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计算机组成原理笔记(六)——2.2机器数的定点表示和浮点表示

news 来源：原创 2025/7/5 11:05:25

计算机在进行算术运算时，需要指出小数点的位置，根据小数点的位置是否固定，在计算机中有两种数据格式:定点表示和浮点表示。

2.2.1定点表示法

一、基本概念

定点表示法是一种小数点的位置固定不变的数据表示方式，用于表示整数或小数。根据小数点位置的不同，分为 定点整数 和 定点小数。

在这里插入图片描述

二、定点小数（纯小数）

1. 格式定义

小数点位置：固定在符号位之后（隐含），数值部分的最高有效位之前。
机器字长：包含1位符号位 + n位数值位

示例：8位定点小数（符号位1位 + 数值位7位）
格式：Xs . X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7（Xs为符号位）

2. 表示范围

原码定点小数：
$2^{-n}) \leq X \leq 1 - 2^{-n}$
补码定点小数：
$\leq X \leq 1 - 2^{-n}$

示例：8位定点小数（n=7）

类型	最大正数	最小正数	最大负数（原码）	最大负数（补码）
数值	0.1111111 (0.992)	0.0000001 (0.0078)	-0.1111111 (-0.992)	-1.0000000 (-1.0)

三、定点整数（纯整数）

1. 格式定义

小数点位置：固定在数值部分的最低位之后（隐含）。
机器字长：包含1位符号位 + n位数值位，格式如下：

示例：8位定点整数（符号位1位 + 数值位7位）
格式：Xs X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 .（Xs为符号位）

2. 表示范围

原码定点整数：
$-(2^{n} - 1) \leq X \leq 2^{n} - 1$
补码定点整数：
$-2^{n} \leq X \leq 2^{n} - 1$

示例：8位定点整数（n=7）

类型	最大正数	最小正数	最大负数（原码）	最大负数（补码）
数值	01111111 (127)	00000001 (1)	11111111 (-127)	10000000 (-128)

四、关键特性对比

特性	定点小数	定点整数
精度	由小数点后的位数决定	由整数位的位数决定
溢出处理	结果超出范围时需调整比例因子	结果超出范围直接溢出
应用场景	低精度科学计算	普通整数运算

五、溢出检测与处理

在这里插入图片描述

原码溢出规则：符号位与数值位不匹配时溢出。
补码溢出规则：次高位进位与符号位加减不一致时溢出。

六、典型例题

例1：将十进制数-0.75用8位定点小数补码表示。
解：

转为二进制：-0.75 = -0.1100₂
补码表示：符号位1，数值位取反+1 → 1.0100000

例2：计算定点整数00101101₂的原码真值（字长8位）。
解：

符号位0（正数）→ 数值部分为0101101₂ = 45 → 真值：+45

总结

优点：硬件实现简单，适合低精度运算。
缺点：表示范围有限，高精度场景需浮点数。
现代应用：广泛用于整数运算（如内存地址、计数器）。

2.2.2浮点表示法

浮点数用于表示实数，其核心特点是 小数点位置可浮动，允许在极大或极小的数值范围内保持有效精度。

一、浮点数基本组成

浮点数格式为：
$\times r^E$

符号位（1位）：0表示正数，1表示负数。
阶码（即指数）：用移码或补码表示，决定数值范围。
尾数：用原码或补码表示的纯小数，决定精度。
基数（通常为2）：隐含存储，不占实际位数。

示例结构（IEEE 754单精度）：

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二、规格化浮点数

为提高精度，尾数需满足：
$\frac{1}{2} \leq |M| < 1$
即 最高有效位必须为1（基数=2时）。例如：

合法规格化：0.1xxx…（二进制）
非法规格化：0.01xx…（需左移调整为0.1xx…）

规格化操作：

尾数左移一位，阶码减1（基数2时）。

三、IEEE 754标准详解

类型	符号位	阶码位数	尾数位数	偏移量	精度（十进制）
单精度	1	8	23	127	~7位
双精度	1	11	52	1023	~15位
扩展双精度	1	15	64	16383	~19位

存储格式示意（单精度）：
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特殊值处理：

0：阶码全0，尾数全0。
无穷大：阶码全1，尾数全0（符号位决定正负）。
NaN：阶码全1，尾数非0。

四、浮点数表示范围

值类型	计算公式（单精度）	说明
最大正数	$(2−2^{−23}) \times 2^{127}$	阶码最大，尾数全1
最小正数	$2^{−126} \times 2^{−23}$	非规格化数
最小规格化正数	$2^{−126}$	阶码最小，尾数全0
最大负数	$2^{−126})$	符号位为1，阶码最小

范围与精度对比（单精度 vs 双精度）：

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五、浮点数运算步骤

对阶：小阶向大阶对齐，右移尾数并增加阶码差值。
尾数运算：执行加减法（需处理符号位）。
规格化：调整尾数为合法形式。
舍入：按就近舍入（或截断）处理多余位。
溢出判断：检查阶码是否超出允许范围。

