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非线性1 修改

news 来源：原创 2025/6/3 20:09:20

第一章为读者介绍了非线性动力学与混沌理论的基本概念、发展历史以及应用领域。

1.1 动力学简史：

  • 从牛顿力学开始，介绍动力学作为物理学分支的发展历程。
  • 重点介绍了庞加莱对混沌现象的早期探索，以及20世纪60年代洛伦兹方程的发现，标志着混沌理论的诞生，并回顾了20世纪70年代混沌理论的快速发展。
  • 洛伦兹发现了混沌的特定结构：
    在这里插入图片描述

1.2 非线性的重要性：

  • 消除时间依赖：增加一个维度

  • 在这里插入图片描述
    x ′ ′ → x 1 , x ′ → x 2 , t → x 3 x'' \rightarrow x_1 , x' \rightarrow x_2 , t\rightarrow x_3 x′′→x1​,x′→x2​,t→x3​
    在这里插入图片描述

  • 强调非线性系统难以求解：因为叠加原理失效

  • 但几何方法可以帮助我们理解其定性特征。

  • 相空间：
    相空间

第二章 直线上的流

2.1 几何的思维方式：

  • 系统x’ = sin(x)，解：
    在这里插入图片描述
    在x轴上表示出x的速度向量：
    向量场
    在这里插入图片描述
    x ∈ ( π / 4 , π ) x \in (\pi/4,\pi) x∈(π/4,π):x-t图
    在这里插入图片描述

  • 不动点的概念: x ˙ = 0 \dot{x}=0 x˙=0，表示没有流动

  • 区分稳定不动点（吸引子、汇）和不稳定不动点（排斥子、源）：在这里插入图片描述
    在这里，实轴就是相空间

2.2 不动点与稳定性：

  • 相点：放置在初始条件 x 0 x_0 x0​的粒子
  • 轨迹：相点随时间根据X（t）运动
  • 相图的概念：所有不同的定性轨迹
    在这里插入图片描述
    2.3 种群增长：
    公式：

在这里插入图片描述

  • 图像：

在这里插入图片描述
N<K增加，且先慢后快后慢

2.4 线性稳定性分析：

  • 线性稳定性分析：判断不动点x*的稳定性

  • 给一个小扰动 η \eta η: η ( t ) = x ( t ) − x ∗ \eta(t)=x(t)-x^* η(t)=x(t)−x∗
    在这里插入图片描述
    在不动点处， x ˙ = f ( x ∗ ) = 0 \dot{x}=f(x^*)=0 x˙=f(x∗)=0,要观察一段时间后这个扰动是变大还是变小
    在这里插入图片描述
    线性化：
    得到 η ˙ ≈ η \dot{\eta}\approx\eta η˙​≈η f ′ ( x ∗ ) f'(x^*) f′(x∗)

    最终 η = e f ′ ( x ∗ ) + C \eta=e^{f'(x^*)+C} η=ef′(x∗)+C，指数律增减

  • 判断不动点的稳定性：不动点处的斜率f’(x*)

  • 斜率>0:不稳定，

  • 斜率<0:稳定，

  • 斜率=0：不能忽略O(η²)

  • 特征时间尺度：1/f’(x*)：x(t)在t时间发生较大变化所需的时间

2.5 存在性与唯一性：

  • 存在性与唯一性定理：在这里插入图片描述在这里插入图片描述

2.6 振动的不可能性：

  • 一维自治系统中振动现象的不可能性： x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x)无周期解
    *一个点不可能有两个速度

2.7 势：

  • 将一阶系统 x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x)可视化
  • 势的概念： f ( x ) = − d V d x f(x)=-\frac{dV}{dx} f(x)=−dxdV​
  • 与向量场之间的关系:两边对x求导：f’=-V’’
  • V的局部最小值=>稳定不动点，局部最大值=>不稳定
  • 实例： x ˙ = − x \dot{x}=-x x˙=−x
    d V / d x = x 2 / 2 + C dV/dx=x^2/2+C dV/dx=x2/2+C

在这里插入图片描述

2.8 利用计算机解方程：

  • 显式欧拉法在这里插入图片描述

  • 改进欧拉法在这里插入图片描述

  • 龙格库塔法（四阶）

  • 在这里插入图片描述

第三章——分岔。

分岔是指当参数变化时，系统的动力学行为发生定性改变的过程：
例如不动点的出现、消失或稳定性改变。
3.1 鞍-结分岔：

  • 标准形式： x ′ = r + x 2 x' = r + x^2 x′=r+x2:在这里插入图片描述
    r-x图
    在这里插入图片描述
    变体： x ˙ = r − x − e − x \dot{x}=r-x-e^{-x} x˙=r−x−e−x在这里插入图片描述
    标准形式： x ˙ = r ± x 2 \dot{x}=r\pm x^2 x˙=r±x2

