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【高阶数据结构】第二弹---图的深度解析：从基本概念到邻接矩阵的存储与操作

news 来源：原创 2025/9/15 1:09:29

✨个人主页：熬夜学编程的小林

💗系列专栏：【C语言详解】【数据结构详解】【C++详解】【Linux系统编程】【高阶数据结构】

1、图的基本概念

2、图的存储结构

2.1、邻接矩阵

2.1.1、基本结构

2.1.2、图的创建

2.1.3、获取顶点下标

2.1.4、添加边

2.1.5、打印

2.1.6、测试

1、图的基本概念

图(Graph)是由顶点集合(V)及顶点间的边的集合(E)组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：

G表示图
顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；
顶点之间的边集合E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。

顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

有向图和无向图：

在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。
在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。
注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。

完全图：

在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；
在有n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。

邻接顶点：

在无向图G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；
在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。

在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。
注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：

对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；
对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：

若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。
若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。

子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。

生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。

2、图的存储结构

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？

2.1、邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意：

1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。

3. 用邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求。

2.1.1、基本结构

1、为了图的灵活性，此处使用模板来描述图，使用类型模板参数描述顶点和边的类型，使用非类型模板参数描述无穷大和图的方向。

2、使用vector存储顶点集合，map存储顶点与下标的映射关系，二维vector存储边集合的矩阵。

// vertex: 顶点  edge: 边 weight: 权值
template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
class Graph
{typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;
public:// ...
private:vector<V> _vertexs;        // 顶点集合map<V, size_t> _vIndexMap; // 顶点映射下标vector<vector<W>> _matrix; // 存储边集合的矩阵
};

2.1.2、图的创建

图有三种常见的创建方式，如下：

1、IO输入 -- 不方便测试，OJ中更适合

2、图结构关系写到文件，读取文件

3、手动添加边(此处使用手动添加边)

构造函数传入顶点集合以及顶点个数，为了能够生成默认构造函数，此处需要使用default关键字。

// 生成默认构造
Graph() = default;Graph(const V* vertexs, size_t n)
{_vertexs.reserve(n);for (size_t i = 0; i < n; i++){_vertexs.push_back(vertexs[i]);_vIndexMap[vertexs[i]] = i;}// MAX_W 作为不存在边的标识值_matrix.resize(n);for (auto& e : _matrix){e.resize(n, MAX_W);}
}

2.1.3、获取顶点下标

顶点与下标的映射存储在map中，获取顶点对应的下标只需要在map中进行查找即可，找到则返回下标，没找到则抛异常(为了编译通过，返回-1)。

size_t GetVertexIndex(const V& v)
{auto ret = _vIndexMap.find(v);if (ret != _vIndexMap.end()){return ret->second;}else{//assert(false);throw invalid_argument("顶点不存在");return -1; // 编译通过}
}

2.1.4、添加边

1、此处使用的是手动添加边的方式创建图，因此添加边的函数是必不可少的。参数为起始顶点，结束顶点和权值，还需注意有向与无向图。

2、添加边的思想，先获取顶点对应的下标，然后将权值存进矩阵中，如果是无向图则需双向存储。

参数为顶点值

// 添加边(直接实现)
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{// 查找边的下标size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t dsti = GetVertexIndex(dst);_matrix[srci][dsti] = w;// 无向图if (Direction == false){_matrix[dsti][srci] = w;}
}

参数为顶点下标

void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
{_matrix[srci][dsti] = w;// 无向图if (Direction == false){_matrix[dsti][srci] = w;}
}

复用子函数方式

// 添加边(调用子函数)
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{// 查找边的下标size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t dsti = GetVertexIndex(dst);_AddEdge(srci, dsti, w);
}

2.1.5、打印

打印的方式可以根据自己需求打印，此处打印下标与顶点的映射关系和矩阵，为了让打印更美观，将矩阵的对角线打印成0，无穷大值打印成*，并打印矩阵的行列。

void Print()
{// 打印下标和顶点映射关系for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++){cout << "[" << i << "]->" << _vertexs[i] << endl;}cout << endl;// 横下标cout << "  ";for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++){//cout << i << " ";printf("%4d", i);}cout << endl;// 打印矩阵for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++){// 竖下标cout << i << " ";for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++){if (i == j){printf("%4d", 0);}else if (_matrix[i][j] != MAX_W){//cout << _matrix[i][j] << " ";printf("%4d", _matrix[i][j]);}else{//cout << "* ";printf("%4c", '*');}}cout << endl;}cout << endl;
}

2.1.6、测试

void TestGraph1()
{Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);g.AddEdge('0', '1', 1);g.AddEdge('0', '3', 4);g.AddEdge('1', '3', 2);g.AddEdge('1', '2', 9);g.AddEdge('2', '3', 8);g.AddEdge('2', '1', 5);g.AddEdge('2', '0', 3);g.AddEdge('3', '2', 6);g.Print();
}

构造函数

添加边

打印结果

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编程日记 2025/9/11 4:51:34

EtherCAT 转 ModbusTCP 网关

一、功能概述 1.1 设备简介本产品是 EtherCAT 和 Modbus TCP 网关，使用数据映射方式工作。本产品在 EtherCAT 侧作为 EtherCAT 从站，接 TwinCAT 、 CodeSYS 、 PLC 等；在 ModbusTCP 侧做为 ModbusTCP 主站（ C…...

编程日记 2025/9/15 3:18:47

SpringBoot集成阿里云文档格式转换实现pdf转换word,excel

一、前置条件 1.1 创建accessKey 如何申请：https://help.aliyun.com/zh/ram/user-guide/create-an-accesskey-pair 1.2 开通服务官方地址：https://docmind.console.aliyun.com/doc-overview 未开通服务时需要点击开通按钮，然后才能调用…...

编程日记 2025/9/12 5:23:45