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大数据-271 Spark MLib - 基础介绍 机器学习算法 线性回归 场景 定义 损失 优化

news 来源：原创 2025/9/15 17:47:20

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线性回归场景

● 房价预测
● 销售额度预测
● 贷款额度预测

以华氏度与摄氏度之间的转换为例进行描述
在这里插入图片描述

线性回归定义

定义与公式

线性回归（Linear Regression）是利用回归方程（函数）对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种分析方式

特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，多于一个自变量情况的叫做多元回归
在这里插入图片描述
如下图的例子：
在这里插入图片描述
上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立了一个关系，这个关系可以理解为线性模型。

线性回归特征与目标关系分析

线性回归当中主要两个模型，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面去理解，所以都用单个特征或者两个特征举例子。

线性关系的单变量线性关系

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线性关系的多变量线性关系

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非线性关系

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线性回归的损失和优化

假设学习成绩例子，真是的数据之间存在这样的关系：

真实关系：最终成绩 = 0.5x平时成绩 + 0.3x期末成绩

那么现在呢，猜测一个关系：

猜测关系：预测最终成绩 = 0.45x平时成绩 + 0.2x期末成绩

可以想到，真实结果与我们的预测的结果之间存在一定的误差。
在这里插入图片描述
既然存在这个误差，如何衡量误差呢？

损失函数

总损失函数为：
在这里插入图片描述
● yi 为第i个训练样本的真实值
● h(xi)为第i个训练样本特征值组合预测函数
● 又称最小二乘法

优化算法

如何去模型当中的W，使得损失最小（目的是找到最小损失对应的W值）
线性回归经常使用的两种优化算法：解析解方式（正规方程）+ 梯度下降法

解析解方式

在这里插入图片描述

理解：X为特征值矩阵，Y为目标值矩阵，直接求到最好的结果。
缺点：当特征过多复杂时，求解速度太慢并且得不到结果。

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梯度下降（Gradient Descent）

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程，一个人被困在山上，需要从山上下来（比如，找到山的最底点，也就是山谷），但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径无法确定，它必须利用自己周围的信息去找到下山的路径，这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。

具体来说，以它当前所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走。同理，如果我们的目标是上山，也就是爬山山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走，然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

在这里插入图片描述
梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。梯度是微积分中的一个很重要的概念：
● 在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个定点的切线的斜率
● 再多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指定了函数在给定点的上升最快的方向
● 在微积分里面，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。

在这里插入图片描述
α 的含义：α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步长跨的太大扯着蛋。其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点。

在这里插入图片描述

为什么梯度要乘以一个负号

梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文中提过，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号。
我们通过两个图更好理解梯度下降的过程。

在这里插入图片描述
优化动态图演示
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单变量函数的梯度下降：

  • 我们假设有一个单变量的函数 J(θ) = θ2
  • 初始化，起点为 θ0 = 1
  • 学习率 α = 0.4

我们开始进行梯度下降的迭代计算过程：
在这里插入图片描述

如果，经过四次的运算，也就是走了四步，基本就抵达了函数的最低点，也就是山底。
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多变量函数的梯度下降

我们假设有一个目标函数：J(θ) = θ12 + θ22

  • 现在要通过梯度下降法计算这个函数的最小值，我们通过观察就能发现最小值其实就是（0,0）点。但是接下来，我们会从梯度下降算法开始一步步计算到这个最小值！我们假设初始的起点为：θ0 = (1, 3)。
  • 初始的学习率为 α = 0.1
  • 函数的梯度为：J(θ) =< 2θ1 ,2θ2>

进行多次迭代：
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我们发现，已经基本靠近函数的最小值点：
在这里插入图片描述
梯度下降和正规方程的对比
在这里插入图片描述

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