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[OpenGL] Lambertian材质漫反射BRDF方程的解释与推导

news 来源：原创 2025/7/19 0:07:14

一、简介

本文简单的介绍了 Physical Based Rendering, PBR 中的 Lambertian 材质漫反射BRDF公式 f r l a m b e r t i a n = c d i f f π fr_{lambertian}=\frac{c_{diff}}{\pi} frlambertian​=πcdiff​​的推导。

二、漫反射项

根据 渲染方程：
L o ( v ) = ∫ Ω f r ( l , v ) L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l (1) Lo(v) = \int_{\Omega}fr(l,v)Li(l)*(n\cdot l) dl \tag{1} Lo(v)=∫Ω​fr(l,v)Li(l)∗(n⋅l)dl(1)
其中的 BRDF 函数 f r ( l , v ) fr(l,v) fr(l,v) 定义如下：
f r ( l , v ) = k d ∗ f r l a m b e r t ( l , v ) + k s ∗ f r s p e c u l a r ( l , v ) (2) fr(l,v) = k_d * fr_{lambert}(l,v) + k_s*fr_{specular}(l,v)\tag{2} fr(l,v)=kd​∗frlambert​(l,v)+ks​∗frspecular​(l,v)(2)
其中 k d k_d kd​ 为漫反射的比例， f r l a m b e r t fr_{lambert} frlambert​为漫反射中的 BRDF 函数定义如下：
f r l a m b e r t = c d i f f π (3) fr_{lambert} = \frac{c_{diff}}{\pi} \tag{3} frlambert​=πcdiff​​(3)
其中 c d i f f c_{diff} cdiff​ 为描述材质属性的漫反射颜⾊（diffuse） c d i f f c_{diff} cdiff​ ，或者反照率（albedo） ρ \rho ρ。本文接下来介绍什么是 Lambertian 表面，为什么 Lambertian 材质的漫反射BRDF 公式如公式(3) 所示。

1. Lambert 表面

Lambertian 材质是指那种理想的完全漫反射表面，从任何观察方向看去，它反射的亮度都是一致的。即，不论外界的光照如何，Lambertian 材质满足以下公式：
L o ( v ) = ∫ Ω f r l a m b e r t i a n ( l , v ) ( n ⋅ l ) d l = L o c (4) Lo(v) = \int_{\Omega}fr_{lambertian}(l,v)(n\cdot l)\ dl = Lo_{c} \tag{4} Lo(v)=∫Ω​frlambertian​(l,v)(n⋅l) dl=Loc​(4)
不管视线向量 v v v 如何变化（需要保证在材质的上半球内），其出射的 radiance L o ( v ) Lo(v) Lo(v) 恒等于定值 L o c Lo_{c} Loc​。

2. 漫反射公式解释

2.1 反照率 albedo

Lambertian BRDF 的恒定反射率通常被称为漫反射颜⾊（diffuse） c d i f f c_{diff} cdiff​ ，或者反照率（albedo） ρ \rho ρ。反照率 ρ \rho ρ描述了目标表面反射的辐射通量 Φ o u t \Phi_{out} Φout​与入射的辐射通量 Φ i n \Phi_{in} Φin​ 之比。定义如下：
c d i f f = ρ = Φ o u t Φ i n (5) c_{diff} = \rho = \frac{\Phi_{out}}{\Phi_{in}} \tag{5} cdiff​=ρ=Φin​Φout​​(5)

2.2 能量守恒定律

根据能量守恒定理定律，应该有：
c d i f f = ρ = Φ o u t Φ i n ≤ 1.0 (6) c_{diff} = \rho = \frac{\Phi_{out}}{\Phi_{in}} \le 1.0 \tag{6} cdiff​=ρ=Φin​Φout​​≤1.0(6)

