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图像处理中的梯度计算、边缘检测与凸包特征分析技术详解

news 来源：原创 2025/8/24 8:20:23

前言

书接上文

OpenCV图像处理实战全解析：镜像、缩放、矫正、水印与降噪技术详解-CSDN博客文章浏览阅读1.1k次，点赞38次，收藏29次。本文系统解析OpenCV图像处理五大实战场景：镜像反转的三种坐标变换模式，图像缩放的尺寸控制与插值方法，透视变换的四点定位原理与三维投影消除，基于二值化模板的水印叠加技术，以及均值/高斯/中值滤波器的噪声消除机制。通过11个完整代码示例，详解关键参数设置与算法选择策略，涵盖flip、resize、warpPerspective、bitwise_and、GaussianBlur等核心函数应用，提供从基础操作到复杂形变矫正的全栈解决方案，为计算机视觉开发提供完备的技术参考。https://blog.csdn.net/qq_58364361/article/details/146971848?spm=1011.2415.3001.10575&sharefrom=mp_manage_link

一、图像梯度处理

1.1 图像梯度

dx和dy是x和y的微分，趋向于无穷小，这是在连续的函数中求导的过程，可以认为这就是函数某一个点的梯度。

上面的连续的函数，但是实际中图像是离散的。如果图像也能微分，可以理解为图像的像素点无穷小，图像的分辨率无穷大。

理想情况下图像的数据组成也应该可以进行微分的，因此存在x轴和y轴的梯度，需要同时考虑两个方向

图像在计算机中是以离散的像素点分布的，因此使用的差分

1.2 边缘计算 Filter2D

梯度计算的目的是为了寻找图像的边缘，因此把寻找图像边缘的计算称为边缘计算，也是通过卷积核实现的，下面的是一个常用于边缘计算的卷积核：

上面的核用于提取图片的垂直边缘，下图是水平梯度的计算，来提取垂直边缘。

同理，改变卷积核形态，可以把图像的水平边缘提取，进行垂直梯度的计算：

可以看到相关参数如下：

ddepth 深度，-1表示保持原图的位深度（通常为8位无符号整型）

kernel 卷积核

可自定义核数值

edge_ex_method 边缘检测的方向

upright 垂直 level 水平

此参数在OpenCV函数接口中并不存在

import cv2
import numpy as npif __name__ == '__main__':path = "QiPan.jpg"  # 图片文件路径img = cv2.imread(path)  # 读取图片，返回BGR格式的numpy数组#构建卷积核kernel = np.array([[-1, 0, 1],  # Sobel算子X方向卷积核[-2, 0, 2],  # 用于边缘检测[-1, 0, 1]],dtype=np.float32  # 指定数据类型为32位浮点数)#边缘计算dts_img = cv2.filter2D(img, -1, kernel)  # 使用卷积核进行图像滤波"""cv2.filter2D参数说明:src: 输入图像ddepth: 输出图像深度(-1表示与输入相同)kernel: 卷积核"""#显示图片cv2.imshow("dts_img", dts_img)  # 在窗口中显示处理后的图像cv2.waitKey(0)  # 等待任意按键按下

1.3 Sobel算子

Sobel算子是一种特殊的Filter2D，也是最常用的一种边缘检测算法，使用特定的卷积核进行计算。

使用k1，对原始图像src进行卷积操作，得到水平方向的梯度图Gx

使用k2，对原始图像src进行卷积操作，得到垂直方向的梯度图Gy

支持适应Gx和Gy求出总梯度，这种用法比较严格，需要同时具有水平和垂直梯度的像素才会显示比较明显

dx，dy参数分别表示是否考虑x和y方向的梯度，不支持全零。

k1和k2必须使用上述的参数，否则就不是Sobel算子。除了Sober算子外，也可以更改卷积核的权重比例形成其他的算子：

import cv2
import numpy as npif __name__ == '__main__':path = "QiPan.jpg"  # 图片文件路径img = cv2.imread(path)  # 读取图片，返回BGR格式的numpy数组# 灰度图转换# 将BGR格式图像转换为灰度图img_h = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)  # 转换为灰度图# Sobel算子边缘检测"""使用Sobel算子计算图像梯度参数:img_h: 输入灰度图像cv2.CV_16S: 输出图像深度(16位有符号整型)1: x方向上的差分阶数1: y方向上的差分阶数ksize=3: Sobel核大小返回:包含梯度值的图像(可能有负值)"""img_sobel = cv2.Sobel(img_h,cv2.CV_16S,1,  # x方向上的差分阶数1,  # y方向上的差分阶数ksize=3  # Sobel算子大小)# 梯度绝对值处理img_j = np.abs(img_sobel)  # 取梯度绝对值，消除负值# 归一化处理max = np.max(img_j)  # 获取图像最大梯度值img_g = (img_j / max) * 255  # 归一化到0-255范围# 类型转换img_end = img_g.astype(np.uint8)  # 转换为8位无符号整型# 显示结果cv2.imshow("img_end", img_end)  # 显示处理后的图像cv2.waitKey(0)  # 等待用户按键

