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LeetCode零钱兑换（动态规划）

news 来源：原创 2025/9/21 6:12:27

题目描述

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

解题思路

假设给出的不同面额的硬币是[1, 2, 5]，目标是 120，问最少需要的硬币个数？

我们要分解子问题，分层级找最优子结构，看到这又要晕了哈，憋急~~ 下面马上举例。
这里我们使用「自顶向下」思想来考虑这个题目，然后用「自底向上」的方法来解题。
dp是遍历金额总数构造的数组，dp[i]: 表示总金额为 i 的时候最优解法的硬币数，求dp[i]可以在dp中复用子问题解。
我们想一下：求总金额 120 有几种方法？下面这个思路关键了 !!!
一共有 3 种方式，因为我们有 3 种不同面值的硬币。
1.拿一枚面值为 1 的硬币 + 总金额为 119 的最优解法的硬币数量
这里我们只需要假设总金额为 119 的最优解法的硬币数有人已经帮我们算好了，
不需要纠结于此。(虽然一会也是我们自己算，哈哈)
即：dp[119] + 1
2.拿一枚面值为 2 的硬币 + 总金额为 118 的最优解法的硬币数
这里我们只需要假设总金额为 118 的最优解法的硬币数有人已经帮我们算好了
即：dp[118] + 1
3.拿一枚面值为 5 的硬币 + 总金额为 115 的最优解法的硬币数
这里我们只需要假设总金额为 115 的最优解法的硬币数有人已经帮我们算好了
即：dp[115] + 1
因为硬币的金额已知，所以dp[120]只能由这三种方法计算得到
- 所以，总金额为 120 的最优解法就是上面这三种解法中最优的一种，也就是硬币数最少
  的一种，我们下面试着用代码来表示一下：
- dp[120] = Math.min(dp[119] + 1, dp[118] + 1, dp[115] + 1);
- 推导出「状态转移方程」：

dp[i] = Math.min(dp[i - coin] + 1, dp[i - coin] + 1, ...)

其中 coin 有多少种可能，我们就需要比较多少次，那么我们到底需要比较多少次呢？当然是 coins 数组中有几种不同面值的硬币，就是多少次了~ 遍历 coins 数组，分别去对比即可

上面方程中的 dp[119]，dp[118]，dp[115] 我们继续用这种思想去分解，
这就是动态规划了，把这种思想，思考问题的方式理解了，这一类型的题目
问题都不会太大。

代码

var coinChange = function(coins, amount) {let dp = new Array(amount + 1).fill(Infinity); // 初始化 dp 数组dp[0] = 0; // 凑出金额 0 所需的硬币数为 0for (let i = 1; i <= amount; i++) { // 遍历所有金额从 1 到 amountfor (let coin of coins) { // 遍历所有硬币面额if (i - coin >= 0) { // 如果当前金额 i 大于等于硬币面额 coindp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1); // 更新 dp[i] 的值}}}return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount]; // 如果 dp[amount] 仍为 Infinity，说明无法凑出金额
};

代码分析

1. 初始化 `dp` 数组

let dp = new Array(amount + 1).fill(Infinity); // 初始化 dp 数组
dp[0] = 0; // 凑出金额 0 所需的硬币数为 0

dp 数组的作用：dp[i] 表示凑出金额 i 所需的最少硬币数。
为什么用 Infinity 初始化：因为对于大多数金额，我们一开始不知道需要多少硬币才能凑出，所以用一个很大的数（Infinity）来表示“尚未计算”。
dp[0] = 0：凑出金额 0 显然不需要任何硬币，所以 dp[0] 初始化为 0。

2. 外层循环：遍历所有金额

for (let i = 1; i <= amount; i++) { // 遍历所有金额从 1 到 amount

作用：我们需要计算从金额 1 到目标金额 amount 的每一个金额的最少硬币数。
逐步计算：从最小的金额开始，逐步向上计算，直到目标金额。这样可以确保在计算 dp[i] 时，所有小于 i 的金额的最少硬币数已经计算好了。

3. 内层循环：遍历所有硬币面额

for (let coin of coins) { // 遍历所有硬币面额

作用：对于每个金额 i，我们需要考虑所有可能的硬币面额，看看用哪种硬币可以更优地凑出金额 i。
逐个尝试：假设我们有硬币面额 [1, 2, 5]，对于金额 3，我们会尝试：
- 用一枚面值为 1 的硬币，然后看 dp[2] 的值。
- 用一枚面值为 2 的硬币，然后看 dp[1] 的值。
- 用一枚面值为 5 的硬币，但 3 - 5 < 0，所以不能用。

4. 状态转移：更新 `dp[i]`

if (i - coin >= 0) { // 如果当前金额 i 大于等于硬币面额 coindp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1); // 更新 dp[i] 的值
}

条件检查：if (i - coin >= 0) 确保我们不会用一个比当前金额还大的硬币，否则没有意义。
状态转移逻辑：
- 假设我们正在计算金额 i，并且考虑用一枚面值为 coin 的硬币。
- 如果我们用这枚硬币，那么剩下的金额就是 i - coin，凑出这个金额所需的硬币数是 dp[i - coin]。
- 因为我们用了一枚硬币，所以总硬币数是 dp[i - coin] + 1。
- 我们需要比较所有可能的硬币面额，选择最小的硬币数。这就是 Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1) 的作用。

5. 返回结果

return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount]; // 如果 dp[amount] 仍为 Infinity，说明无法凑出金额

检查结果：如果 dp[amount] 仍然是 Infinity，说明我们无法用给定的硬币面额凑出目标金额 amount，因此返回 -1。
返回最少硬币数：如果 dp[amount] 是一个有限的数，说明我们成功地找到了最少硬币数，直接返回它。

