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推导Bias² + Variance + σ²_ε

news 来源：原创 2025/5/8 18:05:30

问题的背景

我们有一个真实函数 $f (x)$ 和基于训练数据 $D$ 训练得到的模型 $\hat{f}(x;D)$ 。对于任意输入 $x$ ：

$y$ 是真实的观测值，定义为 $\epsilon$ ，其中 $\epsilon$ 是随机噪声，满足 $E[\epsilon] = 0$ 且 $\text{Var}(\epsilon) = \sigma^2_\epsilon$ ；
$\hat{f}(x;D)$ 是模型的预测值，依赖于训练数据 $D$ ；
期望平方误差 $\hat{f}(x;D))^2]$ 是衡量模型预测误差的指标，期望 $E[\cdot]$ 同时针对训练数据 $D$ 和噪声 $\epsilon$ 取值。

目标是证明：

$\hat{f}(x;D))^2] = \text{Bias}^2 + \text{Variance} + \sigma^2_\epsilon$

其中：

Bias（偏差）： $\text{Bias} = E[\hat{f}(x;D)] - f(x)$ ；
Variance（方差）： $\text{Variance} = E[(\hat{f}(x;D) - E[\hat{f}(x;D)])^2]$ ；
$\sigma^2_\epsilon$ ：不可约误差，即噪声的方差。

推导步骤

步骤 1：定义期望平方误差

我们从期望平方误差开始：

$\hat{f}(x;D))^2]$

由于 $\epsilon$ ，代入后得到：

$\hat{f}(x;D) = f(x) + \epsilon - \hat{f}(x;D)$

因此，期望平方误差为：

$\hat{f}(x;D))^2] = E[(f(x) + \epsilon - \hat{f}(x;D))^2]$

这里的期望 $E[\cdot]$ 是对训练数据 $D$ 和噪声 $\epsilon$ 的联合期望，即 $E_{D,\epsilon}[\cdot]$ 。

步骤 2：展开平方项

将表达式展开：

$\epsilon - \hat{f}(x;D))^2 = [f(x) - \hat{f}(x;D)]^2 + 2[f(x) - \hat{f}(x;D)]\epsilon + \epsilon^2$

对整个表达式取期望：

$\epsilon - \hat{f}(x;D))^2] = E[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2] + 2E[[f(x) - \hat{f}(x;D)]\epsilon] + E[\epsilon^2]$

步骤 3：分别计算每一项的期望

由于期望是对 $D$ 和 $\epsilon$ 取值，我们需要利用 $\epsilon$ 和 $\hat{f}(x;D)$ 的独立性（ $\epsilon$ 是数据固有的噪声，不依赖于训练数据 $D$ ）以及 $\epsilon$ 的性质（ $E[\epsilon] = 0$ ）。

第一项： $\hat{f}(x;D)]^2]$
- $f (x)$ 是固定的真实值，不依赖于 $D$ 或 $\epsilon$ ；
- $\hat{f}(x;D)$ 依赖于 $D$ ，但不依赖于 $\epsilon$ ；
- 因此， $E_{D,\epsilon}[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2] = E_D[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2]$ （因为对 $\epsilon$ 取期望不影响这一项）。
第二项： $\hat{f}(x;D)]\epsilon]$
- 由于 $\epsilon$ 与 $D$ （从而与 $\hat{f}(x;D)$ ）独立，且 $E[\epsilon] = 0$ ：
  
  $E_{D,\epsilon}[[f(x) - \hat{f}(x;D)]\epsilon] = E_D[f(x) - \hat{f}(x;D)] \cdot E[\epsilon] = E_D[f(x) - \hat{f}(x;D)] \cdot 0 = 0$
- 所以这一项为零。
第三项： $E[\epsilon^2]$
- $\epsilon$ 的方差定义为 $\text{Var}(\epsilon) = E[\epsilon^2] - (E[\epsilon])^2$ ；
- 已知 $E[\epsilon] = 0$ ，所以：
  
  $E[\epsilon^2] = \text{Var}(\epsilon) = \sigma^2_\epsilon$
- 由于 $\epsilon$ 不依赖于 $D$ ，这一项直接为 $\sigma^2_\epsilon$ 。

