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2025东三省B题深圳杯B题数学建模挑战赛数模思路代码文章教学

news 来源：原创 2025/7/5 1:09:55

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一、问题一的模型构建与优化（RGB颜色空间转换模型）
基础模型（线性映射模型）/高斯过程回归模型（GPR）：
针对高清视频源（BT2020标准）与普通RGB显示器之间的色彩空间差异，基础方法一般是采用线性映射模型。设视频源色彩空间为，显示器为，定义基础线性映射为：

其中，是转换矩阵，是偏移向量，通过最小二乘法确定参数，即：

优化模型（深度神经网络映射模型）：
考虑实际颜色空间映射的非线性特征，提出更先进的优化方法——基于深度神经网络的非线性映射模型，步骤如下：
步骤1 数据预处理：
将原始颜色数据归一化至[0,1]区间；
将数据划分为训练集和验证集。
步骤2 模型建立：
设计多层前馈神经网络，输入层为视频源的XYZ坐标，输出层为显示设备的RGB值；
中间层（隐层）采用ReLU激活函数，输出层使用Sigmoid激活函数。
步骤3 损失函数：
选用MSE损失函数：

步骤4 模型优化：
利用Adam优化器训练网络；
通过交叉验证法确定模型最优参数，最终实现从源视频到显示设备的精确非线性映射。
相比基础线性映射，深度神经网络模型能更好地适应非线性颜色空间转换，降低映射误差，更贴合实际工业应用需求。
问题1：颜色空间转换
图2所示为CIE1931的标准色空间，自然界中我们所观察到的所有颜色坐标都可以表示在这个马蹄形状的曲线内，每个坐标值表示的便是一种颜色。

图2 CIE1931的标准色空间及BT2020色空间、普通显示屏色空间的表示图
在图2中，棕色三角形表示BT2020[4]标准的高清视频源的三基色色空间，而红色三角形表示的通常普通显示屏的RGB三基色空间，红色三角形所形成的色域比棕色的小，所表示出的颜色就比较少，显示器不能完全还原出视频源记录的颜色，从而导致色彩损失，但这是不可避免的。试定义合适的转换损失函数，设计视频源颜色空间到显示屏RGB颜色空间的转换映射，使色彩转换损失最小。
多目标非线性优化模型
问题重述：
在视频显示设备领域，由于普通显示屏的RGB三基色空间较BT2020高清视频源的三基色空间小，存在色彩转换损失，如何定义合适的损失函数，设计出最优的颜色空间转换映射，使色彩损失最小，是关键问题。
建模思路与方法：
针对该问题，我们选取一种高级优化模型，即多目标非线性优化模型，结合色域匹配损失函数，进行优化设计。具体如下：
（1）损失函数定义：
基于CIE1931-XYZ色空间，我们定义颜色转换损失函数为：

其中，

（2）颜色转换映射设计：
使用BP神经网络或支持向量回归（SVR）等机器学习算法学习视频源颜色(XYZ)与显示屏颜色(RGB)之间的非线性映射关系。
将颜色空间数据标准化输入网络，通过最小化损失函数训练模型。
优化后的映射模型能够显著降低视频源到普通显示器之间的色彩差异，极大地提高色彩还原精度，实现更优的色彩复现效果。

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二、问题二的模型构建与优化（4通道至5通道颜色空间扩展模型）
基础模型（线性扩展模型）：
最基本的模型假设从RGBV空间到RGBCX空间的映射可通过线性变换实现，即：

其中，为映射权重矩阵，为偏置。采用最小二乘法进行参数拟合。
优化模型（流形学习与非负矩阵分解联合优化/流形正则化深度生成模型（MR-DGM））：
实际中RGBV空间与RGBCX空间是非线性扩展关系，故采用更先进的高维空间映射模型，步骤为：
步骤1 非负矩阵分解（NMF）降维特征提取：
原RGBV空间数据矩阵：

步骤2 流形学习高维扩展（如局部线性嵌入LLE）：
提取的低维特征经LLE进行空间扩展映射到RGBCX五维空间中，保持数据局部结构：

步骤3 优化模型参数：
定义扩展映射损失函数为高维空间重构误差最小化：

步骤4 模型训练与验证：
交叉验证进行模型训练，并优化参数至全局最优。
NMF与LLE联合优化有效实现非线性扩展映射，在保证色域扩展的同时，最大限度保留原始颜色信息，效果远优于简单的线性模型。
问题2：颜色空间转换(4通道到5通道)
为了最大程度的呈现大自然界的中颜色，通常将摄像机增加了一个颜色通道，即摄像机可以输出四基色视频源RGBV，从而扩大了色域空间的面积，坐标(包含亮度信号)分别为：

这里，YS(s表示R、G、B或V)为亮度信息。类似地，为了增强LED的显示能力，也可以设计成为五基色(通道)的显示屏RGBCX(图3 红色五边形所围起的五边形)，试定义合适的颜色转换映射，将视频源4通道信号转化到五通道LED显示器上，使色颜色转换损失最小。
、
图3 CIE1931颜色域4通道到5通道的转换

图 4.1 存在色度差异LED 显示屏成像结果

图 4 .2 LED显示屏校正后成像显示结果

问题重述：
需要设计合适的映射关系，将RGBV四通道视频源转化为RGBCX五通道LED显示空间，以最小化色彩转换损失。
建模思路与方法：
分解（NMF）与流形学习联合模型。
这里采用SCI顶尖期刊经常应用的高维数据映射方法：非负矩阵分解（NMF）与流形学习联合模型。
（1）非负矩阵分解（NMF）：
通过非负矩阵分解算法，我们有：

