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安全序列(DP)

news 来源：原创 2025/9/14 14:54:04 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1e6+5;
int f[N];
int main()
{int n,k;cin>>n>>k;f[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=f[i-1];          // 不放桶：延续前一位的所有方案if(i-k-1>=0){f[i]=(f[i]+f[i-k-1])%MOD; // 空出 k 个空位放桶} else f[i]=(f[i]+1)%MOD; // 前面空位不够，只能放一个桶，相当于加一种方案}cout<<f[n];return 0;
}

 f[i] 表示：前 i 个空位的所有合法方案数。

 f[0] = 1：表示 0 个空位时，有 1 种方式（啥都不放）

i 位置不放桶：

   f[i] = f[i - 1]; 

第 i 个空位不放油桶，那就和 i-1 个空位的放法完全一样。

所以 f[i] 至少要等于 f[i - 1]。

 i 位置放桶：

    if (i - k - 1 >= 0) {
        f[i] = (f[i] + f[i - k - 1]) % MOD;
在第 i 个位置放一个油桶。前一个油桶最多只能放在第 i - k - 1 个位置，所以放一个油桶的方案数等于 f[i - k - 1]

如果 i - k - 1 < 0，说明：

  • 根本没有足够空位留出 k 的间隔。

  • 这时候唯一合法的方案就是：只在位置 i 放一个油桶，其它位置不放

 

总结一句话：

f[i] = 不放桶的方案 + 放桶的方案（考虑空 k 格）

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