因此，期望平方误差简化为：

$\hat{f}(x;D))^2] = E_D[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2] + \sigma^2_\epsilon$

步骤 4：分解 $E_D[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2]$

现在需要将 $E_D[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2]$ 分解为偏差和方差两部分。定义 $\bar{f}(x) = E_D[\hat{f}(x;D)]$ 为模型预测的期望值（对所有可能的训练集 $D$ 取平均）。

在表达式中加入和减去 $\bar{f}(x)$ ：

$\hat{f}(x;D) = [f(x) - \bar{f}(x)] + [\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]$

平方后：

$\hat{f}(x;D)]^2 = [f(x) - \bar{f}(x)]^2 + 2[f(x) - \bar{f}(x)][\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)] + [\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]^2$

对 $D$ 取期望：

$E_D[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2] = E_D[[f(x) - \bar{f}(x)]^2] + 2E_D[[f(x) - \bar{f}(x)][\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]] + E_D[[\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]^2]$

逐项计算：

第一项： $E_D[[f(x) - \bar{f}(x)]^2]$
- $f (x)$ 和 $\bar{f}(x) = E_D[\hat{f}(x;D)]$ 都是固定的（不随具体的 $D$ 变化），所以：
  
  $E_D[[f(x) - \bar{f}(x)]^2] = [f(x) - \bar{f}(x)]^2$
- 根据定义， $\text{Bias} = E_D[\hat{f}(x;D)] - f(x) = \bar{f}(x) - f(x)$ ，所以：
  
  $\bar{f}(x)]^2 = [\bar{f}(x) - f(x)]^2 = (\text{Bias})^2$
第二项： $2E_D[[f(x) - \bar{f}(x)][\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]]$
- $\bar{f}(x)$ 是固定的，可提出期望：
  
  $E_D[[f(x) - \bar{f}(x)][\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]] = [f(x) - \bar{f}(x)] E_D[\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]$
- 因为 $\bar{f}(x) = E_D[\hat{f}(x;D)]$ ，所以：
  
  $E_D[\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)] = \bar{f}(x) - E_D[\hat{f}(x;D)] = \bar{f}(x) - \bar{f}(x) = 0$
- 因此这一项为零。
第三项： $E_D[[\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]^2]$
- 这一项正是模型预测的方差：
  
  $E_D[[\bar{f}(x) - \hat{f}(x;D)]^2] = E_D[(\hat{f}(x;D) - E_D[\hat{f}(x;D)])^2] = \text{Variance}$

于是：

$E_D[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2] = (\text{Bias})^2 + \text{Variance}$

步骤 5：合并结果

将分解结果代回：

$\hat{f}(x;D))^2] = E_D[[f(x) - \hat{f}(x;D)]^2] + \sigma^2_\epsilon = (\text{Bias})^2 + \text{Variance} + \sigma^2_\epsilon$

推导完成。

直观解释

Bias²（偏差平方）：衡量模型平均预测 $\bar{f}(x)$ 与真实值 $f (x)$ 的差距，反映模型的系统性误差（例如模型是否过于简单）。
Variance（方差）：衡量模型预测 $\hat{f}(x;D)$ 在不同训练集 $D$ 上的波动性，反映模型对训练数据的敏感度（例如模型是否过于复杂）。
$\sigma^2_\epsilon$ （不可约误差）：数据中固有的噪声，无法通过任何模型消除。

总结

通过将 $\hat{f}(x;D)$ 展开为真实值、模型预测和噪声的组合，展开平方项并取期望，利用 $\epsilon$ 的独立性和零均值性质，最后分解模型误差项，我们证明了：

$\hat{f}(x;D))^2] = \text{Bias}^2 + \text{Variance} + \sigma^2_\epsilon$

推导Bias² + Variance + σ²_ε

问题的背景我们有一个真实函数 f ( x ) f(x) f(x) 和基于训练数据 D D D 训练得到的模型 f ^ ( x ; D ) \hat{f}(x;D) f^(x;D)。对于任意输入 x x x： y y y 是真实的观测值，定义为 y f ( x ) ϵ y f(x) \epsilon yf(x)ϵ，其中 …...

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