur==nullptr，此时parent节点就是最后一个节点，在插入key时候，//还需要判断一次，看插入的值比父节点值大，那么就当作右孩子，反之就当作左孩子。//由于此时cur是为空的，没必要另开空间来存储新节点，因此就把key放入该节点中cur = new Node(key);if (key < parent->_key){//插入到左边parent->_left = cur;}else{//插入到右边parent->_right = cur;}return true;
}

4、二叉搜索树的删除操作？

在实现二叉搜索树删除的接口的时候先是来说一下查找函数。
二叉搜索树的查找：思路和插入的一样，只是需要比较一下大小。

①通过需要查找的值key和二叉搜索树里面的每个节点的值cur->_key进行比较。查找值key 大于当前节点值cur->_key，则就往当前节点cur的右子树走。
②查找值key 小于当前节点值cur->_key，则就往当前节点cur的左子树走。
③找到后就返回当前节点cur。
代码如下：

	//查找函数bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){//往左走cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return cur;//在判断是否存在某个值的时候，直接返回true即可。}}return false;//说明没找到。}

删除操作：

要删除结点N左右孩⼦均为空。即叶子节点，可以直接删除。
要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空。
要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空。
要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空。

对应序号的解决策略：

把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）。
把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点。
把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点。
⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。

第4种情况替换如下：
①先找到右子树的最小值节点（或左子树的最大值节点）。
②再用该最小值（或最大值）替换被删除节点的值。
③最后记得删除找到的最小值（或最大值）节点。

	//删除函数bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//先查找到对应删除的节点while (cur){if (cur->_key < key)//若当前节点的数据小于要比较的数据元素，则向右走{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//找到节点直接后就可以删除该节点//主要分为四种情况//1、左右都为空；2、左位空，右不为空；3、右位空，左不为空；4、左右都不为空// 左右为空的都可以划分到其中一个为空的情况，因为当左右都为空的时候，//下面检测到左节点为空，则就会进入左为空的程序//左为空if (cur->_left == nullptr){//先判断是否为根节点if (cur == _root){//直接把节点给到根节点_root = cur->_right;}else if (cur == parent->_left)//若是父节点的左孩子为空，则//把cur->_right给到父节点的左孩子{parent->_left = cur->_right;}else//反之就是把父节点的右孩子{parent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{//替代法Node* replaceParent = cur;//在删除左右都不为空的时候，需要找一个节点的值来替代，可以//是当前节点的右子树的最左节点，也可以是当前节点左子树的最右节点，//下面是用的右子树的最左节点。Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//此处replace就是右子树的最左孩子节点//把值给到要删除的节点，即替换cur->_key = replace->_key;//此时需要判断replace节点是replaceParent节点的左孩子还是右孩子if (replace == replaceParent->_left){replaceParent->_left = replace->_right;}else{replaceParent->_right = replace->_right;}delete replace;//相当于替换后，就删除替换的那个节点}return true;}}//没找到就返回falsereturn false;}

5、二叉搜索树的遍历？

中序遍历：对于二叉搜索树，中序遍历会按升序输出所有节点的值。
前序遍历、后序遍历：按照特定顺序访问节点，但不保证有序性。

下面把三种遍历方式都写出来：

//中序遍历搜索二叉树
void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}//左 根 右_InOrder(root->_left);cout << root->_key<<" ";_InOrder(root->_right);
}void _PrevOrder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_left);_InOrder(root->_right);
}void _PostOrder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);_InOrder(root->_right);	cout << root->_key << " ";
}

运行结果如下：
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6、二叉搜索树的性能分析？

最好和平均情况：树的高度为O(log n)，插入、删除和查找操作的时间复杂度为O(log n)。

最坏情况：树的高度为O(n)，时间复杂度退化为O(n)，通常发生在插入有序数据时，树退化为链表。

为避免性能下降，通常使用平衡二叉搜索树，如AVL树或红黑树，以保证树的高度始终接近O(log n)。后续文章会讲述。

总结：二叉搜索树是一种高效的数据结构，适用于需要频繁进行插入、删除和查找操作的场景。理解其基本操作和实现细节是掌握更复杂数据结构和算法的基础。在实际应用中，通常需要结合平衡技术来保证性能的稳定性。

🎉完整代码如下：

#pragma once#include<iostream>
using namespace std;namespace N
{//先创建二叉树结构template<class K>class BSTNode{public://构造函数BSTNode(const K& key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}public:K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;};template<class K>class BSTree{typedef BSTNode<K> Node;public://插入数据函数bool Insert(const K& key){//首先，为空的时候，直接插入到根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}//根节点不为空的时候，那就先从根节点开始Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//直到为空就插入while (cur){//若插入的数据小于节点的数据值，往左走if (key < cur->_key){//记录下一节点的父节点parent = cur;cur = cur->_left;}//大于节点的值else if (key > cur->_key){parent = cur;//往右边走cur = cur->_right;}//相等就返回else{return false;}}//找到cur==nullptr，此时parent节点就是最后一个节点，在插入key时候，//还需要判断一次，比父节点值大，就插入到右孩子处，反之就左孩子//由于cur是为空的，因此把key放入该节点中cur = new Node(key);if (key < parent->_key){//插入到左边parent->_left = cur;}else{//插入到右边parent->_right = cur;}return true;}//查找函数bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){//往左走cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return true;}}return false;}//删除函数bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//先查找到对应删除的节点while (cur){if (cur->_key < key)//若当前节点的数据小于要比较的数据元素，则向右走{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//找到节点直接后就可以删除该节点//主要分为四种情况//1、左右都为空；2、左位空，右不为空；3、右位空，左不为空；4、左右都不为空// 左右为空的都可以划分到其中一个为空的情况，因为当左右都为空的时候，//下面检测到左节点为空，则就会进入左为空的程序//左为空if (cur->_left == nullptr){//先判断是否为根节点if (cur == _root){//直接把节点给到根节点_root = cur->_right;}else if (cur == parent->_left)//若是父节点的左孩子为空，//则把cur->_right给到父节点的左孩子{parent->_left = cur->_right;}else//反之就是把父节点的右孩子{parent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{//替代法Node* replaceParent = cur;//在删除左右都不为空的时候，需要找一个节点的值来替代，//可以是当前节点的右子树的最左节点Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//此处replace就是右子树的最左孩子节点//把值给到要删除的节点，即替换cur->_key = replace->_key;//此时需要判断replace节点是replaceParent节点的左孩子还是右孩子if (replace == replaceParent->_left){replaceParent->_left = replace->_right;}else{replaceParent->_right = replace->_right;}delete replace;//相当于替换后，就删除替换的那个节点}return true;}}//没找到就返回falsereturn false;}void InOrder(){_InOrder(_root);}void PrevOrder(){_PrevOrder(_root);}void PostOrder(){_PostOrder(_root);}private://中序遍历搜索二叉树void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}//左 根 右_InOrder(root->_left);cout << root->_key<<" ";_InOrder(root->_right);}void _PrevOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_left);_InOrder(root->_right);}void _PostOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);_InOrder(root->_right);	cout << root->_key << " ";}private://BSTNode<K>* _root=nullptr;//定义根节点Node* _root = nullptr;};
}

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