2.3 漫反射 BRDF 函数推导

接下来我们将基于以下假设和定义，推导得到 漫反射 BRDF 的渲染公式(3)。

2.3.1 已知信息
  1. 漫反射BRDF满足渲染方程： L o ( v ) = ∫ f r l a m b e r t i a n ( l , v ) ∗ L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l Lo(v)=\int{fr_{lambertian}(l,v)*Li(l)*(n\cdot l)\ dl} Lo(v)=∫frlambertian​(l,v)∗Li(l)∗(n⋅l) dl。
  2. 对于 Lambertian 材质， f r l a m b e r t i a n ( l , v ) fr_{lambertian}(l,v) frlambertian​(l,v) 与 v v v 和 l l l 无关，即 f r l a m b e r t i a n ( l , v ) fr_{lambertian}(l,v) frlambertian​(l,v) 是定值 f r c fr_{c} frc​ 。那么根据渲染方程，不管如何光照 L i ( l ) Li(l) Li(l) 如何分布，任意出射方向的 L o ( v ) Lo(v) Lo(v) 也都相等。
  3. 对于 Lambertian 材质，假设其没有自发光，满足能量守恒定理，即： c d i f f = ρ = Φ o u t Φ i n ≤ 1.0 c_{diff} = \rho = \frac{\Phi_{out}}{\Phi_{in}} \le 1.0 cdiff​=ρ=Φin​Φout​​≤1.0。
  4. 目标表面的入射/出射辐射通量/功率（Radiant flux/Power） Φ i n \Phi_{in} Φin​、 Φ o u t \Phi_{out} Φout​ 的计算公式如下：
    Φ i n t = ∫ Ω L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l d A Φ o u t = ∫ Ω L o ( v ) ∗ ( n ⋅ v ) d v d A \Phi_{int} = \int_{\Omega} Li(l)*(n\cdot l) dl\ dA \\ \Phi_{out} = \int_{\Omega} Lo(v)*(n\cdot v) dv\ dA Φint​=∫Ω​Li(l)∗(n⋅l)dl dAΦout​=∫Ω​Lo(v)∗(n⋅v)dv dA
  5. 假设目标表面为 Lambertian 材质，即只有漫反射，没有镜面反射也没有自发光。
  6. 假设目标表面的面积为 A A A。
  7. 假设目标表面的漫反射颜色（反照率）为 c d i f f c_{diff} cdiff​，即 c d i f f = Φ o u t Φ i n c_{diff} = \frac{\Phi_{out}}{\Phi_{in}} cdiff​=Φin​Φout​​。

接下来本文将根据以上已知信息推导目标 BRDF 函数 f r l a m b e r t i a n ( l , v ) = f r c = ? fr_{lambertian}(l,v)=fr_{c}=? frlambertian​(l,v)=frc​=?：

