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山东大学计算机图形学期末复习6——CG10下

news 来源：原创 2025/6/25 12:23:12

##CG10下

将世界坐标中的任意点 $P$ 变换到以相机为中心的“观察坐标系”下（右手坐标系）
- $\mathbf{n}$ ：从相机眼睛朝向观察点的反方向，代表“前方”；
- $\mathbf{u}$ ：观察坐标系的 x 轴，向右；
- $\mathbf{v}$ ：观察坐标系的 y 轴，向上（通过 up 向量决定）；
最终矩阵应该能把顶点从世界坐标系变换到 $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{n})$ 的坐标系中。

第一步：建立摄像机坐标系（右手系）

设：
- $\mathbf{e} = (e_x, e_y, e_z)$ ：相机位置；
- $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ ：观察点（“at”）；
- $\mathbf{up} = (up_x, up_y, up_z)$ ：相机头顶方向；
定义：
- $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{e} - \mathbf{a}}{\|\mathbf{e} - \mathbf{a}\|}$ ：从观察点朝眼睛方向（注意方向反了）；
- $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{up} \times \mathbf{n}}{\|\mathbf{up} \times \mathbf{n}\|}$ ：右方向（x轴）；
- $\mathbf{v} = \mathbf{n} \times \mathbf{u}$ ：上方向（y轴）；
这一步建立了观察坐标系中三个正交单位轴 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{n}$ 。

第二步：坐标旋转（将世界坐标轴对齐到相机轴）

将世界中的点表示成相对于 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{n}$ 的新基坐标形式。这本质是将世界坐标投影到新坐标系上。

写成矩阵：
$\begin{bmatrix} u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ n_x & n_y & n_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
这是“旋转矩阵”，它将点从世界坐标系变换到摄像机的局部坐标轴。

第三步：坐标平移（把相机移动到原点）

我们还需要把摄像机从世界坐标系中的位置 $\mathbf{e}$ 移动到原点。

写成矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -e_x \\ 0 & 1 & 0 & -e_y \\ 0 & 0 & 1 & -e_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

第四步：组合成观察矩阵

先平移（T），再旋转（R），也就是右乘：
$M_{\text{view}} = R \cdot T$

这样一个点 $p_{\text{world}}$ 在世界坐标系中，经过：
$p_{\text{camera}} = R \cdot T \cdot p_{\text{world}}$
就变换到了观察坐标系中。

最终观察变换矩阵公式

将旋转和平移乘在一起，得：
$M_{\text{view}} = \begin{bmatrix} u_x & u_y & u_z & -\mathbf{u} \cdot \mathbf{e} \\ v_x & v_y & v_z & -\mathbf{v} \cdot \mathbf{e} \\ n_x & n_y & n_z & -\mathbf{n} \cdot \mathbf{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
这个矩阵正是 gluLookAt() 背后的核心变换。
正交投影（Orthographic Projection）
1. 原理
- 投影方向：沿 z 轴 平行投影到 x-y 平面上。
- 不考虑透视，不管物体离相机远近，显示尺寸恒定。
1. 数学表达
将三维点 $(x, y, z)$ 投影为：
$(x^{'}, y^{'}, z^{'}) = (x, y, 0)$
变换矩阵（简化型）：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
此变换将所有点的 z 值清零。
1. OpenGL 正交投影矩阵（View Volume）
使用 glOrtho 或 gluOrtho2D 设置 投影平行六面体（view box）：
```
glOrtho(left, right, bottom, top, near, far);
```
矩阵本质上把这个六面体映射到标准立方体 $1, 1]^3$ 。

