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NO.96十六届蓝桥杯备战|图论基础-多源最短路|Floyd|Clear And Present Danger|灾后重建|无向图的最小环问题(C++)

news 来源：原创 2025/8/22 4:58:13

多源最短路：即图中每对顶点间的最短路径
![[Pasted image 20250417140843.png]]

floyd算法本质是动态规划，⽤来求任意两个结点之间的最短路，也称插点法。通过不断在两点之间加⼊新的点，来更新最短路。
适⽤于任何图，不管有向⽆向，边权正负，但是最短路必须存在（也就是不存在负环）。

状态表⽰： f[k][i][j] 表⽰：仅仅经过 [1, k] 这些点，结点 i ⾛到结点 j 的最短路径的⻓度。
状态转移⽅程：

第⼀种情况，不选新来的点： f[k][i][j] = f[k - 1][i][j] ；
第⼆种情况，选择新来的点： f[k][i][j] = f[k - 1][i][k] + f[k - 1][k][j]

空间优化：只会⽤到上⼀层的状态，因此可以优化到第⼀维。
初始化：

f[i][i] = 0 ；
f[i][j] 为初始状态下 i 到 j 的距离，如果没有边则为⽆穷。

填表顺序：

⼀定要先枚举 k ，再枚举 i 和 j 。因为我们填表的时候，需要依赖的是 k - 1 层的状态，因此 k 必须先枚举。

B3647 【模板】Floyd - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 110;int n, m;
int f[N][N];int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> n >> m;memset(f, 0x3f, sizeof f);for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][i] = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){int a, b, c; cin >> a >> b >> c;f[a][b] = f[b][a] = min(f[a][b], c);}//floydfor (int k = 1; k <= n; k++)for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++)cout << f[i][j] << " ";cout << endl;}return 0;
}

P2910 [USACO08OPEN] Clear And Present Danger S - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;const int N = 110, M = 1e4 + 10;int n, m;
int a[M];
int f[N][N];int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)cin >> f[i][j];for (int k = 1; k <= n; k++)for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);LL ret = 0;for (int i = 2; i <= m; i++){int x = a[i-1], y = a[i];ret += f[x][y];}cout << ret << endl;return 0;
}

P1119 灾后重建 - 洛谷

在floyd算法中，我们是⼀个点⼀个点加⼊到最短路的更新中，那么这道题其实就是限制了我们加点的时机。当从前往后遍历每次询问的时候，直到时间点在询问的时间t之前的点，都可以加⼊到最短路的更新中。
那么就可以⼀边读取询问，⼀边通过时间限制，更新最短路

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 210, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m;
int t[N];
int f[N][N];void floyd(int k)
{for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++)f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i++) cin >> t[i];memset(f, 0x3f, sizeof f);for (int i = 0; i < n; i++) f[i][i] = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){int a, b, c; cin >> a >> b >> c;f[a][b] = f[b][a] = min(f[a][b], c);}int Q; cin >> Q;int pos = 0;while (Q--){int a, b, c; cin >> a >> b >> c;while (pos < n && t[pos] <= c) floyd(pos++);if (t[a] > c || t[b] > c || f[a][b] == INF) cout << -1 << endl;else cout << f[a][b] << endl;}return 0;
}

P6175 无向图的最小环问题 - 洛谷

floyd算法的性质：

在计算第 k 层的时候， f[i][j] ⾥⾯存储着中转点为 [1, k - 1] 时的最短路。如果设环⾥的最⼤结点的编号为 k ，与k相邻的点为 i, j ，其中 i < k && j < k && i != j ：
那么我们在floyd算法循环到 k 的时候，这个环的最⼩⻓度为： f[i][j] + e[i][k] + e[j][k] 。
环的最⼤编号是任意的，因此在所有情况下取最⼩值即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 110, INF = 1e8;int n, m;
int e[N][N];
int f[N][N];int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> n >> m;//memset(e, 0x3f, sizeof e);//memset(f, 0x3f, sizeof f);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)f[i][j] = e[i][j] = INF;for (int i = 1; i <= n; i++) e[i][i] = f[i][i] = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){int a, b, c; cin >> a >> b >> c;e[a][b] = e[b][a] = f[a][b] = f[b][a] = min(e[a][b], c);}int ret = INF;for (int k = 1; k <= n; k++){//最小环for (int i = 1; i < k; i++)for (int j = i+1; j < k; j++)ret = min(ret, f[i][j] + e[i][k] + e[k][j]);//最短距离for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);}if (ret == INF) cout << "No solution." << endl;else cout << ret << endl;return 0;
}

NO.96十六届蓝桥杯备战|图论基础-多源最短路|Floyd|Clear And Present Danger|灾后重建|无向图的最小环问题(C++)

多源最短路：即图中每对顶点间的最短路径 floyd算法本质是动态规划，⽤来求任意两个结点之间的最短路，也称插点法。通过不断在两点之间加⼊新的点，来更新最短路。适⽤于任何图，不管有向⽆向，边权正负&…...