2.3.2 推导过程

根据辐射通量/功率（Radiant flux/Power） Φ \Phi Φ 的计算公式
Φ = ∫ Ω L ( w ) ∗ ( n ⋅ w ) d w d A \Phi = \int_{\Omega} L(w)*(n\cdot w) dw\ dA Φ=∫Ω​L(w)∗(n⋅w)dw dA
可以得到目标表面的总出射辐射通量 Φ o u t \Phi_{out} Φout​ 为
Φ o u t = ∫ Ω L o ( v ) ∗ ( n ⋅ v ) d v d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 L o ( v ) ∗ c o s ( θ ) ∗ s i n ( θ ) d θ d ϕ d A \Phi_{out} = \int_{\Omega} Lo(v)*(n\cdot v) dv\ dA \\ = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} Lo(v)*cos(\theta)*sin(\theta) d{\theta}d{\phi}\ dA Φout​=∫Ω​Lo(v)∗(n⋅v)dv dA=∫02π​∫0π/2​Lo(v)∗cos(θ)∗sin(θ)dθdϕ dA
又因为对于 Lambertian 材质，任意出射方向的 L o ( v ) Lo(v) Lo(v) 都相等，并且目标表面的面积为 A A A，因此有：
Φ o u t = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 L o ( v ) ∗ c o s ( θ ) ∗ s i n ( θ ) d θ d ϕ d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 L o c ∗ c o s ( θ ) ∗ s i n ( θ ) d θ d ϕ d A = L o c ∗ ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 c o s ( θ ) ∗ s i n ( θ ) d θ d ϕ ∗ A = L o c ∗ π ∗ A (7) \Phi_{out} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} Lo(v)*cos(\theta)*sin(\theta)\ d{\theta}d{\phi}\ dA \\ = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} Lo_{c}*cos(\theta)*sin(\theta)\ d{\theta}\ d{\phi}\ dA \\ = Lo_{c} * \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} cos(\theta)*sin(\theta)\ d{\theta}\ d{\phi}\ * A \\ = Lo_{c}*\pi*A \tag{7} Φout​=∫02π​∫0π/2​Lo(v)∗cos(θ)∗sin(θ) dθdϕ dA=∫02π​∫0π/2​Loc​∗cos(θ)∗sin(θ) dθ dϕ dA=Loc​∗∫02π​∫0π/2​cos(θ)∗sin(θ) dθ dϕ ∗A=Loc​∗π∗A(7)
那么
L o c = Φ o u t π ∗ A (8) Lo_{c} = \frac{\Phi_{out}}{\pi*A} \tag{8} Loc​=π∗AΦout​​(8)
同理可以得到目标表面的总入射辐射通量 Φ i n \Phi_{in} Φin​为：
Φ i n = ∫ Ω L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l d A = ∫ Ω L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l ∗ A (9) \Phi_{in} = \int_{\Omega} Li(l)*(n\cdot l)\ dl\ dA \\ = \int_{\Omega} Li(l)*(n\cdot l)\ dl * A \tag{9} Φin​=∫Ω​Li(l)∗(n⋅l) dl dA=∫Ω​Li(l)∗(n⋅l) dl∗A(9)
那么就有：
Φ i n A = ∫ Ω L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l (10) \frac{\Phi_{in}}{A} = \int_{\Omega} Li(l)*(n\cdot l)\ dl \tag{10} AΦin​​=∫Ω​Li(l)∗(n⋅l) dl(10)
根据渲染方程，我们可以得到：
L o c = L o ( v ) = ∫ Ω f r l a m b e r t i a n ( l , v ) ∗ L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l Lo_{c} = Lo(v) = \int_{\Omega} fr_{lambertian}(l,v)*Li(l)*(n\cdot l)\ dl Loc​=Lo(v)=∫Ω​frlambertian​(l,v)∗Li(l)∗(n⋅l) dl
因为 f r l a m b e r t i a n ( l , v ) fr_{lambertian}(l,v) frlambertian​(l,v) 为定值 f r c fr_{c} frc​ ，那么就有：
L o c = L o ( v ) = ∫ Ω f r l a m b e r t i a n ( l , v ) ∗ L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l = f r c ∗ ∫ Ω L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l (11) Lo_{c} = Lo(v) = \int_{\Omega} fr_{lambertian}(l,v)*Li(l)*(n\cdot l)\ dl \\ = fr_c * \int_{\Omega} Li(l)*(n\cdot l)\ dl \tag{11} Loc​=Lo(v)=∫Ω​frlambertian​(l,v)∗Li(l)∗(n⋅l) dl=frc​∗∫Ω​Li(l)∗(n⋅l) dl(11)
将公式(10)代入公式(11)可以得到：
L o c = L o ( v ) = f r c ∗ ∫ Ω L i ( l ) ∗ ( n ⋅ l ) d l = f r c ∗ Φ i n A (12) Lo_{c} = Lo(v) = fr_c * \int_{\Omega} Li(l)*(n\cdot l)\ dl \\ = fr_c * \frac{\Phi_{in}}{A} \tag{12} Loc​=Lo(v)=frc​∗∫Ω​Li(l)∗(n⋅l) dl=frc​∗AΦin​​(12)
又因为根据公式(8)， L o c = Φ o u t / ( π ∗ A ) Lo_{c} = \Phi_{out}/{(\pi*A)} Loc​=Φout​/(π∗A)，那么
L o c = f r c ∗ Φ i n A = Φ o u t π ∗ A (13) Lo_c = fr_c * \frac{\Phi_{in}}{A} = \frac{\Phi_{out}}{\pi*A} \tag{13} Loc​=frc​∗AΦin​​=π∗AΦout​​(13)
又因为 c d i f f = Φ o u t / Φ i n c_{diff} = \Phi_{out}/\Phi_{in} cdiff​=Φout​/Φin​，那么可以得到：
f r c = Φ o u t π ∗ Φ i n = c d i f f π (14) fr_c = \frac{\Phi_{out}}{\pi*\Phi_{in}} = \frac{c_{diff}}{\pi} \tag{14} frc​=π∗Φin​Φout​​=πcdiff​​(14)
即：
f r L a m b e r t i a n ( l , v ) = f r c = Φ o u t π ∗ Φ i n = c d i f f π (14) fr_{Lambertian}(l,v) = fr_c = \frac{\Phi_{out}}{\pi*\Phi_{in}} = \frac{c_{diff}}{\pi} \tag{14} frLambertian​(l,v)=frc​=π∗Φin​Φout​​=πcdiff​​(14)
至此，我们得到了 Lambertian 材质的 漫反射 BRDF 公式 f r l a m b e r t i a n ( l , v ) = c d i f f π fr_{lambertian}(l,v)=\frac{c_{diff}}{\pi} frlambertian​(l,v)=πcdiff​​.

