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PyTorch逻辑回归总结

news 来源：原创 2025/8/25 17:25:19

目录

  • PyTorch逻辑回归总结
    • 神经网络基础
      • 基本结构
      • 学习路径
    • 线性回归
      • 简单线性回归
      • 多元线性回归
    • 逻辑回归
      • 核心原理
      • 损失函数
    • 梯度下降法
      • 基本思想
      • 关键公式
      • 学习率影响
    • PyTorch实现
      • 数据准备
      • 模型构建
      • 代码优化
    • 核心概念对比

PyTorch逻辑回归总结

神经网络基础

基本结构

  • 输入节点
  • 隐藏节点
  • 输出节点

学习路径

  • 逻辑回归作为神经网络入门基础

线性回归

简单线性回归

  • 模型表达式： y = β 0 + β 1 x + ϵ y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon y=β0​+β1​x+ϵ
  • 参数估计方法：最小二乘法
  • 参数求解公式
    • β ^ 1 = ∑ ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ ( x i − x ˉ ) 2 \hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} β^​1​=∑(xi​−xˉ)2∑(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)​
    • β ^ 0 = y ˉ − β ^ 1 x ˉ \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} β^​0​=yˉ​−β^​1​xˉ

多元线性回归

  • 模型表达式： y = β 0 + β 1 x 1 + ⋯ + β p x p + ϵ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p + \epsilon y=β0​+β1​x1​+⋯+βp​xp​+ϵ
  • 矩阵形式求解： β ^ = ( X T X ) − 1 X T y \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y β^​=(XTX)−1XTy

逻辑回归

核心原理

  • 线性回归结果映射到概率： z = θ T x z = \theta^T x z=θTx
  • Sigmoid函数： σ ( z ) = 1 1 + e − z \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} σ(z)=1+e−z1​
    • 输出范围：[0, 1]
    • 代码实现：sigmoid(z)

损失函数

  • 最大似然估计推导
  • 对数损失函数：
    J ( θ ) = − ∑ [ y log ⁡ ( y ^ ) + ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − y ^ ) ] J(\theta) = -\sum \left[ y \log(\hat{y}) + (1 - y) \log(1 - \hat{y}) \right] J(θ)=−∑[ylog(y^​)+(1−y)log(1−y^​)]
  • 防止数值溢出：添加极小值 ϵ \epsilon ϵ

梯度下降法

基本思想

  • 类比下山问题
  • 梯度方向：函数下降最快的方向
  • 学习率（η）：控制步长的超参数

关键公式

  • 参数更新： θ n + 1 = θ n − η ∂ J ∂ θ \theta_{n+1} = \theta_n - \eta \frac{\partial J}{\partial \theta} θn+1​=θn​−η∂θ∂J​
  • 偏导数计算：
    • 权重： ∂ J ∂ θ j = 1 m ∑ ( y i − y ^ i ) x i j \frac{\partial J}{\partial \theta_j} = \frac{1}{m} \sum (y_i - \hat{y}_i) x_{ij} ∂θj​∂J​=m1​∑(yi​−y^​i​)xij​
    • 截距： ∂ J ∂ b = 1 m ∑ ( y i − y ^ i ) \frac{\partial J}{\partial b} = \frac{1}{m} \sum (y_i - \hat{y}_i) ∂b∂J​=m1​∑(yi​−y^​i​)

学习率影响

  • 过小：收敛缓慢
  • 过大：震荡或发散
  • 优化策略：动态衰减、网格搜索

PyTorch实现

数据准备

  • 使用make_classification生成数据
  • 拆分训练集/测试集：train_test_split

模型构建

  1. 参数初始化

    • 权重：w = torch.randn(1, 10, requires_grad=True)
    • 偏置：b = torch.randn(1, requires_grad=True)

  2. 前向传播

    • 线性运算：z = torch.mm(x, w.T) + b
    • Sigmoid激活：y_hat = torch.sigmoid(z)

  3. 损失计算

    • 二元交叉熵：loss = F.binary_cross_entropy(y_hat, y_true)

  4. 反向传播

    • 自动求导：loss.backward()
    • 梯度清零：w.grad.zero_()

  5. 参数更新

    • w -= lr * w.grad
    • b -= lr * b.grad

代码优化

  • 对比NumPy与PyTorch实现
  • 利用自动求导简化梯度计算

核心概念对比

  • 概率 vs 似然
    • 概率：已知参数预测结果
    • 似然：已知结果估计参数
  • 超参数 vs 权重参数
    • 超参数：手动设置（如学习率）
    • 权重参数：模型自动学习

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