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磁盘存储下红黑树、B 树与 B + 树的原理、操作及对比

news 来源：原创 2025/9/15 7:05:04

前置知识

磁盘

在计算机系统中，数据存储与检索效率深刻影响着整体性能。磁盘作为大容量数据的主要载体，其独特的 I/O 特性与树状数据结构的结合，催生出 B 树与 B + 树这两种经典方案。了解它们如何适配磁盘存储，是揭开数据库、文件系统高效运作奥秘的关键，让我们从磁盘底层机制讲起。
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基本概念：

盘片与主轴：多个盘片装在主轴上，主轴带动盘片高速转（如 5400 转 / 分、7200 转 / 分），为数据读写提供运动基础。
磁道：盘片表面同心圆是磁道，存数据，磁性单元表示 0 和 1 。不同盘片同半径磁道构成柱面，存储分配时用它减少寻道时间。
扇区：磁道分弧段即扇区，是存储最小单位，通常 512 字节或 4KB ，读写以扇区为单元。
磁头：负责读写，悬浮盘片表面不接触，盘转时在磁道间移动寻道，定位扇区，检测或改变磁性单元状态读写数据，寻道耗时影响读写速度。

工作流程

寻道：当计算机发出读取或写入数据的指令时，磁头首先要移动到目标磁道，这个过程称为寻道。寻道时间取决于磁头的移动速度和目标磁道的位置，是影响磁盘随机读写性能的关键因素。
旋转定位：磁头到达目标磁道后，需要等待目标扇区旋转到磁头下方，这一过程需要的时间取决于盘片的转速。
数据传输：当目标扇区旋转到磁头下方时，磁头就可以进行数据的读取或写入操作了。数据传输的速度与盘片的转速以及磁道的存储密度等因素有关。

内存

内存（Memory）也叫内存储器，是计算机中用于临时存储数据和程序指令的硬件组件，CPU 可直接访问

作用

存储运行数据：存储计算机当前正在运行的操作系统、应用程序以及正在处理的数据。比如打开办公软件编辑文档时，软件程序和正在编辑的文档数据会暂存于内存。
提升数据访问速度：相比硬盘等外部存储设备，内存访问速度极快。CPU 能直接快速读取和写入内存中的数据，无需像访问硬盘那样经过复杂机械操作，从而加快程序运行速度。
支持多任务处理：计算机同时运行多个程序时，内存为每个程序分配空间，操作系统负责管理，确保程序间互不冲突。
特性
易失性：断电后内存中数据会立即丢失，所以仅用于临时存储。
随机访问：CPU 可随机快速访问内存中任一位置的数据。

数据读写

1. 读数据：先 “翻缓存”，再 “查仓库”

计算机内存中设有多级缓存（如页缓存、文件系统缓存），像一个 “数据中转站”。程序请求数据时：
先检查缓存是否已存储目标数据（称为 “缓存命中”），若命中，直接从缓存读取，速度可达纳秒级。
若缓存未命中，则触发磁盘 I/O：磁头寻道定位扇区，将数据从磁盘读入内存缓存，再返回给程序。这一过程因磁盘机械动作耗时毫秒级，是性能瓶颈。
示例：反复读取同一文件的内容，首次需磁盘读取并填充缓存，后续访问直接从缓存获取，大幅提升速度。

2. 写数据：“暂存草稿”，批量提交

程序产生新数据或修改数据时：
先将数据写入内存缓冲区（如文件系统的写缓存），相当于暂存 “草稿”，避免频繁磁盘写入。
满足特定条件时才批量写入磁盘：
时间触发：缓存数据积累到一定时间（如 Linux 默认 30 秒）。
容量触发：缓存区填满（如达到磁盘块大小的整数倍）。
主动触发：程序调用fsync等函数强制立即写入。
优势：减少磁头寻道次数，将零散写入合并为顺序写入，提升磁盘利用率。但断电可能丢失缓存未提交的数据，需依赖日志等机制保障可靠性。

b树和b+树

为什么要b树

红黑树和 B 树都是用来存数据的树形结构，不过 B 树的出现是为了解决红黑树在一些情况下的不足，特别是在和磁盘打交道的时候。下面用比较通俗的方式来说说为什么需要 B 树：

