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直接映射例题及解析

news 来源：原创 2025/6/17 0:11:05

基本单位换算

例题一

📁 Tag Directory（标签目录）是什么？

例题二

例题三

例题四

串行访问还是并行访问的选择

例题五

例题六

例题七

🔵 P1：（按行访问）

🔴 P2：（按列访问）

为什么一定会有miss?

为什么按行访问和按列访问的 Miss 不一样？

例题八

地址冲突

在正式解题之前，我们要先理解相关单位和基本概念，建立一个坚实的知识基础。

基本单位换算

这里我们要分清楚两个“进制体系”：

十进制单位（以1000为基准，常用于网络带宽等）
二进制单位（以1024为基准，常用于内存、缓存容量）

1. 十进制（以1000为基数）

中文	英文前缀	换算关系	表示意义
千	Kilo	1 K = 1000 = 10³	一千个单位
兆	Mega	1 M = 1000 K = 10⁶	一百万个单位
吉	Giga	1 G = 1000 M = 10⁹	十亿个单位

这种用法常见于：网络带宽（Mbps）、硬盘厂商标注容量等场景
比如：

1 Gbps = 1,000,000,000 bits（十亿位）

2. 二进制（以1024为基数）👉 更常用于内存、缓存

中文	英文缩写	换算关系	二进制指数表示
千字节	KB	1 KB = 1024 Bytes	2¹⁰ Bytes
兆字节	MB	1 MB = 1024 KB = 2²⁰ B
吉字节	GB	1 GB = 1024 MB = 2³⁰ B

这种定义广泛用于计算机系统、操作系统、编译器、主存/缓存等
比如：

1 MB = 1,048,576 Bytes （而不是 1,000,000）

位（bit）和字节（Byte）

单位	英文	大小关系	注释
位	bit	最小单位	可取 0 或 1
字节	Byte	1 Byte = 8 bits	一个 ASCII 字符通常是 1 Byte

📏 容量单位（Capacity Units）

单位（中文）	单位（英文）	十进制定义	二进制定义
千字节	Kilobyte (KB)	1 KB = 1000 Bytes	1 KB = 2¹⁰ = 1024 Bytes
兆字节	Megabyte (MB)	1 MB = 1000 KB	1 MB = 2²⁰ = 1,048,576 Bytes
吉字节	Gigabyte (GB)	1 GB = 1000 MB	1 GB = 2³⁰ = 1,073,741,824 Bytes
字节	Byte (B)	1 Byte = 8 bits	-
位	Bit (bit)	最小的信息单位	-

例题一

📘 1. 物理地址（PA, Physical Address）

物理地址是CPU发出访问内存的真实地址。以**位数（bits）**表示其寻址范围：

若物理地址有 n 位，则最大可寻址空间为 2ⁿ Bytes。

📘 2. 主存大小（MM Size）

题目给出 MM Size = 4GB，也就是：

4 GB = 4 × 2³⁰ B = 2² × 2³⁰ = 2³² Bytes
=> 所以物理地址长度 PA = 32 bits

📘 3. 块大小（Block Size）

每次从内存载入Cache的一单位是一个块（Block）：

题目中：Block Size = 4 KB = 2¹² Bytes
所以：一个Block中的 Block Offset 需要 12 bits 来寻址

📘 4. 缓存大小（Cache Size）

Cache的总容量为：1 MB = 2²⁰ Bytes

因为每个Block为2¹² Bytes，所以Cache中可以容纳的Block数为：

Number of Blocks in Cache = 2²⁰ Bytes / 2¹² Bytes = 2⁸ Blocks
=> Index 位数 = 8 bits

📘 5. 直接映射（Direct Mapping）

在直接映射结构中，一个内存块只能映射到Cache中的某一个固定位置：

物理地址 PA 被划分为三个字段：

[ Tag | Index | Block Offset ]

PA Bits Split（物理地址位分割）

我们已经有：

总物理地址位数 = 32 bits
Block Offset = 12 bits（由 Block Size 决定）
Index = 8 bits（由 Cache block 数量决定）
所以剩下的是：Tag = 32 - 8 - 12 = 12 bits

