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深度学习查漏补缺：4.数据分布的度量

news 来源：原创 2025/5/8 18:43:48

一、数据分布差异的度量

1.KL散度（Kullback-Leibler Divergence）

什么是KL散度？
KL散度是一种用来衡量两个概率分布之间差异的工具。你可以把它想象成一个“距离测量器”，但它不是传统意义上的距离（比如两点之间的直线距离），而是更像在比较两个分布的“相似程度”。简单来说，它告诉你：一个分布（P）有多像另一个分布（Q），或者说要把P“伪装”成Q需要付出多大的代价。

关键词：概率分布、差异、不对称。
本质：KL散度不是对称的，也就是说，P到Q的“距离”和Q到P的“距离”通常不一样。

        用一个生活中的比喻:
        假设你有两个朋友，一个喜欢吃甜食（P分布），另一个喜欢吃辣食（Q分布）。你想让甜食朋友假装成辣食朋友，去骗过一群美食家：
        如果甜食朋友（P）只知道甜品的味道，要模仿辣食朋友（Q）的口味，他需要学习辣椒的味道、麻的口感等等，这个“学习成本”就是KL散度（从P到Q）。
        反过来，如果辣食朋友（Q）要假装成甜食朋友（P），他需要学甜品的甜度和奶油味，这个“学习成本”是另一个KL散度（从Q到P）。
        因为甜食和辣食的差异方向不同，这两个“伪装成本”通常不一样。

KL散度的值越小，说明两个分布越相似；值越大，说明差异越大。

        KL散度的特点:
        1. 非负性：KL散度总是大于等于0。如果等于0，说明两个分布完全一样（P = Q）。
        2. 不对称性：从P到Q的KL散度和从Q到P的KL散度通常不同。就像甜食朋友学辣食和辣食朋友学甜食的难度不一样。
        3. 信息论背景：它来自信息论，可以理解为“用Q来编码P的信息时多花了多少力气”。

        一个简单的例子
        假设你有两袋糖果：
        袋子P：50%巧克力糖，50%水果糖。
        袋子Q：80%巧克力糖，20%水果糖。

        现在你想用袋子Q的分布（80%巧克力，20%水果）去描述袋子P（50%巧克力，50%水果）：
        在P的世界里，水果糖和巧克力糖一样常见，但Q认为水果糖很少。如果你用Q的“眼光”去看P，就会低估水果糖的出现频率。
        KL散度（P到Q）会告诉你：用Q来模拟P有多不靠谱，需要额外调整多少。

反过来，用P去模拟Q（从Q到P），则是另一种调整，因为P会高估水果糖的概率。两种方向的调整成本不同，所以KL散度不对称。

计算KL散度的大致思路：
1. 看P和Q在每个点上的概率。
2. 对每个点，算P的概率除以Q的概率，取对数，再乘以P的概率。
3. 把所有点的结果加起来，就得到了KL散度。

用糖果例子来说，就是比较每个糖果类型（巧克力、水果）的比例差异，再综合起来看总的“伪装难度”。

        总结
        KL散度是个衡量分布差异的工具，像是在问“一个分布假装成另一个分布有多难”。
        它不对称，值越小越相似，等于0时完全一样。
        在你的迁移学习任务中，可以用它挑出跟目标域最像的源域数据，或者优化模型让源域和目标域“看起来更像”。

2.Wasserstein距离

什么是Wasserstein距离？

Wasserstein距离是用来衡量两个概率分布之间差异**的一种方法。你可以把它想象成一个“搬运工”，它的任务是把一个分布的“货物”（概率质量）搬到另一个分布的位置上，而Wasserstein距离就是完成这个搬运工作所需要的最小“总成本”。

关键词：概率分布、搬运、最优成本。
本质：它考虑了分布之间的“几何形状”和“位置关系”，比KL散度更直观地反映分布的实际距离。

        用一个生活中的比喻
        想象你有两个堆沙子：
        堆P：一堆沙子在操场左边。
        堆Q：另一堆沙子在操场右边，距离左边10米。

        你的任务是用铲子把P的沙子搬到Q的位置，变成Q的形状：
        如果P和Q的沙子总量一样（都是1吨），你需要把1吨沙子从左边搬到右边10米。
        搬运的“成本”就是：沙子重量（1吨） × 搬运距离（10米） = 10吨·米。
        这个“最小搬运成本”就是Wasserstein距离。

如果P和Q的形状不同（比如P是尖尖的沙堆，Q是扁平的沙堆），你还需要调整沙子的分布形状，成本会更复杂，但核心还是“搬运距离 × 搬运量”的总和。

       Wasserstein距离的特点:
        1. 对称性：不像KL散度，Wasserstein距离是对称的，从P到Q和从Q到P的距离是一样的（搬沙子从左到右和从右到左成本相同）。
        2. 几何意义：它考虑了分布之间的“空间距离”，更像现实中的直观距离。
        3. 非负性：距离总是大于等于0，如果两个分布完全一样，距离为0。
        4. 搬运计划：它会找到最优的搬运方式，让总成本最小。

        一个简单的例子
        假设有两个商店的苹果库存分布：
        商店P：50%苹果在仓库A，50%在仓库B。
        商店Q：80%苹果在仓库A，20%在仓库B。
        仓库A和仓库B相距10公里。

        你需要把P的苹果分布调整成Q的分布：
        P有50%的苹果在B（0.5个单位），Q只有20%在B（0.2个单位），所以要从B搬0.3个单位的苹果到A。
        搬运成本 = 0.3 × 10公里 = 3公里。
        这里假设总苹果量是1个单位，Wasserstein距离就是3。

