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ML 系列：第 37 节 — 统计中的估计

news 来源：原创 2025/5/7 23:15:26

文章目录

一、说明
二、统计学中估计的目的
三、统计学中的估计类型
四、什么是点估计量？
- 4.1 基本概念
- 4.2 点估计量的性质
- 4.3 点估计与区间估计
- 4.4 寻找点估计的常用方法
五、区间估计
- 5.1 什么是区间估计？
- - 5.1.1 置信区间
  - 5.1.2 预测区间
  - 5.1.3 容差区间Tolerance Interval
- 5.2 如何计算区间估计值？
- - 5.2.1 计算置信区间
  - 5.2.2 计算预测区间
  - 5.2.3 计算公差区间
  - 5.2.3 置信水平和误差幅度
- 5.3 例题和解答
六、练习题
七、统计学中估计的python例子
- 7.1 点估计
- 7.2 区间估计
八、结论

一、说明

什么是估算？统计学中的估计是使用样本数据推断或近似未知总体参数值的过程。它旨在根据代表性样本对总体做出有根据的猜测，使统计学家能够做出明智的决策和预测。

参考关键词：
Point Estimation
Interval Estimation

二、统计学中估计的目的

统计学中估计的目的是当直接测量不切实际或不可能时提供对总体参数的见解。估计使统计人员能够根据样本数据对总体做出明智的决策、预测和推断，从而促进各个领域的分析和决策。
比如，由于测量人口中的每一个成员通常不切实际，统计学家依靠样本来推断整个人口。估计有助于根据样本数据得出人口参数。

三、统计学中的估计类型

估计有两种类型，包括：

点估计：
——提供总体参数（例如样本均值、样本比例）的单一值估计。——
示例：测量随机人的身高可用于估计整个群体的平均身高。
区间估计：
——提供总体参数预计所在的值范围，通常具有指定的置信水平（例如，95% 置信区间）。——
示例：为总体平均值构建置信区间，以反映点估计的不确定性。

四、什么是点估计量？

4.1 基本概念

点估计量是用于从总体随机样本中找出总体参数近似值的函数。它们使用总体样本数据来计算点估计量或统计数据，作为总体未知参数的最佳估计值。
在这里插入图片描述

点估计图

很多时候，现有的寻找大群体参数的方法并不切合实际。例如，在计算幼儿园儿童的平均年龄时，不可能收集到世界上每个幼儿园儿童的确切年龄。统计员可以使用点估计量来估计群体参数。

4.2 点估计量的性质

以下是点估计量的主要特征：

1.偏见
点估计量的偏倚定义为估计量的期望值与被估计参数值之间的差。当参数的估计值与被估计参数的值相等时，该估计量被认为是无偏的。

此外，参数的预期值越接近被测参数的值，偏差就越小。

一致性
一致性告诉我们，随着点估计量增加，它与参数值的接近程度如何。点估计量需要较大的样本量才能更加一致和准确。

您还可以通过查看其对应的预期值和方差来检查点估计量是否一致。为了使点估计量一致，预期值应该向参数的真实值移动。

最高效或最公正
最有效的点估计量是所有无偏和一致估计量中方差最小的估计量。方差衡量估计值的离散程度，最小方差应是样本间差异最小的估计量。

一般来说，估计量的效率取决于总体的分布。例如，在正态分布中，平均值被认为比中位数更有效，但在非对称分布中则不然。

4.3 点估计与区间估计

统计学中两种主要的估计量类型是点估计量和区间估计量。点估计量与区间估计量相反。点估计量产生单个值，而区间估计量产生一系列值。

点估计量是用于估计总体未知参数值的统计数据。它使用样本数据来计算单个统计数据，该统计数据将是总体未知参数的最佳估计值。

另一方面，区间估计使用样本数据来计算总体中未知参数可能值的区间。参数的区间选择方式是使其落在 95% 或更高的概率范围内，也称为置信区间。

置信区间用于表示估计值的可靠性，它是根据观察到的数据计算得出的。区间的端点称为置信上限和置信下限。

4.4 寻找点估计的常用方法

点估计的过程涉及利用从样本数据中获得的统计量来获得总体相应未知参数的最佳估计值。可以使用多种方法来计算点估计量，每种方法都有不同的属性。

矩量法
1887 年，俄罗斯数学家帕夫努蒂·切比雪夫 (Pafnuty Chebyshev)提出了估计参数的矩法。该方法首先获取有关总体的已知事实，然后将这些事实应用于总体样本。第一步是推导出将总体矩与未知参数联系起来的方程。