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第20篇：大模型伦理准则与监管趋势摘要随着人工智能（AI）技术的飞速发展，尤其是大模型（如GPT、PaLM等）在自然语言处理、图像生成等领域的广泛应用，AI伦理问题和监管挑战日益凸显。本文将梳理当…...

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线上教学平台（vuespringbootssmmysql）含文档PPT 该系统是一个在线教学平台，主要分为管理员和学员两个角色；管理员界面包含首页、交流中心、学员管理、资料类型管理、学习资料管理、交流论坛、我的收藏管理、留言板管理、考试管理…...

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Being-0：具有视觉-语言模型和模块化技能的人形机器人智体

25年3月来自北大、北京智源和 BeingBeyond 的论文“Being-0: A Humanoid Robotic Agent with Vision-Language Models and Modular Skills”。构建能够在现实世界具身任务中达到人类水平表现的自主机器人智体，是人形机器人研究的终极目标。近期，基于基…...

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Fiddler 进行断点测试：调试网络请求

目录一、什么是断点测试？ 二、Fiddler 的断点功能三、如何在 Fiddler 中设置断点？ 步骤 1：启动 Fiddler 步骤 2：启用断点步骤 3：捕获请求步骤 4：修改请求或响应四、案例：模拟登录失…...

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决策树：ID3,C4.5,CART树总结

树模型总结决策树部分重点关注分叉的指标，多叉还是单叉，处理离散还是连续值，剪枝方法，以及回归还是分类一、决策树 ID3(Iterative Dichotomiser 3) 、C4.5、CART决策树 ID3:确定分类规则判别指标、寻找能够最快速降低信息熵的方…...

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DDS信号发生器设计

一、基本概述 1.1 DDS简介 DDS信号发生器即直接数字频率合成（Direct Digital Frequency Synthesis，简称DDS）是一种利用数字技术生成信号的方法。它通过数字信号处理技术，将数字信号转换为模拟信号，从而生成高质量的正…...

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23黑马产品经理Day01

今天过了一遍23黑马产品经理的基础视频问题思考维度抓住核心用户为什么需要抓住核心用户？ 主要原因：用户越来越细分，保持市场竞争力，产品开发推广更聚焦做产品为什么要了解用户：了解用户的付费点，…...

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18-21源码剖析——Mybatis整体架构设计、核心组件调用关系、源码环境搭建

学习视频资料来源：https://www.bilibili.com/video/BV1R14y1W7yS 文章目录 1. 架构设计2. 核心组件及调用关系3. 源码环境搭建3.1 测试类3.2 实体类3.3 核心配置文件3.4 映射配置文件3.5 遇到的问题 1. 架构设计 Mybatis整体架构分为4层： 接口层&#…...

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东方潮流亮相广州益民艺术馆｜朋克编码“艺术家潮玩”系列开幕引爆热潮

4月15日，由我的宇宙旗下公司朋克编码携“艺术家潮玩”系列亮相广州白云益民艺术馆，标志着其全国文化推广计划正式启航。本次展览围绕“潮玩艺术东方文化”展开，融合传统文化与当代潮流，以年轻化方式赋能中国文化出海。展览现场潮…...

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充电宝项目：规则引擎Drools学习

文章目录规则引擎 Drools1 问题2 规则引擎概述2.1 规则引擎2.2 使用规则引擎的优势2.3 规则引擎应用场景2.4 Drools介绍 3 Drools入门案例3.1 创建springboot项目引入依赖3.2 添加Drools配置类3.4 创建实体类Order3.5 orderScore.drl3.6 编写测试类 4 Drools基础语法4.1 规则…...

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C++零基础实践教程文件输入输出

模块八：文件输入输出 (数据持久化) 在之前的模块中，我们学习了如何使用程序处理数据。然而，当程序结束运行时，这些数据通常会丢失。数据持久化 (Data Persistence) 指的是将程序中的数据存储到非易失性存储介质（如硬盘…...

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SpringAI+DeepSeek大模型应用开发——1 AI概述

AI领域常用词汇 LLM（LargeLanguage Model，大语言模型） 能理解和生成自然语言的巨型AI模型，通过海量文本训练。例子：GPT-4、Claude、DeepSeek、文心一言、通义干问。 G（Generative）生成式: 根据上…...

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数据中台进化史：从概念萌芽到价值变现的蜕变之路

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【Java学习笔记】运算符

运算符运算符的类型算数运算符赋值运算符关系运算符（比较哦啊运算符） 逻辑运算符三元运算符位运算符（需要二进制基础） 一、算数运算符运算符计算范例结果正号77-负号b11; -b-11加法9918-减法10-82*乘法7*856/除法9…...

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【python】OpenCV—Tracking（10.6）—People Counting

文章目录 1、功能描述2、代码实现3、效果展示4、完整代码5、涉及到的库函数6、参考来自更多有趣的代码示例，可参考【Programming】 1、功能描述借助 opencv-python，用 SSD 人形检测模型和质心跟踪方法实现对人群的计数基于质心的跟踪可以参考【pyt…...

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JavaSE学习（前端初体验）

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