正交投影矩阵如下（OpenGL定义）：
$M_{\text{ortho}} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & -\frac{r + l}{r - l} \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & -\frac{t + b}{t - b} \\ 0 & 0 & -\frac{2}{f - n} & -\frac{f + n}{f - n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
参数含义：
- $l, r$ ：x 方向左右边界
- $b, t$ ：y 方向上下边界
- $n, f$ ：z 方向近平面和远平面（注意 OpenGL 中这两个必须是正数）
透视投影（Perspective Projection）
1. 原理
- 模拟人眼视角：近处大，远处小
- 所有投影线收敛于“投影中心”（即相机位置）
- 常使用一个“视锥体”（frustum）包围视野范围
1. 数学表达
设观察点为原点，投影面为 $z = - d$ ，三维点为 $(x, y, z)$ ，投影为：
$\frac{d x}{z}, \quad y' = \frac{d y}{z}, \quad z' = d$

齐次矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & \frac{1}{d} & 0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \ y \ z \ 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x \ y \ z \ \frac{z}{d}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\left( \frac{x}{z/d}, \frac{y}{z/d}, 1 \right)
$$
- 当我们将这个矩阵与齐次坐标相乘时，得到新的齐次坐标 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, w^{\prime}\right)$ 。
- 在齐次坐标中，最终的二维坐标是通过将前三维除以第四维 $\left(w^{\prime}\right)$ 得到的：
$\left(\frac{x^{\prime}}{w^{\prime}}, \frac{y^{\prime}}{w^{\prime}}, \frac{z^{\prime}}{w^{\prime}}\right)$
- 根据矩阵乘法的结果：
$x^{\prime}=x, \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=z, \quad w^{\prime}=\frac{z}{d}$
- 因此，透视除法后的坐标为：
$\left(\frac{x}{z / d}, \frac{y}{z / d}, \frac{z}{z / d}\right)=\left(\frac{x d}{z}, \frac{y d}{z}, d\right)$
- 这正好对应于透视投影的公式。
结果需透视除法 $x / w$ 实现拉伸效果。
1. OpenGL 透视投影（Frustum / Perspective）
使用 glFrustum 定义视锥体：
```
glFrustum(left, right, bottom, top, near, far);
```
使用 gluPerspective 更常见：
```
gluPerspective(fovy, aspect, near, far);
```
- fovy: 垂直视角（以度为单位）
- aspect: 宽高比 = width / height
- near, far: 深度裁剪距离（注意必须正数）

正交归一化

正交归一化是一种将指定的剪裁体积（clipping volume）转换为默认视图体积（default view volume）的技术。默认视图体积是一个边长为2的立方体，其坐标范围在x、y和z方向上均为从-1到1。这个过程主要包括三个步骤：平移、缩放和反射。

步骤1：平移原点到中心

平移变换的目的是将剪裁体积的中心移动到原点。剪裁体积的中心可以通过以下公式计算：

$\left(\frac{\text { right }+ \text { left }}{2}, \frac{\text { top }+ \text { bottom }}{2},-\frac{\text { far }+ \text { near }}{2}\right)$

平移变换矩阵如下：

$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -\frac{\text { right }+ \text { left }}{} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{\text { top }+ \text { bottom }}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{\text { far }+ \text { near }}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

步骤2：缩放块

缩放变换的目的是将剪裁体积在x、y和z方向上缩放，使其范围从-1到1。缩放因子分别为：

$\frac{2}{\text { right }- \text { left }}, \frac{2}{\text { top }- \text { bottom }}, \frac{2}{\text { far }- \text { near }}$

缩放变换矩阵如下：

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{\text { right-left }} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{\text { top-bottom }} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{\text { far-near }} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

步骤3：相对于x-y平面反射

反射变换的目的是解决深度值（z值）的反直觉问题。在归一化后，近平面（near plane）的z值会大于远平面（far plane）的z值，这与直觉相反。为了解决这个问题，可以对模型进行反射变换，使其相对于x-y平面进行镜像。