三、参考引用

[1].Real-Time Rendering, 4th Edition-Chapter 9 Physically Based Shading
[2].Background: Physics and Math of Shading

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[创业之路-380]：企业法务 - 企业经营中，企业为什么会虚开増值税发票？哪些是虚开増值税发票的行为？示例？风险？

一、动机与风险 1、企业虚开增值税发票的动机 利益驱动 骗抵税款&#xff1a;通过虚开发票虚增进项税额&#xff0c;减少应纳税额&#xff0c;降低税负。公司套取国家的利益。非法套现&#xff1a;虚构交易开具发票&#xff0c;将资金从公司账户转移至个人账户&#xff0c;用…...

编程日记 2025/7/15 11:55:22

嵌入式：ARM公司发展史与核心技术演进

一、发展历程&#xff1a;从Acorn到全球算力基石 1. ​起源&#xff08;1978-1990&#xff09;​ 1978年​&#xff1a;奥地利物理学家Hermann Hauser与工程师Chris Curry创立剑桥处理器公司&#xff08;CPU Ltd.&#xff09;&#xff0c;后更名为**艾康电脑&#xff08;Acor…...

编程日记 2025/6/29 12:12:20

ubuntu的各种工具配置

1.nfs&#xff1a;虚拟机桥接模式下&#xff0c;开发板和虚拟机保持在同一网段下&#xff0c;开发板不要直连电脑 挂载命令&#xff1a;mount -v -t nfs 192.168.110.154:/home/lhj /mnt -o nolock (1) 安装 NFS 服务器 sudo apt update sudo apt install nfs-kernel-server -y…...

编程日记 2025/6/29 10:07:04

Go 剥离 HTML 标签的三把「瑞士军刀」——从正则到 Bluemonday

1 为什么要「剥皮」&#xff1f; 安全&#xff1a;去掉潜在的 <script onload…> 等恶意标签&#xff0c;防止存储型 XSS。可读性&#xff1a;日志、消息队列、搜索索引里往往只需要纯文本。一致性&#xff1a;不同富文本编辑器生成的 HTML 五花八门&#xff0c;统一成「…...

编程日记 2025/7/7 12:51:11

【Java面试笔记：基础】6.动态代理是基于什么原理？

1. 反射机制 定义&#xff1a;反射是 Java 语言提供的一种基础功能&#xff0c;允许程序在运行时自省&#xff08;introspect&#xff09;&#xff0c;直接操作类或对象。功能&#xff1a; 获取类定义、属性和方法。调用方法或构造对象。运行时修改类定义。 应用场景&#xff…...

编程日记 2025/6/29 12:19:41

docker容器中uv的使用

文章目录 TL;DRuv简介uv管理项目依赖step 1step 2WindowsLinux/Mac step 3依赖包恢复 在Docker容器中使用uv TL;DR 本文记录uv在docker容器中使用注意点, uv简介 uv是用rust编写的一个python包管理器&#xff0c;特点是速度快&#xff0c;且功能强大&#xff0c;目标是替代p…...

编程日记 2025/6/29 11:38:14

分部积分选取u、v的核心是什么？

分部积分选取u、v的核心是什么&#xff1f;是反对幂指三吗&#xff1f; 不全是&#xff0c;其实核心是&#xff1a;v要比u更容易积分&#xff0c;也就是更容易求得原函数&#xff0c;来看一道例题&#xff1a;...