字段（中文）	字段（英文）	位数（bits）	来源说明
标签位	Tag Bits	12 bits	PA剩余位
索引位	Index Bits	8 bits	2⁸ 个block
块内偏移	Block Offset	12 bits	4 KB block

📁 Tag Directory（标签目录）是什么？

标签目录是缓存中用于记录哪个主存块现在存放在 Cache 的哪个行的标签表。

它确实是“按 cache 行组织”的，也就是：

每一个 Cache Line（缓存行），都对应一条 Tag Directory 的记录！

我们记录的是，当前每个 Cache Line 对应的 Memory Block 的 Tag。

更严谨一点说：

主存块数 >> Cache 行数
所以多个主存块可能映射到同一个 Cache Line
为了区分是谁占了这个 Cache Line，就要存下那个主存块的 “Tag”

每一条记录通常包含：

Tag（标签）：用来标识当前Cache Block对应的内存块
Valid Bit（有效位）：表示该块是否有效
（可选）Dirty Bit（脏位）：在写回法中表示是否被修改

🔸 本题只要求考虑 Tag 本身，忽略 Valid/Dirty 位。

📐 Tag Directory 的大小计算方法

步骤一：计算 Cache 行数（即 Cache lines）

每行存一个 Block：

Cache lines = Cache size / Block size= 2²⁰ / 2¹²= 2⁸

所以 Cache 有 256 行（2⁸）

步骤二：Tag 位数计算

物理地址总长：32 bits
Block Offset = 12 bits（由块大小决定）
Index = 8 bits（由 Cache 行数决定）

Tag 位数 = 32 - Index - Block Offset= 32 - 8 - 12= 12 bits

步骤三：Tag Directory 大小

只记录 Tag 位（不考虑 Valid/Dirty）：

Tag Directory size = Number of cache lines × Tag bits= 2⁸ × 12 bits= 256 × 12 = 3072 bits= 384 Bytes

例题二

因为 Block Size = Line Size，你可以直接用下面这个公式算：

Tag 位数 = log₂(MM Size / Cache Size)

因为由MM Size : Cache Size 的值，我们可以知道映射到Cache某一行（line）的有多少块（Block）。

上图的实例表明，4个块映射到同一行。

例题三

例题四

一个直接映射缓存（Direct Mapped Cache）大小为 1MB，块大小为256字节（Bytes）。

缓存命中时的访问时间是 3纳秒（ns）。
缓存命中率为 94%。
当发生缓存未命中（miss）时：
- 第一个字从主存中传输需要 20ns
- 其余每个字的传输时间为 5ns/字
一个字（Word）的大小是 64位 = 8字节

问题：求平均内存访问时间（Average Memory Access Time, AMAT），精确到小数点后1位。

串行访问还是并行访问的选择

在计算主存访问时间时，如果题目中给出的是：

“first word takes X ns”
“each subsequent word takes Y ns”

就要问自己：

❓ 是并行加载所有字，还是一个接一个串行加载？

这道题的正确思路是：

🔸 这是串行传输（Serial Transfer）！

理由如下：

题目中明确说：
- 第一字传输用 20ns
- 后续每字用 5ns
如果是并行传输，那就应该是一次性所有字只用最长那个时间。但这里强调“每个”说明是串行！

关于这方面（串行访问与并行访问）的具体内容，可以在这篇文章中查看：

计算机组成与体系结构：内存接口（Memory Interface）-CSDN博客

例题五

例题六

例题七

一台 CPU 配备了一个32KB大小的直接映射（Direct-Mapped）缓存，块大小为128字节。
现在有一个二维数组 A，尺寸是512 × 512，每个元素占用8字节。