反射变换矩阵如下：

$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

步骤1和步骤2的累积变换

步骤1和步骤2的累积变换矩阵是通过将平移矩阵和缩放矩阵相乘得到的。累积变换矩阵如下：

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{\text { right-left }} & 0 & 0 & -\frac{\text { right-left }}{\text { right-left }} \\ 0 & \frac{2}{\text { top-bottom }} & 0 & -\frac{\text { top+bottom }}{\text { top-bottom }} \\ 0 & 0 & \frac{2}{\text { far-near }} & \frac{\text { far+near }}{\text { far-near }} \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

综合步骤1、2、3：

$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{\text { right-left }} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{\text { top-botom }} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{\text { far- near }} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -\frac{\text { right }+ \text { left }}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{\text { top }+ \text { bottom }}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{\text { far }+ \text { near }}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

The overall matrix for Steps 1,2 & 3

$\left[\begin{array}{cccc} \frac{2}{\text { right }- \text { left }} & 0 & 0 & -\frac{\text { right }+ \text { left }}{\text { right }- \text { left }} \\ 0 & \frac{2}{\text { top }- \text { bottom }} & 0 & -\frac{\text { top }+ \text { bottom }}{\text { top }- \text { bottom }} \\ 0 & 0 & -\frac{2}{\text { far }- \text { near }} & -\frac{\text { far }+ \text { near }}{\text { far }- \text { near }} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

深度缓冲区算法

深度缓冲区算法是一种用于解决三维图形渲染中物体遮挡关系（即哪个物体在前面，哪个物体在后面）的问题。它通过记录每个像素的深度值（即从视点到物体表面的距离）来确保屏幕上只显示最靠近视点的物体。

深度缓冲区算法概述
- 原理：对于每个像素，记录从视点到物体表面的距离（即深度值）。每次渲染一个新的物体时，如果该物体的深度值比当前像素已有的深度值更小（表示这个物体更靠近观察者），则更新该像素的颜色，否则保持原值。
- 关键操作：只有当新的物体表面距离视点更近时，才会更新像素的颜色。
组件
- 显示器：用来输出最终的图像。
- 处理器：负责执行渲染和深度测试计算。
- 帧缓冲区：存储图像的颜色信息（即每个像素的RGB值）。
- 深度缓冲区：存储每个像素的深度值，用来跟踪物体与视点之间的距离。
深度缓冲区算法工作流程
- 更新像素：当一个新的表面被绘制时，检查该表面对应像素的深度值。如果该深度值小于当前深度值（即新表面比当前表面距离视点更近），则更新像素的颜色，并将该像素的深度值更新为新表面的深度值。
- 示例：
  1. 青色面绘制：首次绘制青色面时，像素的颜色被设置为青色，并记录该面的深度值。
  2. 绿色面绘制：接着绘制绿色面，由于绿色面的深度值大于青色面，因此该像素颜色不发生变化。
  3. 红色三角形绘制：最后绘制红色三角形，它比前两个面更靠近视点，因此会更新该像素的颜色为红色，并将深度值更新为红色三角形的深度值。
深度缓冲区算法伪代码(Z-buffer)

伪代码描述了深度缓冲区算法的实现步骤：
```
For each pixel at (x, y):color(x, y) = background_color;     // 初始化为背景色depth(x, y) = infinity;              // 初始化深度为无穷大For each surface:For each pixel (x, y) covered by surface projection:z = depth of surface at pixel;   // 计算当前像素的深度值if (z < depth(x, y)):            // 如果新表面更近color(x, y) = surface_color; // 更新颜色depth(x, y) = z;            // 更新深度值
```
- 初始化：每个像素的颜色初始化为背景色，深度初始化为无穷大（表示没有物体被绘制）。
- 遍历表面：对于每个物体表面，遍历所有覆盖该物体的像素。
- 深度比较：对于每个像素，如果该像素的深度值小于当前记录的深度值（即物体更靠近观察者），则更新该像素的颜色和深度值。
OpenGL中深度缓冲区的设置