1.4 Laplacian（拉普拉斯）算子

上面的算子都是一阶导数求极值，在这些极值的地方，二阶倒数为0，因此梯度计算可以通过二阶倒数。

推理过程如下：

import cv2if __name__ == '__main__':# 图片文件路径path = "QiPan.jpg"# 读取图片，返回BGR格式的numpy数组# @param path 图片路径# @return numpy.ndarray BGR格式的图像数组img = cv2.imread(path)# 拉普拉斯边缘检测# @param img 输入图像# @param ddepth 输出图像深度(-1表示与输入相同)# @return numpy.ndarray 边缘检测结果img_l = cv2.Laplacian(img,-1)# 显示处理后的图像# @param winname 窗口名称# @param mat 要显示的图像cv2.imshow("Laplacian", img_l)# 等待键盘输入# @param delay 延迟时间(毫秒)，0表示无限等待cv2.waitKey(0)

拉普拉斯是二阶算子的典型代表，相比于一阶算子各有优缺点：

综上所述，一阶求导和二阶求导算法在图像梯度处理中各有优缺点，在实际应用中，应根据具体需求选择合适的方法。

二、图像边缘检测

上一章中仅仅进行梯度计算，如果要进行边缘检测需要继续优化流程

本实验使用的算法为Canny算法，此算法进行边缘检测被誉为最优方法。

Canny算法的输入图像应该为二值化图像，包括以下步骤：

1. 高斯滤波

2. 计算图像的梯度和方向

3. 非极大值抑制

4. 双阈值筛选

2.1 高斯滤波

边缘检测属于对噪点比较敏感的算法，因此需要降噪，对图像进行平滑处理，这里直接使用一个5*5的高斯核对图像降噪：

经过高斯滤波后，图下会变得更加模糊，边缘会变粗。

2.2 计算图像梯度与方向

内部使用的是Sobel算子来计算图像的梯度值，分为水平和垂直方向的核：

同时计算两个方向的梯度Gx和Gy，然后根据欧式距离（L2距离）来计算具体的梯度值：

根据三角函数，可以基于直角三角形的边长求出对应的角度：

这个角度θ就是总梯度放在哪个，按照以下规定制定角度：

根据上面的设定，可以得到每个边缘像素点所在的边缘方向：

2.3 非极大值抑制

之前使用高斯滤波会让画面的边缘变粗，但是变粗的同时边缘的也会变得模糊，因此这种图像经过梯度计算后，得到的边缘像素点会比原始图像更多，因此需要对这些像素点进行过滤。

非极大值抑制就是过滤边缘像素点的一种方法，可以让边缘变细。假设当前的像素点为(x, y)，其梯度方向是0°，梯度值为G(x, y)，需要比较G(x, y)与两个相邻像素点的梯度值：G(x, y-1)和G(x, y+1)。如果G(x, y)是这三个梯度值中最大的，就保留该梯度值，否则直接抑制为0。

经过了非极大值抑制之后，还需要经过双阈值筛选。如果阈值设置的太低，就会出现假边缘；如果阈值设置的太高，一些较弱的边缘就会被丢弃，因此适应双阈值再次筛选，需要设定高低阈值的比例。

双阈值对应的像素梯度值可以分为以下几种情况：

强边缘 → A

如果像素的梯度值超过高阈值maxVal时，该像素必然是边缘像素。

弱边缘

如果像素的梯度值低于高阈值maxVal且高于低阈值minVal时，分为以下两种情况：

(a) 如果该点能连接到一个强边缘点，该像素为边缘像素。→ C

(b) 如果该点不能连接到一个强边缘点，该像素不是边缘像素，被称为伪边缘点。 → B

非边缘

如果像素的梯度值低于低阈值minVal时，该像素必然不是边缘点。

import cv2
import numpy as npif __name__ == '__main__':# 1. 图片输入path = 'QiPan.jpg'image_np = cv2.imread(path)# 2. 灰度化image_np_gray = cv2.cvtColor(image_np, cv2.COLOR_BGR2GRAY)# 3. 二值化ret, image_np_thresh = cv2.threshold(image_np_gray, 40, 255, cv2.THRESH_BINARY)# 4.高斯滤波（可能多次效果更好）no_noise_image = cv2.GaussianBlur(image_np_thresh, (7, 7), 0)# Canny算法： 5.计算梯度与方向 + 6. 非极大值抑制 + 7. 双阈值筛选edges_image = cv2.Canny(image_np_thresh,  # 源图像30,  # 低阈值70  # 高阈值)# 8. 图片输出cv2.imshow('edges_image', edges_image)cv2.waitKey(0)