考虑下面两个独立执行的 C 代码段 P1 和 P2：

P1：按行优先（row-major）顺序访问数组。

P2：按列优先（column-major）顺序访问数组。

初始条件： A数组一开始不在缓存中，i、j、x 都在寄存器中。

问题：

执行P1时，缓存未命中次数记为 M1。执行P2时，缓存未命中次数记为 M2。

计算并选择 M1/M2 的值

一个 Cache Block 可存储：

128 Bytes / 8 Bytes per element = 16 elements

即一个块可以装下连续16个元素（在内存中连续的）。

🔵 P1：（按行访问）

特点：

内存是行优先存储（Row-Major），
A[i][j] 和 A[i][j+1] 在内存中是连续的。
一个 Cache Block 可以放下 16 个元素。

一次 miss 后，可以利用的连续缓存：

第一次访问 A[i][0]：miss
然后 A[i][1] ~ A[i][15]：全是 hit！（因为它们都在同一个缓存块中）
直到访问到 A[i][16]，再 miss。

所以：
每访问 16 个元素只 miss 1 次

每一行有 512 个元素，划分成：512 / 16 = 32块

每一行就有 32 次 miss。

M1 = 512 × 32 = 16,384 次

🔴 P2：（按列访问）

特点：

列优先访问，但是内存按行优先存储。
A[j][i] 与 A[j+1][i] 在内存中不连续。
A[0][i] 和 A[1][i] 分别在不同的行，相隔 512×8=4096 Bytes。
它们肯定不在同一个 Cache Block。

所以：

每访问一个元素 A[j][i]，都会导致一次 miss！
因为访问的是不同缓存块（地址跳得太大），缓存局部性被破坏了。

全局总miss：

总访问次数 = 512 × 512 = 262,144 次
每次都 miss

所以：

M2 = 262,144 次

为什么一定会有miss?

实际上 miss 并不是一定存在的，它取决于当时 Cache 里的数据和你访问的数据是不是吻合。

但是，在某些特定情况下，一开始访问必然会miss，比如：

特别情况：

题目明确说了："数组A一开始不在缓存中"。
所以当我们第一次访问数组A的任意元素时，必然miss！
后续如果继续访问已经加载到Cache里的数据，就可能hit。

为什么按行访问和按列访问的 Miss 不一样？

这要结合访问方式来看：

在按行访问（P1）时：

因为元素在内存中是连续的。
一个 Cache Block 可以放 16 个元素。
第一个元素 miss，后面 15 个元素 hit（空间局部性好）。
所以不是每次访问都 miss，每16个元素只miss 1次。

在按列访问（P2）时：

访问顺序是跳着走的：
- A[0][i] → A[1][i] → A[2][i] ……
每次跳跃4096 Bytes（因为数组按行存，每行512×8=4096 Bytes）。
跳得太远，Cache块根本无法覆盖这么远的跨度。
而且是直接映射缓存，不同地址很容易映射到同一个Cache行，导致原来装的数据被替换掉。

因此在列访问中：

每次访问基本都是新的块，所以每次访问都会miss！

例题八

考虑一台主存为 2^16 字节、按字节寻址（byte-addressable）的计算机。
系统中使用一个直接映射（Direct Mapped）数据缓存，缓存由32行（lines）组成，每行大小为64字节。

有一个大小为 50×50 的二维字节数组，存储在主存中，从地址 1100H（十六进制）开始。

假设：

数据缓存初始为空。
完整访问这个数组两遍。
在两次访问之间，缓存内容不会变化（不会刷新）。

问题：

i. 访问两遍数组，总共有多少次缓存未命中（Cache Miss）？
选项：

(A) 40
(B) 50
(C) 56
(D) 59

ii. 在第二次访问数组时，会替换缓存中哪些行？
选项：

(A) line 4 到 line 11
(B) line 4 到 line 12
(C) line 0 到 line 7
(D) line 0 到 line 8

基础参数

第一次访问：

从地址1100H 开始，依次访问 2500个元素。

因为一个 Cache Block 装64个字节，

向上取整 → 需要 40个块（因为最后一块可能不满，但仍然需要加载）。

所以第一次访问会造成 40次miss（每次加载一个新的缓存块）。

地址冲突

第二次访问：

由于"缓存内容不会变化"，所以如果之前访问的数据仍然在 Cache 中，就不会miss。
但是！因为是直接映射，地址冲突可能导致 Cache Line 被替换！

直接映射例题及解析

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transformers 核心源码梳理 Trainer部分： __init__() 初始化函数： def __init__(xxx):if args is None:output_dir "tmp_trainer"args TrainingArguments(output_diroutput_dir) self.args argsself.compute_loss_func compute_loss_fun…...