在OpenGL中，设置深度缓冲区的步骤如下：
1. 启用深度缓冲区：
```
glutInitDisplayMode(GLUT_DEPTH);  // 初始化显示模式，启用深度缓冲区
```
2. 启用深度测试：
```
glEnable(GL_DEPTH_TEST);  // 开启深度测试，启用深度缓冲区算法
```
3. 清空深度缓冲区：
```
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);  // 清空颜色缓冲区和深度缓冲区
```
  - 需要在每次渲染时清除颜色和深度缓冲区，以确保每帧的渲染是从干净的状态开始的。
4. 背面剔除：
  背面剔除是优化渲染效率的一种方法，去除视角看不到的表面。通过启用背面剔除，可以避免渲染被隐藏的面。
```
glEnable(GL_CULL_FACE);  // 启用剔除
glCullFace(GL_BACK);     // 剔除背面
```
深度缓冲区的优点和应用
- 优点：
  - 提高渲染效率：通过在每个像素点进行深度比较，减少了不必要的渲染计算，确保只有可见的物体表面被渲染。
  - 解决遮挡问题：深度缓冲区有效解决了3D场景中的遮挡问题，使得物体在不同深度位置正确显示。
- 应用：
  - 深度缓冲区广泛应用于三维游戏、模拟和虚拟现实等领域，用于处理复杂的3D场景和确保准确的物体渲染。
阴影的详细讲解

阴影是计算机图形学中增强场景真实性的重要技术，通常用于模拟光照与物体之间的关系。本文详细介绍了基于方向光源的阴影生成方法，重点在于如何通过数学推导和OpenGL代码实现阴影投影。
1. 阴影生成基本原理
阴影生成的基本原理是将三维物体在光源投射下的投影计算出来。不同类型的光源生成的阴影有所不同，本篇重点讲解平行光源（如太阳光）生成的阴影。
1. 平行光源的阴影生成
平行光源是指光线平行的光源，通常用于模拟太阳光。计算阴影的过程涉及将三维顶点投影到一个平面上，从而确定阴影的位置。
- 阴影的计算公式：
  
  光线方向是由光源到目标表面的方向决定的，我们假设光线方向向量为 $(d x, d y, d z)$ 。为了计算阴影，我们需要沿着光线方向将顶点 $(x, y, z)$ 移动一段距离，直到它投影到平面上。
  
  顶点 $(x, y, z)$ 沿着光线方向移动后的新坐标 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 可以通过以下公式表示：
  $\alpha dx, \quad y' = y + \alpha dy, \quad z' = z + \alpha dz$
  其中， $\alpha$ 是一个参数，表示从顶点 $(x, y, z)$ 沿着光线方向移动的距离(经过我的思考，这个表述并不准确， $\alpha$ 实际上相当于直线的参数方程的自变量，而dx，dy，dz相当于控制每个方向前进程度)，直到与平面相交。
  
  平面方程约束
  
  我们要求移动后的点 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 必须落在平面 $a x + b y + cz + d = 0$ 上。为了满足这个条件，我们将顶点的投影坐标 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 代入平面方程，并解出 $\alpha$ ：
  $\alpha dx) + b(y' + \alpha dy) + c(z' + \alpha dz) + d = 0$
  将 $x^{'}$ , $y^{'}$ , 和 $z^{'}$ 的表达式代入上式，得到：
  $\alpha dx) + b(y + \alpha dy) + c(z + \alpha dz) + d = 0$
  展开并整理，得到：
  $\alpha (a dx + b dy + c dz) = -(a x + b y + c z + d)$
  因此， $\alpha$ 可以表示为：
  $\alpha = -\frac{a x + b y + c z + d}{a dx + b dy + c dz}$
  这就是计算顶点投影到平面上的移动距离 $\alpha$ 的公式。
1. 投影矩阵的推导
通过将上述公式代入到平面方程中，可以得到投影矩阵。该矩阵用于计算顶点在投影平面上的坐标。

