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AI：支持向量机（SVM）

news 来源：原创 2025/9/21 8:14:21

支持向量机（SVM）理论基础详解：从零开始的完全指南

一、SVM的核心思想：直观理解

1.1 什么是分类问题？

想象你在玩一个游戏：桌上有红色和蓝色的球，你需要画一条线把它们分开。这条线就是分类边界。SVM的目标是找到一条最优分界线，使得这条线到最近的红色球和蓝色球的距离（间隔）最大。

在这里插入图片描述

二维坐标系中红色点和绿色三角形分别代表两类样本
黑色实线为最优分类超平面（决策边界）
两条虚线表示分类间隔边界（间隔带）
被圆圈标注的样本点为支持向量
箭头标注间隔距离（Margin Width）

1.2 关键术语解释

超平面：在N维空间中的N-1维分界平面（二维是直线，三维是平面）
间隔（Margin）：分界线到最近数据点的距离
支持向量：离分界线最近的样本点（图中红色和蓝色的边缘点）

类比理解：
把SVM想象成建一座最宽的"隔离带"，支持向量就是隔离带边缘的"护栏"，决定了隔离带的宽度和位置。

二、数学原理：从几何到优化

2.1 几何间隔：如何衡量分类质量？

对于任意数据点 $x_i, y_i)$ （ $y_i=±1$ 表示类别），到超平面 $w^Tx + b = 0$ 的距离公式为：
$\text{几何间隔} = \frac{|w^Tx_i + b|}{\|w\|}$

为什么重要？
几何间隔越大，分类的置信度越高。SVM的目标是最大化所有样本的最小几何间隔。

2.2 线性可分SVM的优化问题

将最大化间隔转化为数学优化问题：
$\begin{aligned} \max_{w,b} & \quad \min_i \frac{y_i(w^Tx_i + b)}{\|w\|} \\ \text{s.t.} & \quad y_i(w^Tx_i + b) \geq 1 \quad (\forall i) \end{aligned}$

等价转换：
通过缩放技巧，简化为更易求解的凸二次规划问题：
$\begin{aligned} \min_{w,b} & \quad \frac{1}{2}\|w\|^2 \\ \text{s.t.} & \quad y_i(w^Tx_i + b) \geq 1 \quad (\forall i) \end{aligned}$

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