其中为四通道原数据，为分解后的非负矩阵，能够有效表达数据特征。
（2）流形学习算法（例如：局部线性嵌入LLE）：
通过LLE算法实现低维数据到更高维空间的平滑映射：

（3）色彩转换损失函数（拓展型）：

这种高级混合算法（NMF+LLE）可有效实现色域空间从4通道到5通道的精确映射，最大限度保持原有色彩信息。

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三、问题三的模型构建与优化（LED显示器逐点颜色校正模型）
基础模型（简单逐点差值校正）：
基础方法通常针对每个像素位置简单计算颜色偏差，然后直接校正：

优化模型（深度自编码器逐点校正模型/卷积自编码器与空间注意力机制（CAE+Attention））：
考虑实际显示屏逐像素的复杂非线性差异，提出深度自编码器模型，具体步骤如下：
步骤1 建立自编码器结构：
以实际测量的RGB值作为网络输入，目标颜色值（220标准值）作为输出；
网络结构采用编码-解码对称网络，隐层捕获屏幕颜色差异的深层特征。
步骤2 定义损失函数：
使用重构误差最小化：

步骤3 训练网络并逐点校正：
Adam优化器进行网络参数训练；
模型完成训练后，应用于显示屏每个像素的实时校正，使整体颜色一致性达到最佳状态。
深度自编码器能有效捕获屏幕像素复杂非线性差异，实现更精细的逐点颜色校正，比基础校正模型更精准、稳定。
问题3：LED显示器颜色校正
由于组成彩色LED全显示屏(如分辨率1920×1080)每个像素的发光器件内部色度存在差异，全彩LED模块显示屏的颜色即使全都在同样的标定值(220)下，呈现的色彩也会有差异。图4.1是R、G、B在标定值时显示的照片(颜色数据在附录中)，可以看出显示不一致，不能满足高品质的显示需求。因此，我们需要利用颜色的合成特性将颜色进行校正，使显示器在标定值(220)下呈现如图4.2，即R、G、B的颜色输出是均匀一致的[5]。试根据你设计的(1)-(2) 色域转换结果应用在LED颜色校正中，将全屏颜色进行校正并运用在给的64×64的显示数据模块上。

附件：数据集：64×64x10 数据集合(注：包括显示的目标值(每个像素设定为220)和每个受扰动的屏幕显示的R、G、B值)
逐点校正模型（Point-wise Correction Model）结合深度学习自编码器网络：
问题重述：
LED显示器内部像素的发光器件颜色存在色度差异，需要设计颜色校正方案以确保颜色显示均匀一致。
建模思路与方法：
采用SCI期刊广泛应用的逐点校正模型（Point-wise Correction Model）结合深度学习自编码器网络：
（1）逐点校正模型定义：
每个像素的校正值定义为：

（2）深度自编码器模型训练：
输入为受扰动的显示值，输出为目标值(220)；
自编码器捕获非线性特征并估计误差；
模型学习后对每个像素逐一应用修正，得到均匀颜色。
使用深度自编码器校正的LED显示器颜色均匀性大幅改善，达到高品质显示要求。
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模型构建与优化（实际LED显示模块校正的迁移模型）
基础模型（独立训练模型）：
基础方法是对64×64实际显示模块独立重新训练一个模型，成本较高，耗时较长，数据需求大。
优化模型（迁移学习优化模型/多源域自适应迁移学习（Multi-source Domain Adaptation））：
实际工业应用中提出高效的迁移学习策略，步骤如下：
步骤1 预训练模型迁移：
利用问题一至问题三训练获得的颜色校正模型作为源域；
将源域模型参数作为初始参数，迁移到64×64目标域。
步骤2 微调与优化：
少量实际屏幕数据对模型进行微调，以适应新显示屏的具体环境；
局部区域利用双边滤波器进行空间校正以提升空间连续性。
步骤3 校正应用：
将微调模型逐点应用到实际LED模块上，实现快速精准的颜色校正，保证显示质量均匀。
迁移学习的引入大大节省了工业实践中的成本与时间，实现了模型的快速落地和精准校正。提出了一整套基于数学建模、优化算法和深度学习的颜色空间转换及显示器颜色校正方案。从基础线性模型开始，到深度学习模型优化，再到迁移学习实际应用，逐步提高模型复杂度和精度，形成了一套科学、严谨、高效的工程解决方案。整体方案能够广泛应用于高端LED显示屏的颜色校正与空间转换设计，具有较高的理论价值与实践应用潜力。通过上述科学而严谨的建模梳理，从简单基础模型逐步推进到高级优化模型（如GPR、MR-DGM、CAE-SA和迁移学习），体现了由浅入深的模型思维体系，确保了方法的严谨性、科学性和工程可行性。整体方案明确可靠，适用于实际LED显示领域颜色校正与色域空间转换需求，充分满足高端工程应用场景的技术要求。
关键词：颜色空间转换；深度神经网络；非负矩阵分解；流形学习；自编码器；迁移学习；LED显示校正
参考文献：
1.CIE1931色彩空间,https://baike.baidu.com/item/CIE1931色彩空间/22735546,2025.3
2.XYZ表色系统,https://baike.baidu.com/item/XYZ表色系统/22038691,2025.3
3.周纯丽,吕锡坤,谢文馨等,LED混光颜色质量及优化研究,照明工程学报，35(1)，15-23，2024
4.Masayuki Sugawara, Seo-Young Choi, David Wood,Ultra-High-Definition Television (Rec. ITU-R BT.2020): A Generational Leap in the Evolution of Television, .IEEE Signal Processing Magazine,2014(5)，2014
5.赵星梅. LED 显示屏亮度非均匀性逐点校正技术的研究[D]. 中国优秀硕士学位论文全文数据库,2009.
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