从磁盘读取速度来看（b树的层数少）
- 红黑树：红黑树就像一个有很多层的架子，每个格子里只能放一个东西（数据），找东西的时候得一层一层、一个格子一个格子地找。因为磁盘读数据就像从这个架子上拿东西，每次拿一个格子里的东西都要花不少时间，要是找的东西多，就得频繁地拿，速度就慢了。
- B 树：B 树像是一个每层有很多大抽屉的柜子，每个抽屉能放好多个东西。这样一来，柜子的层数就比红黑树的架子少很多。找东西的时候，一次能从一个抽屉里拿到好多东西，不用像在红黑树里那样频繁地去拿，所以能节省很多时间，也就提高了数据访问的效率。
从空间利用角度来说（多叉树）
- 红黑树：红黑树的每个格子小，而磁盘存数据是按一块一块来的，就好像用大盒子装小格子，盒子里有很多空间浪费了。
- B 树：B 树的抽屉大，能把盒子空间填满，这样就不会浪费磁盘空间，能更充分地利用磁盘。
从查找特定范围数据来看
- 红黑树：比如要找一群在某个范围内的东西，在红黑树里就得从最上面开始，一个一个地看每个格子里的东西是不是在这个范围内，要找很久。
- B 树：B 树里的东西是按顺序放在抽屉里的，要找特定范围的东西时，能很快知道哪些抽屉可能有，然后再去这些抽屉里找，不用把所有抽屉都看一遍，所以找起来更快。

b树的定义

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一颗m阶b树的性质

节点的子树数量范围：每个非叶子节点至少有 $\lceil m/2 \rceil$ 棵子树，奇数+1
节点关键字数量范围：非叶子节点中关键字的数量 n 满足 $\lceil m/2 \rceil - 1 \leq n \leq m - 1$ 。
叶子节点的位置：所有叶子节点都在同一层，叶子节点不包含任何关键字信息，可视为外部节点或查找失败的节点。
节点关键字与子树的关系：节点中的关键字按从小到大顺序排列，n 个关键字分别对应着 $(n + 1)$ 棵子树，且子树中的关键字范围遵循特定规则。例如，对于节点中的第 i 个关键字 $K_i$ ，其左子树中的所有关键字都小于 $K_i$ ，右子树中的所有关键字都大于 $K_i$ 。
根节点的特殊情况：根节点至少有两棵子树，除非它是叶子节点。若根节点不是叶子节点，其关键字数量至少为 1。
树的平衡性：B 树是一种平衡树，即树中任意节点的左右子树高度差不超过 1，保证了树的高度相对较低，从而提高了数据查找、插入和删除的效率。数据存储与磁盘块的适配性：

对比上图讲一下性质

一个概念:你得脱离二叉树的概念，二叉树是一个节点一个key-val值，而b树是一个节点多个key值，比如说vwxyz是一个节点里面的值。
图中根节点 I 有 2 棵子树，满足根节点至少 2 棵子树的要求。假设这是 5 阶 B 树m = 5,非叶子节点 CF 有 3 棵子树，LORU 有 5 棵子树，对于 5 阶 B 树，，它们子树数量在 3 - 5 范围内，符合性质。
节点 CF 中，C < F ，其左子树 AB 中关键字小于 C ，中间子树 DE 中关键字介于 C 和 F 之间，右子树 GH 中关键字大于 F ；节点 LORU 同理，关键字有序排列，子树关键字范围符合规则。一般都是中间隔开-中间的线！！！

代码实现：

#define DEGREE		3
typedef int KEY_VALUE;typedef struct _btree_node {KEY_VALUE *keys;struct _btree_node **childrens;int num;int leaf;
} btree_node;typedef struct _btree {btree_node *root;int t;
} btree;btree_node *btree_create_node(int t, int leaf) {btree_node *node = (btree_node*)calloc(1, sizeof(btree_node));if (node == NULL) assert(0);node->leaf = leaf;node->keys = (KEY_VALUE*)calloc(1, (2*t-1)*sizeof(KEY_VALUE));node->childrens = (btree_node**)calloc(1, (2*t) * sizeof(btree_node*));node->num = 0;return node;
}

#define DEGREE 3：定义了 B 树的最小度数为 3，最小度数决定了 B 树节点的键值数量和子节点数量的范围。
typedef int KEY_VALUE：将int类型重命名为KEY_VALUE，便于后续修改键值的数据类型。

btree_node结构体：代表 B 树的节点，包含以下成员：
KEY_VALUE *keys：指向存储键值的数组。
struct _btree_node **childrens：指向存储子节点指针的数组。
int num：记录当前节点中键值的数量。
int leaf：表示该节点是否为叶子节点，1代表是叶子节点，0代表不是

btree_node *root：指向 B 树的根节点。
int t：B 树的最小度数

插入原理

B 树的插入操作主要是要保证插入元素后，B 树依然满足其自身的性质，即每个节点的键值数量在[t - 1, 2t - 1]范围内（根节点除外），并且所有叶子节点在同一层。插入操作的核心步骤如下：