3.2 跨临界分岔

  • 定义：跨临界分岔是指不动点的稳定性发生改变，但不动点本身不消失的现象。
  • 标准形式： x ′ = r x − x 2 x' = rx-x^2 x′=rx−x2
  • 稳定性的交换：在这里插入图片描述
    分叉曲线：
    在这里插入图片描述
  • 变体： x ˙ = r ln ⁡ x + x − 1 \dot{x}=r\ln x+x-1 x˙=rlnx+x−1在x=1附近的分岔：
  • 变换：u=x-1在这里插入图片描述

3.3 激光阈值

  • 激光阈值的物理机制:当泵浦强度超过阈值时，系统会发生跨临界分岔，从而产生激光。

  • 在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    分岔图：N0=k/G处发生跨临界分叉在这里插入图片描述

  • N 0 / G N_0/G N0​/G为激光阈值

3.4 叉式分岔

  • 叉式分岔是指具有对称性的系统，其不动点成对出现或消失的现象。
  • 超临界叉式分岔和亚临界叉式分岔：分别对应着不动点在分岔后不消失和消失的情况。
  • 在这里插入图片描述
  • 3.4.1 超临界叉式分岔

  • 标准形式： x ′ = r x − x 3 x' = rx - x^3 x′=rx−x3

  • 当变换 x → − x x\rightarrow -x x→−x时，方程不变——向量场等变/对称

  • 向量场：在这里插入图片描述
    分岔图：
    在这里插入图片描述

  • 变体： x ˙ = − x + β tanh ⁡ x \dot{x}=-x+\beta \tanh x x˙=−x+βtanhx

  • 向量场：

  • 在这里插入图片描述

  • 分岔图： β = tanh ⁡ x / x \beta=\tanh x/x β=tanhx/x
    在这里插入图片描述

  • 3.4.2亚临界叉式分岔

  • 一个示例： x ′ = r x + x 3 x' = rx +x^3 x′=rx+x3

  • 分岔图：在这里插入图片描述
    上述系统容易产生爆炸：即有限时间内x(t)->无穷
    标准形式 x ′ = r x + x 3 − x 5 x' = rx +x^3-x^5 x′=rx+x3−x5（为了对称，不能加x^4）在这里插入图片描述

  • 跳跃：r=0时，跳跃到大振幅分支

  • 滞后：减小r也不能回到原点了，除非减小到r_s
    在这里插入图片描述

3.5 旋转环上的过阻尼球

  • 介绍了旋转环上的过阻尼球问题，并建立了一个简化的模型，解释了小球在旋转环上的运动。
  • 在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

顶部：φ=π，底部：=0

在这里插入图片描述

  • 发现当旋转环的角速度超过某个临界值时，系统会发生超临界叉式分岔，从而出现三个平衡点。
  • 无量纲化、无量纲组：

3.6 不完美分岔与灾变

  • 定义：不完美分岔是指当存在对称性的近似时，系统会发生分岔的现象。
  • 灾变：当参数变化时，系统状态会跨越某个临界值，之后发生不连续的改变。
  • 标准形式：x’ = r - x^3 + x
  • 分析方法：通过观察函数 f(x) 和 x 轴的交点，以及它们在分岔点附近的泰勒展开式，可以判断分岔的发生和不动点的稳定性。
  • 应用：昆虫爆发、斜线上的小球等。
    3.7 昆虫爆发
  • 介绍了云杉蚜虫爆发模型，解释了蚜虫数目突然增加的现象。
  • 通过无量纲分析，将模型简化为一维系统，并分析其不动点的分岔行为。
  • 发现当天敌捕食作用增强时，系统会发生鞍-结分岔，从而导致蚜虫爆发。
  • 该模型展示了分岔在生态学中的应用，以及如何通过参数变化来预测系统的行为。
    本章通过多种类型的分岔，以及它们在科学和工程中的应用，展示了分岔的多样性和重要性。分岔是理解非线性系统行为的关键，它在物理学、生物学、工程学等多个领域都有着广泛的应用。