怎么来的？带入：
$\begin{aligned} & x^{\prime}=x-\frac{a \times x+b \times y+c \times z+d}{a \times d x+b \times d y+c \times d x} d x \\ & x^{\prime}=\frac{(b \times d y+c \times d x) x-(b \times d x) y-(c \times d x) z-d \times d x}{a \times d x+b \times d y+c \times d x} \\ & y^{\prime}=\ldots \\ & z^{\prime}=\ldots \end{aligned}$
以X为例，不难发现分子上的几项对应了x，y，z，和一个常数项，这些系数对应变换矩阵第一行，表示要对x进行点积。至于分母，由于所有分母都一样，正好齐次坐标最后要除以w，所以我们把分母放到w的位置，最后一除，w变为1表示点，x、y、z坐标也有了分母。

投影矩阵如下：
$$
\begin{bmatrix}
x’ \
y’ \
z’ \
w’
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
b \cdot dy + c \cdot dz & -b \cdot dx & -c \cdot dx & -d \cdot dx \
-a \cdot dy & a \cdot dx + c \cdot dz & -c \cdot dy & -d \cdot dy \
-a \cdot dz & -b \cdot dz & a \cdot dx + b \cdot dy & -d \cdot dz \
0 & 0 & 0 & a \cdot dx + b \cdot dy + c \cdot dz
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y \
z \
1
\end{bmatrix}
$$
这个矩阵包含了光源方向的参数 (dx, dy, dz) 和投影平面的方程 (a, b, c, d)，用来将顶点 (x, y, z) 映射到阴影平面 (x’, y’, z’)。
点光源阴影生成

点光源阴影生成的过程与平行光源有所不同，因为点光源从一个具体的点发射光线，而平行光源则假设所有光线平行。在点光源的情况下，阴影的形成与光源的具体位置和场景中物体的相对位置密切相关。

以下是根据点光源的阴影生成过程的详细推导：
1. 点光源阴影原理
假设光源位于空间中的某个点 $(l x, l y, l z)$ ，我们需要计算顶点 $(x, y, z)$ 在某个平面上的阴影位置。与平行光源不同，点光源的光线是从光源到物体发射的，因此，阴影的生成是基于光线从光源到物体的射线方程来计算的。
1. 顶点到平面的阴影投影
对于顶点 $(x, y, z)$ 和一个平面 $a x + b y + cz + d = 0$ ，我们希望计算该顶点在光源射线方向上的投影，最终确定阴影点 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 的位置。

2.1 定义光源的方向

点光源的光线方向从光源点 $(l x, l y, l z)$ 指向目标顶点 $(x, y, z)$ ，因此光线方向可以用向量 $(d x, d y, d z)$ 表示：
$\quad dy = y - ly, \quad dz = z - lz$
这表示从光源到顶点的方向。

2.2 顶点沿光线方向移动

阴影点 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 是顶点 $(x, y, z)$ 沿着光线方向移动的结果。通过引入一个参数 $\alpha$ ，可以表示顶点沿光线方向移动后的新坐标为：
$\alpha x, \quad y' = \alpha y, \quad z' = \alpha z$
其中， $\alpha$ 是一个未知的参数，表示沿光线方向移动的距离（依旧不准确， $\alpha$ 并不严格代表这个距离，而是相当于直线参数方程的自变量。至于为什么可以这么表示，看ppt图就明白了，默认点光源位于原点）。

在这里插入图片描述

2.3 平面方程约束

阴影点 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 必须位于平面上，因此我们将投影后的点代入平面方程 $a x + b y + cz + d = 0$ ：
$a(\alpha x) + b(\alpha y) + c(\alpha z) + d = 0$
展开后得到：
$\alpha (a x + b y + c z) + d = 0$
从中解出 $\alpha$ ：
$\alpha = -\frac{d}{a x + b y + c z}$
这表示阴影点沿光线方向的移动距离。