下一步是抽取一个用于估计总体矩的总体样本。然后使用总体矩的样本均值求解第一步中得出的方程。这样就可以得到未知总体参数的最佳估计值。
最大似然估计量
点估计的最大似然估计法试图找到最大化似然函数的未知参数。它采用已知模型并使用这些值来比较数据集并找到最适合数据的匹配。

例如，研究人员可能想知道早产婴儿的平均体重。由于不可能测量人口中所有早产婴儿，研究人员可以从一个地方抽取样本。

由于早产儿的体重服从正态分布，研究人员可以根据样本数据，利用最大似然估计量来找到整个早产儿群体的平均体重。

五、区间估计

区间估计是统计学中的一个基本概念，它涉及估计总体参数的预期范围，而不是提供单点估计。这种方法可以更全面地了解参数的潜在值，从而深入了解估计的精度和可靠性。

通过考虑样本数据的可变性，区间估计有助于根据统计分析做出更明智的决策。无论我们处理的是均值、比例还是方差，区间估计在推断统计中都起着至关重要的作用，使研究人员能够量化其估计中的不确定性。

5.1 什么是区间估计？

区间估计是指用于估计总体参数的统计技术，通过计算参数预计在指定置信水平下落入的区间来估计总体参数。这个区间称为置信区间。区间的宽度反映了估计的精度：区间越窄表示估计越精确，区间越宽表示不确定性越大。

区间估计的类型
间隔有三种类型：

置信区间
预测区间
公差区间

5.1.1 置信区间

置信区间 (Confidence Interval：简称CI) 是从样本统计数据中得出的一系列值，这些值可能包含未知总体参数的值。它以一定的置信度（通常以百分比表示）提供参数值的估计值。区间的构造方式是，如果多次重复相同的过程，则指定的百分比的区间将包含该参数。

对于总体平均值μ。已知总体标准差σ

参数
$\overline{x}$ ：样本均值
$Z\sigma{/2}$ ：与所需置信水平相对应的Z分数
σ：总体标准差
n：样本大小

对于人口平均值μ，具有未知的总体标准偏差s。
在这里插入图片描述
$\overline{x}$ ：样本均值
$t_{\sigma{/2}}$ ：与所需置信水平相对应的Z分数,与所需置信水平和自由度 df = n - 1 对应的 t 分布值.
s：样本标准差,

对于人口比例 p：
在这里插入图片描述

$\hat{p}$ ：样本比例

举个例子：
假设我们正在估算城市成年男性的平均身高。我们随机抽取样本，计算出平均身高为 175 厘米。我们还计算出平均身高的 95% 置信区间在 173 厘米到 177 厘米之间。这意味着我们可以 95% 地确信，城市所有成年男性的真实平均身高都在 173 厘米到 177 厘米的区间内。

5.1.2 预测区间

预测区间 (PI) 是可能包含给定总体中单个新观测值的一系列值。与估计参数的置信区间不同，预测区间估计新数据点的落点，同时考虑样本的变异性和参数估计的不确定性。

对于单个新观察：
在这里插入图片描述

$t_{\sigma{/2}}$ ：对应于所需置信水平的 t 分布值
s：样本标准差
n：样本大小

例子：
假设我们有一个学生考试成绩的数据集，并建立了一个回归模型来预测未来的成绩。如果我们根据学生以前的表现预测未来学生的考试成绩，预测区间可能是 65 到 85。这意味着新生的实际分数很有可能落在此范围内。

5.1.3 容差区间Tolerance Interval

容差区间 (TI) 提供了一个范围，其中特定比例的人口在一定的置信水平下处于该范围内。它考虑了人口的变异性以及样本量，旨在确保区间覆盖特定百分比的人口。容差区间有助于了解数据在人口中的分布和传播。

公差区间的一般形式：
在这里插入图片描述

k：容差系数
s：样本标准差
例子：

考虑生产不同直径螺栓的制造过程。取样后，我们计算出直径的 95% 公差区间在 4.95 毫米和 5.05 毫米之间。这意味着我们有 95% 的信心，未来生产的所有螺栓中有 99% 的直径将在此范围内。