3.2 跨临界分岔：

  • 介绍跨临界分岔的概念，并以x’ = r(1 - x)为例，说明其发生机制和特征。
  • 解释跨临界分岔的标准形式，并介绍其绘图方法。
  • 通过实例，说明跨临界分岔在激光物理中的应用。
    3.3 激光阈值：
  • 介绍激光物理背景，并介绍一个简化激光模型。
  • 利用向量场和相图，分析激光阈值现象，并解释其物理意义。
  • 讨论该模型的局限性，并引出更复杂的激光模型。
    3.4 叉式分岔：
  • 介绍叉式分岔的概念，并区分超临界叉式分岔和亚临界叉式分岔。
  • 以x’ = r - x^3为例，说明超临界叉式分岔的发生机制和特征。
  • 解释超临界叉式分岔的标准形式，并介绍其绘图方法。
  • 通过实例，说明叉式分岔在物理和生物学中的应用。
    3.5 旋转环上的过阻尼球：
  • 介绍旋转环上过阻尼球的问题，并推导其动力学方程。
  • 利用向量场和相图，分析过阻尼球在不同参数下的运动状态。
  • 引入量纲分析和尺度化的概念，解释将二阶系统近似为一阶系统的可行性。
  • 讨论该问题的奇异极限性质，并引出奇异摄动理论。
    3.6 不完美分岔与灾变：
  • 介绍不完美分岔的概念，并以x’ = y^3 - xy为例，说明其发生机制和特征。
  • 解释尖点灾变的概念，并介绍其绘图方法。
  • 通过实例，说明不完美分岔和尖点灾变在力学和生物学中的应用。
    3.7 昆虫爆发：
  • 介绍云杉蚜虫爆发模型，并解释其物理背景和参数含义。
  • 利用向量场和相图，分析蚜虫数目随时间变化的动力学特征。
  • 讨论模型的近似方法和参数估计，并解释爆发现象的物理意义。
    3.8 本章总结：
  • 本章深入探讨了分岔现象，并介绍其在科学中的应用。
  • 介绍了鞍-结分岔、跨临界分岔、叉式分岔等不同类型的分岔，并解释其发生机制和特征。
  • 通过实例，展示了分岔现象在物理、生物学等领域的应用，并说明其对理解自然界复杂现象的重要性。
    第三章的核心观点在于：
  • 分岔是描述系统行为随参数变化而发生定性改变的关键概念。
  • 分岔现象在自然界中普遍存在，并具有重要的科学意义。
  • 几何方法可以帮助我们直观地理解分岔现象，并预测其发生规律。
  • 分岔现象在多个领域具有广泛的应用，例如激光物理、力学、生物学等。

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编程日记 2025/5/27 14:12:58

Spring Boot 与 RabbitMQ 的深度集成实践（一）

引言 ** 在当今的分布式系统架构中&#xff0c;随着业务复杂度的不断提升以及系统规模的持续扩张&#xff0c;如何实现系统组件之间高效、可靠的通信成为了关键问题。消息队列作为一种重要的中间件技术&#xff0c;应运而生并发挥着举足轻重的作用。 消息队列的核心价值在于其…...

编程日记 2025/5/28 7:38:08

Android动态音频柱状图可视化解析：从原理到实现

Android动态音频柱状图可视化解析：从原理到实现 一、整体架构设计二、核心组件设计三、核心代码实现四、交互设计与用户体验五、性能优化与问题解决一、整体架构设计 Android动态音频柱状图可视化解析 在移动应用开发中，音频可视化是增强用户体验的重要手段。无论是音乐播放器…...

编程日记 2025/5/29 23:02:59

vue3大事件项目

这周写完了vue3的大事件项目&#xff0c;从中学到了很多东西&#xff0c;并且解決了一部分bug&#xff0c;現在就和大家分享一下我遇到的问题并且是如何解決的 1. QuillEditor 的 v-model 用法错误 先讲一下quilleditor富文本的基本使用方法&#xff1a; 1.安裝quill依賴&am…...

编程日记 2025/6/1 7:15:08

MapReduce-WordCount实现按照value降序排序、字符小写、识别不同标点

要求&#xff1a; 输入文件的按照空格、逗号、点号、双引号等分词 输入文件的大写字母全部换成小写 文件输出要求按照value值降序排序 Hadoop给的wordcount示例代码以及代码理解 基于map reduce的word count个人理解&#xff1a;输入的文件经过map reduce框架处理后&#…...

编程日记 2025/5/25 12:20:10

c++线段树之单点修改区间最大子段和-----P4513 小白逛公园

题目大意 单点修改查询区间最大字段和 解题思路 如果线段树节点存储的是‘区间最大子段和’&#xff0c;如何合并&#xff1f; 简单的加法或求极值都不行&#xff0c;仔细分析可得&#xff0c;父节点最大字段和可能为&#xff1a; 左子树最大子段和右子树最大子段和左子树最…...