2.4 计算阴影坐标

一旦得到了 $\alpha$ ，就可以计算阴影点 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 的坐标：
$-\frac{d x}{a x + b y + c z}, \quad y' = -\frac{d y}{a x + b y + c z}, \quad z' = -\frac{d z}{a x + b y + c z}$
这个公式计算了点光源下顶点的阴影位置。

矩阵表示

为了在图形学中高效处理阴影，尤其是使用 OpenGL 渲染阴影，可以将上述过程转化为矩阵形式。

首先，将阴影计算转化为齐次坐标，可以将投影过程用 4x4 矩阵来表示。投影矩阵通过平面方程和光源的方向来生成。

3.1 投影矩阵

根据之前的公式，阴影投影可以用以下投影矩阵来表示：
$$
\begin{bmatrix}
x’ \
y’ \
z’ \
w’
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\frac{a dx + b dy + c dz}{a x + b y + c z} & -\frac{a dx}{a x + b y + c z} & -\frac{b dx}{a x + b y + c z} & -\frac{d dx}{a x + b y + c z} \
\frac{a dy + b dz + c dz}{a x + b y + c z} & a dx + c dz & -c dy & -d dy \
\frac{a dz + b dy + c dz}{a x + b y + c z} & -c dz & b dy + c dy & -d dz \
0 & 0 & 0 & a dx + b dy + c dz \
\end{bmatrix}
$$
这表示投影矩阵的元素基于平面参数 $(a, b, c, d)$ 和光源的方向 $(d x, d y, d z)$ 。

将世界坐标中的任意点 P P P 变换到以相机为中心的“观察坐标系”下（右手坐标系）

第一步：建立摄像机坐标系（右手系）

第二步：坐标旋转（将世界坐标轴对齐到相机轴）

第三步：坐标平移（把相机移动到原点）

第四步：组合成观察矩阵

最终观察变换矩阵公式

正交投影（Orthographic Projection）

原理

数学表达

OpenGL 正交投影矩阵（View Volume）

透视投影（Perspective Projection）

原理

数学表达

齐次矩阵形式： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & \frac{1}{d} & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix}

OpenGL 透视投影（Frustum / Perspective）

正交归一化

步骤1：平移原点到中心

步骤2：缩放块

步骤3：相对于x-y平面反射

步骤1和步骤2的累积变换

综合步骤1、2、3：

The overall matrix for Steps 1,2 & 3

深度缓冲区算法

组件

深度缓冲区算法工作流程

深度缓冲区算法伪代码(Z-buffer)

OpenGL中深度缓冲区的设置

深度缓冲区的优点和应用

阴影的详细讲解

阴影生成基本原理

平行光源的阴影生成

阴影的计算公式：

平面方程约束

投影矩阵的推导

投影矩阵如下： $$ \begin{bmatrix} x’ \ y’ \ z’ \ w’ \end{bmatrix}

点光源阴影原理

顶点到平面的阴影投影

2.1 定义光源的方向

2.2 顶点沿光线方向移动

2.3 平面方程约束

2.4 计算阴影坐标

矩阵表示

3.1 投影矩阵

根据之前的公式，阴影投影可以用以下投影矩阵来表示： $$ \begin{bmatrix} x’ \ y’ \ z’ \ w’ \end{bmatrix}

相关文章：

将世界坐标中的任意点 $P$ 变换到以相机为中心的“观察坐标系”下（右手坐标系）

齐次矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & \frac{1}{d} & 0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \ y \ z \ 1
\end{bmatrix}

投影矩阵如下：
$$
\begin{bmatrix}
x’ \
y’ \
z’ \
w’
\end{bmatrix}

根据之前的公式，阴影投影可以用以下投影矩阵来表示：
$$
\begin{bmatrix}
x’ \
y’ \
z’ \
w’
\end{bmatrix}