编程日记 2025/5/29 5:22:24

蛮荒tv桌面永不升级版app下载-蛮荒桌面安卓电视版下载

蛮荒桌面是一款具有丰富桌面内容的生活应用软件，可以连接电视上使用，用户将需要的软件添加到桌面上，系统就会自动分类管理软件,小编今天为大家推荐一款功能更大强大的电视桌面应用——乐看家桌面。乐看家桌面功能亮点: 1.官网下载刷入机顶盒…...

编程日记 2025/5/28 8:37:52

2025蓝桥省赛c++B组第二场题解

前言这场的题目非常的简单啊，至于为什么有第二场，因为当时河北正在刮大风被迫停止了QwQ，个人感觉是历年来最简单的一场，如果有什么不足之处，还望补充。试题 A: 密密摆放【问题描述】小蓝有一个大箱子&#xff0…...

编程日记 2025/6/1 7:13:59

c#简易超市充值卡程序充值消费查余额

开发背景本软件是给克什克腾旗某公司开发的一个简易的超市充值卡程序 # 功能 1、充值卡的充值、消费、查询余额 github下载：https://github.com/oyangxizhe/cash.git...

编程日记 2025/5/11 6:13:08

使用FME生成Delaunay三角形

目录背景与应用场景前置条件与数据准备操作流程详解 3.1 点要素矢量化3.2 设置坐标系3.3 生成Delaunay三角形...

编程日记 2025/6/2 15:42:14

三款实用工具推荐：图片无损放大+音乐格式转换+音视频格式转换！

在这个数字化时代，总有些工具能让人眼前一亮。今天李师傅大家精选三款实用工具，从图片优化到格式转换，解决日常创作中的痛点，让数字生活更得心应手。在这个数字化时代，总有些工具能让人眼前一亮。今天为大家精选三款…...

编程日记 2025/6/3 13:14:57

文本预处理（NLTK）

1. 自然语言处理基础概念 1.1 什么是自然语言处理自然语言处理( Natural Language Processing, NLP)是计算机科学领域与人工智能领域中的一个重要方向。它研究能实现人与计算机之间用自然语言进行有效通信的各种理论和方法。自然语言处理是一门融语言学、计算机科学、数学于…...

编程日记 2025/6/3 8:03:50

泰迪杯实战案例学习资料：生产线的故障自动识别和人员配置优化

（西南石油大学，第十二届泰迪杯特等奖案例）（深度扩展版）一、案例背景与目标 1.1 问题背景在制造业中，生产线设备故障可能导致以下问题：停机损失：每小时停机成本可达数万元（视行业而定）。资源浪费：人工排班不合理导致高技能员工闲置或低效分配。安全隐患：未及…...

编程日记 2025/6/1 14:55:32

dijkstra

open_set是当前正在计算的节点； 每次从当前open_set集合中找出cost最小的节点进行计算更新：从open_set中去除该节点，保存到close_set中； 运动更新可以根据运动模型选择合适的节点运动方式； 【代价的计算方式是&…...

编程日记 2025/5/28 16:44:05

【SSH 端口转发】通过SSH端口转发实现访问远程服务器的 tensorboard

SSH 连接远程服务器时的命令： ssh -L 8001:localhost:8001 usrnameserverip-L： 这是指定进行本地端口转发的选项。也就是说，要将本地机器的一个端口通过 SSH 隧道转发到远程服务器上的某个服务。 8001:localhost:8001： 第一个 80…...

编程日记 2025/6/3 14:01:19

基本单位换算

例题一

📁 Tag Directory（标签目录） 是什么？

例题二

例题三

例题四

串行访问还是并行访问的选择

例题五

例题六

例题七

🔵 P1：（按行访问）

🔴 P2：（按列访问）

为什么一定会有miss?

为什么按行访问和按列访问的 Miss 不一样？

例题八

地址冲突

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📁 Tag Directory（标签目录）是什么？