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线代第二章矩阵第九、十节：初等变换、矩阵的标准形、阶梯形与行最简阶梯形、初等矩阵

news 来源：原创 2025/6/24 18:52:49

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文章目录

      • 初等变换
        • 初等行变换
        • 初等列变换
      • 矩阵的标准型
      • 阶梯形与行最简阶梯形
        • 阶梯型矩阵
        • 行简化阶梯形
      • 初等矩阵
        • 定义
        • 性质
        • 初等矩阵和初等变换的联系

本节非常重要

初等变换

初等变换使用"→"，而不是"="

初等行变换

① 交换两行
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② 非0数乘以某一行
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③ 某一行的L倍加到另一行上去
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初等列变换

列与行同理

矩阵的标准型

从左上角开始，一串1，其余地方全是0，这个就叫标准型
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阶梯形与行最简阶梯形

阶梯型矩阵
  1. 如有0行，0行在非0行的下面
  2. 非0行的首非0元的左下方的元素 （若有的话） 全是0
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要点：竖线只过一个数，横线可以跨多个数

行简化阶梯形
  1. 必须是阶梯形
  2. 非0行的首非0元是1
  3. 非0行的首非0元的所在列其他元素是0
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定理： 任何的矩阵A都可以经过初等变换，化成一个阶梯形
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初等矩阵

定义

由单位E做一次初等变换（行、列）得到的矩阵就叫做初等矩阵

第一种：
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第二种：
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第三种：
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第j行的L倍加到第i行上去
第i列的L倍加到第j行上去
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性质

  1. 初等矩阵的行列式不为0
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  2. 初等矩阵的转置矩阵仍是同类型初等矩阵
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  3. 初等矩阵均可逆，其逆矩阵也是同种类型的初等矩阵
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初等矩阵和初等变换的联系
  1. A做一次初等行变换，相当于用同种的初等矩阵去左乘A

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  1. A做一次初等列变换，相当于用同种的初等矩阵去右乘A

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观看笔记来源： 《线性代数》教学视频 宋浩老师（2024年更新）

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