举例说明

假设 coins = [1, 2, 5]，amount = 11。

初始化

dp = [0, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity]

计算过程

金额 i = 1：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[1] = Math.min(Infinity, dp[0] + 1) = 1
- 结果：dp = [0, 1, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity]
金额 i = 2：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[2] = Math.min(Infinity, dp[1] + 1) = 2
  - coin = 2：dp[2] = Math.min(2, dp[0] + 1) = 1
- 结果：dp = [0, 1, 1, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity]
金额 i = 3：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[3] = Math.min(Infinity, dp[2] + 1) = 2
  - coin = 2：dp[3] = Math.min(2, dp[1] + 1) = 2
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity]
金额 i = 4：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[4] = Math.min(Infinity, dp[3] + 1) = 3
  - coin = 2：dp[4] = Math.min(3, dp[2] + 1) = 2
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, 2, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity]
金额 i = 5：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[5] = Math.min(Infinity, dp[4] + 1) = 3
  - coin = 2：dp[5] = Math.min(3, dp[3] + 1) = 3
  - coin = 5：dp[5] = Math.min(3, dp[0] + 1) = 1
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, 2, 1, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity]
金额 i = 6：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[6] = Math.min(Infinity, dp[5] + 1) = 2
  - coin = 2：dp[6] = Math.min(2, dp[4] + 1) = 2
  - coin = 5：dp[6] = Math.min(2, dp[1] + 1) = 2
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity]
金额 i = 7：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[7] = Math.min(Infinity, dp[6] + 1) = 3
  - coin = 2：dp[7] = Math.min(3, dp[5] + 1) = 2
  - coin = 5：dp[7] = Math.min(2, dp[2] + 1) = 2
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, Infinity, Infinity, Infinity, Infinity]
金额 i = 8：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[8] = Math.min(Infinity, dp[7] + 1) = 3
  - coin = 2：dp[8] = Math.min(3, dp[6] + 1) = 3
  - coin = 5：dp[8] = Math.min(3, dp[3] + 1) = 3
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, Infinity, Infinity, Infinity]
金额 i = 9：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[9] = Math.min(Infinity, dp[8] + 1) = 4
  - coin = 2：dp[9] = Math.min(4, dp[7] + 1) = 3
  - coin = 5：dp[9] = Math.min(3, dp[4] + 1) = 3
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, Infinity, Infinity]
金额 i = 10：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[10] = Math.min(Infinity, dp[9] + 1) = 4
  - coin = 2：dp[10] = Math.min(4, dp[8] + 1) = 4
  - coin = 5：dp[10] = Math.min(4, dp[5] + 1) = 2
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 2, Infinity]
金额 i = 11：
- 遍历硬币面额：
  - coin = 1：dp[11] = Math.min(Infinity, dp[10] + 1) = 3
  - coin = 2：dp[11] = Math.min(3, dp[9] + 1) = 3
  - coin = 5：dp[11] = Math.min(3, dp[6] + 1) = 3
- 结果：dp = [0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 3]

最终结果

dp[11] = 3，表示凑出金额 11 所需的最少硬币数为 3。

总结

这段代码通过动态规划的思想，逐步计算出每个金额的最少硬币数，最终得到目标金额的最少硬币数。

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罗技蓝牙键盘的顶部功能键F1-F12的原本功能单击罗技键盘的功能键时，默认响应的是键盘上面显示的快进、调节音量等功能。改变回F1~F12原本功能，同时按下 fn和esc组合键...

编程日记 2025/9/6 22:13:39

⭐算法OJ⭐数据流的中位数【最小堆】Find Median from Data Stream

最小堆最小堆是一种特殊的完全二叉树数据结构。基本定义堆性质：每个节点的值都小于或等于其子节点的值（根节点是最小值）完全二叉树性质：除了最底层外，其他层的节点都是满的，且最底层的节点都靠左排列…...

编程日记 2025/9/19 19:02:43

node-modules-inspector 使用以及 node_modules可视化依赖关联关系快速分析

node-modules-inspector 使用以及 node_modules可视化依赖关联关系快速分析 node-modules-inspector 简介 node-modules-inspector 是一个用于分析和可视化 node_modules 依赖关系的工具，主要功能包括： 依赖可视化：以交互式图表展示项目的依…...

编程日记 2025/9/18 23:29:39

python自动登录远程设备的几种方式（华为设备）

其实登录远程设备（交换机路由器）的方式无非就是通过SSH或者是Telnet这两个协议，当然最主要的还是SSH，这里主要讲的是通过这两个协议登录远程设备的几个方式拓扑本文都是用的这个拓扑，主要通过编写python脚本来登录其…...

编程日记 2025/9/20 17:17:58

【android bluetooth 框架分析 01】【关键线程 1】【关键线程介绍】

1. 为什么学习蓝牙协议栈之前，必须先梳理清楚这几大线程？ 为什么学习协议栈之前最好是要先梳理清楚关键线程 bt_stack_manager_threadbt_jni_threadbt_main_threadbt_a2dp_sink_worker_thread 1.1 蓝牙协议栈是典型的“多线程异步系统” 蓝牙协议…...

编程日记 2025/9/12 22:20:26

LDAP高效数据同步：Syncrepl复制模式实战指南

#作者：朱雷文章目录一、Syncrepl 复制简介1.1. 什么是复制模式1.2. 什么是 syncrepl同步复制二、Ldap环境部署三、配置复制类型3.1. 提供者端配置3.2. 消费者端配置3.3.启动服务3.4.测试同步是否生效四、总结一、Syncrepl 复制简介 1.1. 什么是复制模式 Ope…...

编程日记 2025/9/12 6:14:08