编程日记 2025/5/29 13:52:47

[Java实战]Spring Boot整合Elasticsearch（二十六）

[Java实战]Spring Boot整合Elasticsearch&#xff08;二十六&#xff09; 摘要&#xff1a;本文通过完整的实战演示&#xff0c;详细讲解如何在Spring Boot项目中整合Elasticsearch&#xff0c;实现数据的存储、检索和复杂查询功能。包含版本适配方案、Spring Data Elasticsea…...

编程日记 2025/5/29 19:30:58

【深度学习新浪潮】大模型在哪些垂域已经有比较好的落地？

AI大模型在多个垂直领域已实现显著落地，以下结合可验证案例与行业数据展开说明： 一、医疗健康：精准诊断与个性化治疗 呼吸系统疾病诊断 国家呼吸医学中心研发的LungDiag模型，基于公开临床数据集训练，在预印本研究中对肺炎、肺癌等10种疾病的辅助诊断准确率达92%。医联Med…...

编程日记 2025/5/28 8:12:36

软件测试全攻略：从概念到实践

目录 测试指南针--概念篇 1. 什么是软件测试&#xff1f; 2. 软件测试和软件开发的关系是什么&#xff1f; 3. 测试需要哪些能力&#xff1f; 4. 测试流程是什么样的&#xff1f; 5. 什么是单元测试和集成测试&#xff1f; 6. 软件的生命周期是什么样的&#xff1f; 需求…...

编程日记 2025/5/27 8:03:37

linux hungtask detect机制分析

1&#xff0c;机制概述‌ hungtask detect 是 Linux 内核用于检测长时间阻塞&#xff08;"hung"&#xff09;任务的机制&#xff0c;主要针对因死锁、死循环或资源竞争导致无法调度的任务 ‌触发条件‌&#xff1a;任务在 TASK_UNINTERRUPTIBLE 状态持续超过预设阈值…...

编程日记 2025/5/24 20:30:10

影刀处理 Excel：智能工具带来的高效变革

1. 高效的数据处理能力 1.1 快速读取与写入数据 影刀在处理 Excel 数据时展现出显著的读取与写入速度优势。传统方法处理大型 Excel 文件时&#xff0c;读取速度可能仅为每秒 100 行左右&#xff0c;而影刀通过优化底层代码和采用高效的文件解析算法&#xff0c;读取速度可达…...

编程日记 2025/5/29 15:18:20

2021ICPC四川省赛个人补题ABDHKLM

Dashboard - The 2021 Sichuan Provincial Collegiate Programming Contest - Codeforces 过题难度&#xff1a; A K D M H B L 铜奖 5 594 银奖 6 368 金奖 8 755 codeforces.com/gym/103117/problem/A 模拟出牌的过程&#xff0c;打表即可 // Code Start Here int t…...

编程日记 2025/5/24 0:58:35

HarmonyOS 影视应用APP开发--配套的后台服务go-imovie项目介绍及使用

网上有小伙伴对影视应用感兴趣&#xff0c;也想搞个自己的免费观影APP玩玩儿。前期博主开源的有uniapp版本和harmonyOS原生版本影视客户端&#xff0c;但是对博主开源的这个影视后台接口服务不太了解&#xff0c;不知道怎么用起来。这里总结介绍下该go-imove后台接口服务项目介…...

编程日记 2025/6/1 9:05:43

JAVA SE 多线程(上)

文章目录 &#x1f4d5;1. Thread类及常见方法✏️1.1 创建线程✏️1.2 Thread 的常见构造方法✏️1.3 Thread 的几个常见属性✏️1.4 启动一个线程---start()✏️1.5 中断一个线程---interrupt()✏️1.6 等待一个线程---join()✏️1.7 获取当前线程引用✏️1.8 休眠当前线程 &…...

编程日记 2025/5/28 0:31:41

基于Bootstrap 的网页html css 登录页制作成品

目录 前言 一、网页制作概述 二、登录页面 2.1 HTML内容 2.2 CSS样式 三、技术说明书 四、页面效果图 前言 ‌Bootstrap‌是一个用于快速开发Web应用程序和网站的前端框架&#xff0c;由Twitter的设计师Mark Otto和Jacob Thornton合作开发。 它基于HTML、CSS和JavaScri…...

编程日记 2025/5/31 15:02:56