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矩阵基础+矩阵转置+矩阵乘法+行列式与逆矩阵

news 来源：原创 2025/8/24 18:15:42

GPU渲染过程

矩阵

什么是矩阵（Matrix）

向量

（3，9，88）

点乘：计算向量夹角

叉乘：计算两个向量构成平面的法向量。

矩阵

矩阵有3行，2列，所以表示为M32

获取固定元素M22，表示获取第二行，第二列元素。

向量和矩阵

行矩阵

$M_{13}$ = $\begin{bmatrix} 3 &9 &88 \end{bmatrix}$

列矩阵

$M_{31}$ = $\begin{bmatrix} 3\\ 9\\ 88 \end{bmatrix}$

矩阵实际上是一个数组存储（2维数组），向量也是一个数组（1维数组）

矩阵是有行（Row）和列（Column）之分

矩阵转置（行变列，列变行）

例：M= $\begin{bmatrix} 2 &3 \\ -8 &22 \\ 0& 7 \end{bmatrix}$ 转置后 $M^{T}$ = $\begin{bmatrix} 2 &-8 &0 \\ 3& 22& 7 \end{bmatrix}$

矩阵乘法

矩阵和标量的乘法：矩阵的每个分量，乘以标量

例： $M_{33}$ = $\begin{bmatrix} M_{11}& M_{12} & M_{13} \\ M_{21}& M_{22} & M_{23} \\ M_{31}& M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}$ M*X= $\begin{bmatrix} M_{11}*X& M_{12}*X & M_{13}*X \\ M_{21}*X& M_{22}*X & M_{23}*X \\ M_{31}*X& M_{32}*X & M_{33}*X \end{bmatrix}$

矩阵和矩阵乘法

限制条件：乘号左边的矩阵列数=乘号右边的矩阵行数

矩阵相乘得出的矩阵：左边矩阵的行数x右边矩阵的列数（ $M_{43}$ x $M_{35}$ = $M_{45}$ ）

矩阵相乘不满足交换律，满足结合律

交换律：3x4=4x3

结合律：3x4x5=(3x4)x5=3x(4x5)

矩阵运算

M1*M2 != M2*M1

M1*M2*M3=M1*(M2*M3)

矩阵运算公式

例： $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \\ a_{31}&a_{32} \\ a_{41}& a_{42} \end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13} &b_{14} \\ b_{21}&b_{22} & b_{23} & b_{24} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} &c_{14} \\ c_{21}& c_{22} & c_{23}&c_{24} \\ c_{31}& c_{32} &c_{33} &c_{34} \\ c_{41}&c_{42} &c_{43} &c_{44} \end{bmatrix}$

$c_{23}=a_{21}*b_{13}+a_{22}*b_{23}$

矩阵相乘技巧

1.新矩阵的每个元素编号列出

2.找到左边矩阵对应的行和右边矩阵对应的列，相乘再相加。

Unity向量乘以矩阵

当向量经过矩阵乘法后，我们可以理解为矩阵对向量进行了变换操作。

行矩阵与矩阵相乘： $\begin{bmatrix} x& y& z \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} \\ c_{21}&c_{22} &c_{23} \\ c_{31}&c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}$

列矩阵与矩阵相乘： $\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} &c_{13} \\ c_{21}&c_{22} &c_{23} \\ c_{31}&c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$