三、凸包特征检测

3.1 凸包

凸包就是将一张图片中物体的最外层的点连接起来构成的凸多边形，它能包含物体中所有的像素点。

假如在图像中有一些点：

经过凸包检测并绘制之后，应该得到下面的结果：

可以看到整个物体所有的像素点均涵盖在这个凸多边形中。

3.2 基础凸包检测算法

1. 先找到最左边和最右边的点。

2. 连接上面的两个点连接，将点集分为上半区和下半区，以上半区为例：

3. 找到上半区中离直线最远的点。

假设直线的方程为：，则点（x0，y0）到直线的公式为：

4. 把最远的像素点与之前最左和最右的像素点连接，把这两条直线明明为y1和y2。

5. 求出y1和y2的直线方程，把上半区所有的点带入计算与y1和y2的距离（分正负）：

d=0表示点在y1或y2上，可以忽略
d>0时，表示点在y1或y2上方，这表示需要更新凸包点
d<0时，表示点在y1和y2下方，忽略

6. 当上一步出现d>0的情况时，需要更新凸包点，重新连接，形成新的y2和y3：

7. 在新的y2和y3中重新反复计算新凸包点，直到上半区计算完成。

8. 下半区执行跟上半区相似的操作，但是判断条件改为寻找d<0的点。

上面的过程都是基于已知坐标点进行的处理，实际上对于未处理的图像，可能并不能直接获取点的坐标，特别是彩色图像，需要转换为二值化后的图像，并通过轮廓检测算法获取边界点的坐标。

在实际图像处理中，通常会直接调用OpenCV的函数接口提取轮廓点并应用凸包算法，不需要手动实现上述过程。这些算法已经内置，可以更加高效。

3.3 Graham扫描法

Graham扫描法是一种用于寻找二维平面上点集凸包的算法。其基本思想是先找一个基点，从这个基点出发，按照逆时针方向逐个寻找凸包点。

算法的主要步骤如下：

1. 寻找基点（P0）

通常选择y坐标最小的点，如果有多个这样的点，则选择x坐标更小的点作为基点P0，以P0为原点构建二维直角坐标系。

2. 计算剩下所有点相对P0的极角α（即该点与P0连线与x轴正方向的夹角）。

按照极角从小到大的顺序对点进行排序。如果极角相同，则比较与P0的距离，距离更近的排在前面。

3. 初始化一个栈来记录凸包点，把P0和P1入栈。

4. 扫描点集

把P2入栈，将栈顶的两个点相连（P1和P2），得到一条直线，观察下一个点P3在此直线的右侧还是左侧。

如果在右侧

说明P2不是凸包点，P2出栈，重新执行第四步（下一个点入栈）。

如果在左侧或直线上

说明下一个点P3凸包点，P3入栈，重新执行第四步（下一个点入栈）。

5. 遍历完所有点，栈中剩下的点就是凸包的顶点。按照栈的顺序（从栈底到栈顶，即逆时针顺序）输出所有的凸包点。

Graham-24111张奥博https://docs.qq.com/doc/DTXJ2TWJuU2pPbkFL

3.4 QuickHull法

在二维空间中，QuickHull用于计算凸包，采用分而治之的策略，通过递归将点集划分为更小的子集，并构建这些子集的凸包，如下所示：

3.5 Andrew扫描链法

import cv2
import numpy as npif __name__ == '__main__':# 1. 图片输入path = 'test.png'image_np = cv2.imread(path)# 2. 灰度化image_np_gray = cv2.cvtColor(image_np, cv2.COLOR_BGR2GRAY)# 3. 二值化ret, image_np_thresh = cv2.threshold(image_np_gray, 127, 255, cv2.THRESH_BINARY + cv2.THRESH_OTSU)# cv2.imshow('image_np_thresh', image_np_thresh)# 4. 寻找轮廓# 返回值1：所有轮廓的点坐标，是一个list列表# 返回值2：轮廓的层级关系contours, hierarchy = cv2.findContours(image_np_thresh,  # 二值化之后的图像cv2.RETR_EXTERNAL,  # 默认的轮廓查找方式cv2.CHAIN_APPROX_SIMPLE  # 默认的轮廓近似办法)print(len(contours))# print(contours)# print(hierarchy)# 拿到第一个轮廓的数据cnt = contours[0]print(cnt.shape)  # (296, 1, 2)表示由296个点组成，1占位，2表示xy坐标2维# 5. 查找凸包# 参数：当前轮廓的点数据（此处送入的是第一个轮廓）# 返回值：轮廓的凸包点hull = cv2.convexHull(cnt)print(hull.shape)  # (12, 1, 2)print(hull)# 6. 绘制轮廓image_np = cv2.polylines(image_np,  # 在哪个图像上画轮廓[hull],  # 凸包轮廓点的列表isClosed=True,  # TODO 是否闭合color=(0, 0, 255),  # 线段颜色thickness=2  # 线段粗度)# 7. 图片输出cv2.imshow('image_np',image_np)cv2.waitKey(0)

总结

本文系统介绍了图像处理中的梯度计算、边缘检测和凸包特征检测三大核心技术。首先，通过微分和差分理论解释了图像梯度的概念，并对比了Sobel算子和Laplacian算子在边缘检测中的优缺点。其次，详细解析了Canny算法的四步流程（高斯滤波、梯度计算、非极大值抑制、双阈值筛选），强调了其在边缘检测中的高效性。最后，深入探讨了凸包检测的三种经典算法（基础凸包检测、Graham扫描法、QuickHull法和Andrew扫描链法），结合OpenCV代码演示了实际应用。全文通过理论推导与代码实践相结合，为图像处理中的特征提取提供了全面的技术指导。