5.2 如何计算区间估计值？

5.2.1 计算置信区间

当总体标准差已知时，平均值的置信区间 (CI) 由以下公式给出：
在这里插入图片描述

在这里：
$\bar{x}$ 是样本平均值 ; z 是与所需置信水平相对应的 z 分数; σ是总体标准差，n 是样本大小。

5.2.2 计算预测区间

当总体标准差未知时，平均值的置信区间 (CI) 由以下公式给出：

在这里插入图片描述
$\bar{x}$ 是样本平均值 ; t 是与所需置信水平相对应的 t 分数; s是总体标准差，n 是样本大小。

5.2.3 计算公差区间

公差区间的公式更为复杂，取决于所需的置信水平和总体比例。对于正态分布，它通常涉及：
在这里插入图片描述
其中，k 是根据所需的置信度和比例从容差因子表中得出的。

5.2.3 置信水平和误差幅度

置信水平表示区间包含总体参数的确定程度。常见的置信水平有90%、95%和99%。
误差幅度表示真实参数预计会落在其中的范围。它受置信度和样本大小的影响，计算方法如下：
在这里插入图片描述

5.3 例题和解答

问题 1：给定样本平均值为 50，总体标准差为 10，样本大小为 100，计算总体平均值的 95% 置信区间。

解决方案：
置信区间求解
在这里插入图片描述
置信区间 = (48.04, 51.96)

问题 2：25 名学生的样本平均分数为 80，标准差为 5。求出真实平均分数的 90% 置信区间。

解决方案：

置信区间
在这里插入图片描述
置信区间 = (78.355, 81.645)

问题 3：一家工厂测试了 50 个材料样品的断裂强度，平均断裂强度为 3000 psi，标准差为 100 psi。计算真实平均断裂强度的 99% 置信区间。

解决方案：

置信区间
在这里插入图片描述

置信区间 = (2963.58, 3036.42)

问题 4：确定样本平均值为 200、样本大小为 30、标准差为 15 的样本平均值的 95% 置信区间。

解决方案：置信区间
在这里插入图片描述
置信区间 = (194.39, 205.61)

问题 5：研究人员从 40 名参与者那里收集数据，发现平均分数为 75，标准差为 8。总体平均值的 99% 置信区间是多少？

解决方案：置信区间。
在这里插入图片描述
置信区间 = (71.76, 78.24)

问题 6：给定样本平均值为 175 厘米、标准差为 10 厘米、样本大小为 25，计算人口平均身高的 95% 置信区间。

解决方案：
求置信区间
在这里插入图片描述
置信区间 = (170.872 厘米, 179.128 厘米)

问题 7：对 100 位顾客的调查得出的平均满意度得分为 85，标准差为 7。求出真实平均满意度得分的 99% 置信区间。

解决方案：

求置信区间
在这里插入图片描述
置信区间 = (83.1968, 86.8032)

问题 8：给定 50 名学生的平均每周学习时间 20 小时、标准差 4 小时，确定该组平均每周学习时间的 95% 置信区间。

解决方案：

求置信区间

在这里插入图片描述

置信区间 = （18.89 小时，21.11 小时）

问题 9：给定样本平均值为 110、标准差为 15、样本大小为 60，计算平均智商分数的 90% 置信区间。

解决方案：

置信区间 =
在这里插入图片描述
置信区间 = (106.82, 113.18)

问题 10：40 株植物样本的平均高度为 35 厘米，标准差为 5 厘米。确定植物真实平均高度的 95% 置信区间。

解决方案：

置信区间
在这里插入图片描述
置信区间 = (33.404 厘米, 36.596 厘米)

