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【欧拉筛】哥德巴赫猜想题解

news 来源：原创 2025/8/25 23:27:54

哥德巴赫猜想题解

题目传送门

1292. 哥德巴赫猜想

一、题目描述

哥德巴赫猜想指出：任意一个大于4的偶数都可以拆成两个奇素数之和。给定多个偶数(6 ≤ n < 10^6)，验证它们是否符合这个猜想。对于每个偶数，输出其素数分解中两数差最大的那一组，如果找不到这样的分解，输出错误信息。

二、题目分析

我们需要验证多个偶数是否都能表示为两个素数之和。关键在于：

  1. 如何高效判断一个数是否为素数
  2. 如何快速找到满足条件的素数对
  3. 处理大量输入时的效率问题

三、解题思路

  1. 使用欧拉筛法预处理所有小于1,000,000的素数，标记非素数
  2. 对于每个输入n，从最小的奇素数3开始检查，看n-3是否为素数
  3. 找到第一个满足条件的素数对即可输出，因为从小的素数开始找，自然保证了两数差最大

四、算法讲解

欧拉筛法(线性筛)

  • 原理：每个合数只被它的最小质因数筛掉，保证O(n)时间复杂度
  • 使用场景：需要预处理大量素数或需要快速判断数是否为素数
  • 实现步骤：
    1. 初始化素数表，标记所有数为素数
    2. 遍历每个数，如果是素数就加入素数表
    3. 用当前数和素数表中的数相乘标记合数
    4. 当当前数能被素数整除时停止标记(保证每个合数只被最小质因数筛掉)
  • 例子：筛20以内的素数
    • 2是素数，加入列表，标记4
    • 3是素数，加入列表，标记6,9(3×3后停止)
    • 4不是素数，标记8(2×4)
    • 5是素数，标记10,15,25(超过20停止)
    • 依此类推…

五、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 1e6 + 10;
int prime[N];    // 存储素数的数组
bool st[N];      // 标记是否为合数，false表示素数
int cnt;         // 素数计数器// 欧拉筛法预处理素数
void ola()
{for (int i = 2; i < N; i ++){if (!st[i])  // i是素数{prime[cnt ++] = i;  // 加入素数表}// 用当前数和素数表中的数标记合数for (int j = 0; prime[j] * i < N; j ++){st[prime[j] * i] = true;  // 标记合数if (i % prime[j] == 0) break;  // 保证每个合数只被最小质因数筛掉}}
}void solve()
{int n;ola();  // 预处理素数while (cin >> n, n != 0)  // 读取输入直到遇到0{bool flag = 1;  // 标记是否找到解// 从3开始检查，每次加2保证是奇数for (int i = 3; i <= n; i ++){// 如果i和n-i都是素数if (!st[i] && !st[n - i]){flag = 0;  // 找到解cout << n << " = " << i << " + " << n - i << "\n";break;}}// 如果没有找到解(理论上不会发生)if (flag)cout << "Goldbach's conjecture is wrong.";}
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

六、重点细节

  1. 欧拉筛法的效率：预处理阶段O(n)时间复杂度，使得后续查询可以在O(1)时间内判断一个数是否为素数
  2. 素数对的查找：从小的素数开始查找，第一个找到的素数对自然就是差值最大的
  3. 输入处理：使用快速输入输出优化，处理大量数据时更高效
  4. 边界情况：题目保证n≥6，所以不需要处理更小的情况

七、复杂度分析

  • 时间复杂度：
    • 预处理阶段：O(n)，使用欧拉筛法
    • 查询阶段：最坏情况下O(n/2)，但实际运行很快，因为素数分布较密集
  • 空间复杂度：O(n)，用于存储素数标记和素数表

八、总结

本题通过欧拉筛法预处理素数表，然后对每个查询进行快速验证，有效解决了哥德巴赫猜想的验证问题。算法设计充分利用了数论知识和预处理技巧，保证了在大数据量下的高效运行。

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