编程日记 2025/6/29 9:35:18

Android Studio调试中的坑二

下载新的Android studio Meerkat后&#xff0c;打开发现始终无法更新对应的SDK&#xff0c;连Android 15的SDK也无法在SDK Manger中显示出来&#xff0c;但是Meerkat必须要使用新版本SDK。 Android studio下载地址 命令行工具 | Android Studio | Android Developers 解决…...

编程日记 2025/6/29 9:55:56

【Redis】缓存三剑客问题实践（上）

本篇对缓存三剑客问题进行介绍和解决方案说明&#xff0c;下篇将进行实践&#xff0c;有需要的同学可以跳转下篇查看实践篇&#xff1a;&#xff08;待发布&#xff09; 缓存三剑客是什么&#xff1f; 缓存三剑客指的是在分布式系统下使用缓存技术最常见的三类典型问题。它们分…...

编程日记 2025/6/29 12:23:00

2025年4月22日（平滑）

在学术和工程语境中&#xff0c;表达“平滑”需根据具体含义选择术语。以下是专业场景下的精准翻译及用法解析&#xff1a; 1. 数学/信号处理中的「平滑」&#xff08;消除噪声&#xff09; Smooth (verb/noun/adjective) “Apply a Gaussian filter to smooth the noisy signa…...

编程日记 2025/6/29 12:15:24

给vue-admin-template菜单栏 sidebar-item 添加消息提示

<el-badge :value"200" :max"99" class"item"><el-button size"small">评论</el-button> </el-badge> <!-- 在 SidebarItem.vue 中 --> <template><div v-if"!item.hidden" class&q…...

编程日记 2025/6/29 11:43:38

C++（初阶）（十二）——stack和queue

十二&#xff0c;stack和queue 十二&#xff0c;stack和queueStackQueuepriority_queue 简单使用模拟实现deque Stack 函数说明stack()构造空栈empty()判断栈是否为空size()返回栈的有效元素个数top()返会栈顶元素的引用push()将所给元素val压入栈中pop()将栈的尾部元素弹出 …...

编程日记 2025/6/29 11:50:27

数据采集：AI 发展的基石与驱动力

人工智能&#xff08;AI&#xff09;无疑是最具变革性的技术力量之一&#xff0c;正以惊人的速度重塑着各行各业的格局。从智能语音助手到自动驾驶汽车&#xff0c;从精准的医疗诊断到个性化的推荐系统&#xff0c;AI 的广泛应用已深刻融入人们的日常生活与工作的各个层面。而在…...

编程日记 2025/7/15 2:59:41

Kubernetes Docker 部署达梦8数据库

Kubernetes & Docker 部署达梦8数据库 一、达梦镜像获取 目前达梦官方暂未在公共镜像仓库提供Docker镜像&#xff0c;需通过达梦官网联系获取官方镜像包。 二、Kubernetes部署方案 部署配置文件示例 apiVersion: apps/v1 kind: Deployment metadata:labels:app: dm8na…...

编程日记 2025/6/29 9:35:23

宏碁笔记本电脑怎样开启/关闭触摸板

使用快捷键&#xff1a;大多数宏碁笔记本可以使用 “FnF7” 或 “FnF8” 组合键来开启或关闭触摸板&#xff0c;部分型号可能是 “FnF2”“FnF9” 等。如果不确定&#xff0c;可以查看键盘上的功能键图标&#xff0c;一般有触摸板图案的按键就是触摸板的快捷键。通过设备管理器…...

编程日记 2025/6/29 12:15:14

计算机组成与体系结构：缓存（Cache）

目录 为什么需要 Cache&#xff1f; &#x1f9f1; Cache 的分层设计 &#x1f539; Level 1 Cache&#xff08;L1 Cache&#xff09;一级缓存 &#x1f539; Level 2 Cache&#xff08;L2 Cache&#xff09;二级缓存 &#x1f539; Level 3 Cache&#xff08;L3 Cache&am…...

编程日记 2025/7/14 12:09:48

【VS Code】打开远程服务器Docker项目或文件夹

1、配置SSH连接 在VS Code中&#xff0c;按CtrlShiftP打开命令面板。 输入并选择Remote-SSH: Connect to Host...。 输入远程服务器的SSH地址&#xff08;例如userhostname或userip_address&#xff09;。 如果这是您第一次连接到该主机&#xff0c;VS Code可能会要求您配置…...

编程日记 2025/6/29 10:04:51