六、练习题

问题 1.假设样本大小为 36、样本均值为 6、样本标准差为 12，确定总体均值的 95% 置信区间。

问题 2.五十件商品样本的重量平均为 100 克，标准差为 5 克。求真实平均重量的 90% 置信区间。

问题 3.假设样本量为 25，样本平均值为 45 分钟，标准差为 3 分钟，确定学生完成考试所需平均时间的 99% 置信区间。

问题 4.测试 30 件产品后，公司发现平均缺陷率为 5%，标准差为 1%。求缺陷率的 95% 置信区间。

问题 5.假设样本大小为 40，样本平均值为 120 美元，标准差为 15 美元，置信区间为 95%，求该产品的平均价格。

问题 6.假设样本大小为 25，样本平均值为 175 厘米，标准差为 10 厘米，确定人口平均身高的 95% 置信区间。

问题 7.从对 100 名消费者的调查中得出的平均满意度得分为 85，标准差为 7。求出真实平均满意度得分的 99% 置信区间。

问题 8.给定平均值为 20 小时，标准差为 4 小时，求出该组 50 名学生每周平均学习小时数的 95% 置信区间。

问题 9.根据样本量 60、样本平均值 110 和标准差 15 确定平均智商分数的 90% 置信区间。

问题 10.四十株植物样本的平均高度为 35 厘米，标准差为 5 厘米。确定植物的真实平均高度并计算 95% 的置信区间。

七、统计学中估计的python例子

7.1 点估计

例 1：估计平均身高一名研究人员测量了 30 名学生的身高并计算平均身高，以估计学校所有学生的平均身高。

示例 2：估计缺陷产品的比例：假设您在一家工厂从事质量控制工作，您需要估计大批量产品中缺陷产品的比例。您随机选择了 100 件产品，发现其中 8 件有缺陷。

# Sample data: number of defective products in a sample of 100
sample_size = 100
defective_count = 8# Calculate sample proportion
sample_proportion_defective = defective_count / sample_size
print(f"Sample Proportion of Defective Products: {sample_proportion_defective:.2f}")

不良品抽样比例：0.08

7.2 区间估计

示例 1：平均工资的置信区间一家公司想估计其员工的平均工资。从 50 名员工的样本中，该公司计算出平均工资的 95% 置信区间。

示例：计算平均值的置信区间：我们来看一个例子，我们想估计一所大学学生的平均身高。我们将使用50 名学生的身高样本来计算平均身高的95%置信区间。

import numpy as np
import scipy.stats as stats# Sample data: heights of 50 students in cm
heights = [167, 182, 176, 160, 170, 165, 178, 174, 169, 171,168, 173, 175, 177, 166, 180, 172, 168, 164, 179,170, 175, 178, 162, 181, 167, 180, 169, 174, 177,165, 173, 170, 176, 171, 164, 168, 172, 175, 167,180, 163, 169, 174, 166, 177, 170, 172, 165, 174]# Calculate sample mean and standard error
sample_mean = np.mean(heights)
sample_std = np.std(heights, ddof=1)
sample_size = len(heights)
standard_error = sample_std / np.sqrt(sample_size)# Calculate the 95% confidence interval
confidence_level = 0.95
degrees_freedom = sample_size - 1
confidence_interval = stats.t.interval(confidence_level, degrees_freedom, sample_mean, standard_error)print(f"Sample Mean: {sample_mean:.2f} cm")
print(f"95% Confidence Interval: {confidence_interval[0]:.2f} cm to {confidence_interval[1]:.2f} cm")

样本平均值：171.56厘米
95 % 置信区间：170.00厘米至173.12厘米
在这个例子中，样本平均身高为 172.24 厘米，95% 置信区间为 170.47 厘米至 174.01 厘米。这意味着我们有 95% 的信心认为该大学所有学生的真实平均身高都在这个区间内。置信水平（例如 95%）表示如果我们从总体中抽取许多样本，区间包含该参数的次数比例。

八、结论

区间估计是一种有用的统计方法，它给出了预期总体参数值的范围。如果研究人员和学生理解并使用区间估计技术，他们可以根据统计数据做出更好的决策。对于跨学科的准确数据解释和基于证据的决策，准确的区间估计至关重要。

文章目录

一、说明

二、统计学中估计的目的

三、统计学中的估计类型

四、什么是点估计量？

4.1 基本概念

4.2 点估计量的性质

4.3 点估计与区间估计

4.4 寻找点估计的常用方法

五、区间估计

5.1 什么是区间估计？

5.1.1 置信区间

5.1.2 预测区间

5.1.3 容差区间Tolerance Interval

5.2 如何计算区间估计值？

5.2.1 计算置信区间

5.2.2 计算预测区间

5.2.3 计算公差区间

5.2.3 置信水平和误差幅度

5.3 例题和解答

六、练习题

七、统计学中估计的python例子

7.1 点估计

7.2 区间估计

八、结论

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