查找插入位置：从根节点开始，根据键值的大小，沿着合适的子节点路径向下查找，直到找到对应的叶子节点，因为新的键值总是插入到叶子节点中。
插入键值：
- 节点未满：如果找到的叶子节点中键值数量小于2t - 1，直接将新的键值插入到该节点的合适位置（按键值大小排序），插入操作完成。
- 节点已满：如果该叶子节点已经有2t - 1个键值，无法直接插入新键值，此时需要对该节点进行分裂操作。
  - 分裂节点：将节点的中间键值（第t个键值）提升到父节点中，把该节点以中间键值为界，分为左右两个节点，每个节点包含t - 1个键值。然后将新键值插入到合适的子节点中。
  - 递归处理：如果分裂导致父节点也满了，就需要对父节点继续进行分裂操作，以此类推，直到找到一个未满的节点或者到达根节点。如果根节点也需要分裂，就会创建一个新的根节点，B 树的高度会增加。

删除原理

B 树的删除操作相对复杂，因为要确保删除键值后，B 树仍然满足其性质。删除操作的主要步骤如下：

查找要删除的键值：从根节点开始，根据键值的大小，沿着合适的子节点路径向下查找，找到要删除的键值所在的节点。
删除键值：
- 在叶子节点中删除：
  - 节点键值数量大于t - 1：直接从该叶子节点中删除键值，删除操作完成。
  - 节点键值数量等于t - 1：如果直接删除会导致该节点的键值数量小于t - 1，此时需要从兄弟节点借键值或者与兄弟节点合并。
    - 借键值：如果兄弟节点的键值数量大于t - 1，可以从兄弟节点借一个键值过来，同时调整父节点的键值。
    - 合并节点：如果兄弟节点的键值数量也等于t - 1，则将该节点与兄弟节点合并，同时从父节点中删除一个键值。如果父节点的键值数量因此小于t - 1，需要对父节点继续进行借键值或合并操作，以此类推。

查找范围原理

查找步骤

定位起始位置：从 B 树的根节点开始，根据区间的起始值，沿着合适的子节点路径向下查找，直到找到一个可能包含起始值的叶子节点。在查找过程中，对于每个节点，比较起始值与该节点中的键值，选择合适的子节点继续查找。
遍历节点并收集键值：
- 从找到的叶子节点开始，按顺序检查该节点中的键值。如果键值落在指定的区间内，则将其收集起来。
- 如果该节点中的所有键值都检查完了，且还有后续的叶子节点，则移动到下一个叶子节点继续检查。在 B 树中，叶子节点通常是通过指针依次相连的，这样可以方便地进行顺序遍历。
终止条件：当遇到一个键值大于区间的结束值时，停止遍历，查找过程结束

b+树

其实只需对照b树来就行了

数据存储结构
B 树：键值和数据都存于每个节点。也就是说，每个节点既存有键值，也存有对应的数据记录或者指向数据记录的指针。这意味着在 B 树里，无论查找成功与否，可能在任何节点结束查找过程。
B + 树：只有叶子节点存放数据，非叶子节点仅用于索引。所有数据都按顺序存于叶子节点，叶子节点之间通过指针相连，形成一个有序链表，而非叶子节点仅包含键值和指向子节点的指针。
查询方式
B 树：可以在任何节点找到所需数据，一旦找到匹配的键值，查找操作便结束。这表明查找过程可能在树的任意层次结束。
B + 树：所有查询都必须到达叶子节点才能获取数据。这是因为只有叶子节点存有数据，非叶子节点仅用于引导查找方向。另外，借助叶子节点间的指针，B + 树能够更高效地进行范围查询。
插入删除操作
B 树：插入和删除操作可能会导致节点的分裂和合并，而且可能需要在多个层次进行调整，以保证树的平衡性。这些操作相对复杂，因为它们可能影响到多个节点的键值和子节点。
B + 树：插入和删除操作主要在叶子节点进行。当叶子节点满了或者不足时，仅需对叶子节点进行分裂或合并操作，非叶子节点的调整相对较少。这使得 B + 树的插入和删除操作更为简单和高效