这个距离告诉你：要把P变成Q，最少需要搬运3公里·单位的苹果。反过来从Q到P也是一样的成本。

        和KL散度的区别：还记得前面讲的KL散度吗？KL散度像是在比较两个分布的“信息伪装难度”，它不关心分布的空间位置，只看概率值本身。而Wasserstein距离更像“物理搬运”，它会考虑分布的“位置”和“形状”：
        如果两个分布概率值完全一样（比如P和Q都是50% A，50% B），KL散度是0，Wasserstein距离也是0。
        但如果P和Q位置不同（比如P在左边，Q在右边10米），KL散度只看概率值可能觉得差不多，但Wasserstein距离会算上这10米的搬运成本。

        计算Wasserstein距离的大致思路：
        1. 把两个分布想象成两堆沙子。
        2. 找到一种最优的搬运方案：从P的每个点搬多少沙子到Q的每个点。
        3. 计算每条搬运路线的成本（距离 × 搬运量），然后加起来取最小值。

在实际中，计算机用优化算法（比如线性规划）来算这个最小成本。

Wasserstein距离就像一个搬运工，计算把一个分布“搬”成另一个分布的最小成本。
它对称、有几何意义，适合比较分布的位置和形状差异。

Python代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import wasserstein_distanceP = np.array([0.5, 0.5])
Q = np.array([0.8, 0.2])
categories = ['巧克力', '水果']eps = 1e-10
P = P + eps; P = P / P.sum()
Q = Q + eps; Q = Q / Q.sum()kl_div = np.sum(P * np.log(P / Q))values = np.array([0, 1])
wasserstein_dist = wasserstein_distance(values, values, P, Q)cdf_P = np.cumsum(P)
cdf_Q = np.cumsum(Q)plt.rcParams.update({'font.family': 'SimHei',  'font.size': 12,'axes.linewidth': 1.5,'lines.linewidth': 1.5,'xtick.major.width': 1.5,'ytick.major.width': 1.5,
})fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(3, 1, figsize=(8, 10), sharex=False)# 子图 1：原始分布
x = np.arange(len(categories))
width = 0.35
ax1.bar(x - width/2, P, width, label='分布 P (50%, 50%)', color='#4C78A8')
ax1.bar(x + width/2, Q, width, label='分布 Q (80%, 20%)', color='#F58518')
ax1.set_xticks(x)
ax1.set_xticklabels(categories)
ax1.set_ylabel('概率')
ax1.legend(frameon=False, loc='upper center', ncol=2)# 子图 2：KL 散度的贡献
kl_contribution = P * np.log(P / Q)
ax2.bar(x, kl_contribution, width=0.5, color='#54A24B')
ax2.set_xticks(x)
ax2.set_xticklabels(categories)
ax2.set_ylabel('KL 贡献')
ax2.set_title(f'KL 散度 (P||Q) = {kl_div:.3f}')
ax2.text(0.5, max(kl_contribution)*0.8, '非对称度量', ha='center')# 子图 3：Wasserstein 距离的 CDF 差异
ax3.step([0, 1, 2], [0, *cdf_P], 'b-', label='分布 P 的 CDF', where='post')
ax3.step([0, 1, 2], [0, *cdf_Q], 'r-', label='分布 Q 的 CDF', where='post')
ax3.fill_between([0, 1, 2], [0, *cdf_P], [0, *cdf_Q], step='post', color='green', alpha=0.3, label='传输面积')
ax3.set_xticks([1, 2])
ax3.set_xticklabels(categories)
ax3.set_xlabel('类别')
ax3.set_ylabel('累积概率')
ax3.set_title(f'Wasserstein 距离 = {wasserstein_dist:.3f}')
ax3.text(1, 0.5, '对称度量', ha='center')
ax3.legend(frameon=False, loc='upper center', ncol=3)plt.tight_layout()
plt.show()

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编程日记 2025/5/7 5:58:59

Opencv计算机视觉编程攻略-第七节提取直线、轮廓和区域

第七节提取直线、轮廓和区域 1.用Canny 算子检测图像轮廓2.用霍夫变换检测直线；3.点集的直线拟合4.提取连续区域5.计算区域的形状描述子图像的边缘区域勾画出了图像含有重要的视觉信息。正因如此，边缘可应用于目标识别等领域。但是简单的二值边缘分布图…...

编程日记 2025/5/6 10:02:38

清明假期在即

2025年4月2日，6~22℃，一般遇见的事：这么都是清明出去玩？你们不扫墓的么。感受到的情绪：当精力不放在一个人身上，你就会看到很多人，其实可以去接触的。反思：抖音上那么多不幸和幸…...

编程日记 2025/5/6 19:54:15

数字孪生技术解析：开启虚拟与现实融合新时代

一、数字孪生技术的概念与原理数字孪生技术是一种通过构建物理对象的数字映射，实现虚拟与现实同步的技术。该技术集成了物联网、云计算、人工智能、大数据等多种前沿技术，能够对物理世界进行全方位的仿真和管理。在数字孪生技术中，物理建模…...

编程日记 2025/5/5 17:50:50

Docker Registry 清理镜像最佳实践

文章目录 registry-clean1. 简介2. 功能3. 安装 docker4. 配置 docker5. 配置域名解析6. 部署 registry7. Registry API 管理8. 批量清理镜像9. 其他10. 参考 registry-clean 1. 简介 registry-clean 是一个强大而高效的解决方案，旨在简化您的 Docker 镜像仓库管理…...

编程日记 2025/5/7 17:19:06

一、数据分布差异的度量

1.KL散度（Kullback-Leibler Divergence）

2.Wasserstein距离

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