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六、典型问题示例

例1：转换十进制数178.125为IEEE 754单精度

二进制转换：178.125 = 10110010.001
规格化：1.0110010001×2⁷
阶码 = 127+7 = 134（移码：10000110）
尾数 = 0110010001…（隐含前导1，截断到23位）

存储结果：
0 10000110 01100100010000000000000

例2：分析0.1 + 0.2 ≠ 0.3

本质：0.1和0.2在二进制下是无限循环小数，存储时为近似值。
单精度近似误差：
- 0.1存储值 ≈ 0.100000001490116
- 0.2存储值 ≈ 0.200000002980232
- 两者之和 ≈ 0.300000004470348（≠精确0.3）

七、总结

浮点优势：动态范围大，适合科学计算。
精度局限：无法精确表示所有实数，金融计算需用定点数。

2.2.3浮点数阶码的移码表示法

在浮点数表示中，阶码（指数部分）的编码方式通常采用移码（也称为偏移码、增码），主要目的是简化浮点数的比较与运算逻辑。

1. 移码的基本概念

**移码（Bias Encoding）**是一种将真值映射到无符号整数范围的编码方法。对于n位的阶码，其移码值为：
$X]_{移} = X + 2^{n-1} - 1$
其中，偏移量（Bias）为 ( 2^{n-1} - 1 \），例如：

8位阶码的Bias为127（ $2^7 -1$ ）；
11位阶码（双精度）的Bias为1023（ $2^{10} -1$ ）

2. 移码的计算规则

假设阶码真值为 $E$ ，n位移码的转换步骤如下：

计算偏移量： $\text{Bias} = 2^{n-1} -1$ ；
真值 $E$ 加上Bias，转换为无符号整数；
将结果表示为n位二进制。

示例：对于4位阶码（Bias $E = 3$ ：
$[E]_{移} = 3 + 7 = 10 \rightarrow 1010_2$

3. 移码的关键特性

自然排序性
移码的真值按二进制自然顺序排列，无需考虑符号位，便于硬件直接比较阶码大小。
唯一零表示
真值0的移码为Bias（ $7$ ，示例为4位）。消除±0歧义，便于判断强制零值（阶码全0）。
与补码的关系
移码与补码的符号位相反，数值位相同。如：
$\text{补码：} [E]_{补}=1101 \ (E=-3) \\ \text{移码：} [E]_{移}=0101 \ (E=-3+7=4)$

4. 移码在浮点数中的优势

简化对阶操作
在浮点加减运算中，对阶时可直接比较移码的大小，无需处理符号位，加速硬件电路设计。
唯一零标准
IEEE 754规定，阶码全0且尾数全0表示机器零，保证零的唯一性。
避免溢出错判
阶码全1（如单精度255）表示无穷大或NaN，提供异常处理机制。

5. 实例分析

以8位移码（Bias $E = - 5$ 转换为移码：
$[E]_{移} = -5 + 127 = 122 \rightarrow 01111010_2$

6. 移码转换流程图

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7. 移码与IEEE 754标准

在IEEE 754单精度浮点数中：

阶码位：8位（Bias $E_{真值} \in [-126, 127]$ ；
特殊值：
- 全0（Bias）：表示零或非规格化数；
- 全1（255）：表示无穷大（∞）或非数（NaN）。

8. 总结

移码通过映射真值到无符号数域，简化浮点数运算中的阶码比较，同时保证了零的唯一表示和异常值的清晰界限，是浮点数设计的核心机制之一。需重点理解偏移量计算及与补码的转换关系。

2.2.4浮点数尾数的基数

浮点数尾数的基数（r，即底数）对浮点数的特性有重要影响。

一、尾数基数的定义

在浮点数表示法中，尾数基数r是阶码的底，与尾数的基数相同。常见取值有2、4、8、16等。公式表示为：
$\times r^E$
其中：

E为阶码（纯整数，常用移码或补码）
M为尾数（纯小数，常用原码或补码）

二、基数r对浮点数特性的影响

1. 表示范围

阶码位数(k)和基数r的关系
阶码幅度范围： $2^k ≤ E ≤ 2^k-1$
实际范围： $r^{-2^k} ≤ |N| ≤ r^{2^k}$
r增大时，同一阶码位数下表示范围呈指数级扩大（如r=4时范围比r=2大得多）。

2. 有效精度

尾数位数(n)与基数r的关系
实际精度位数： $\lceil log_2 r \rceil$
示例：当r $23/\log_2 16 = 5.75$ ），精度降低。

3. 数值分布密度

r越大，数轴上分布越稀疏
如r=16时相邻数值的间隔比r=2大，导致密度下降。

4. 规格化操作

基数影响规格化移位的位数
- 当r=2：每次左移1位 → 阶码减1
- 当r=4：每次需左移2位 → 阶码减1
  示例：原码尾数0.00101（r=2）需左移3次成为规格化数，而r=4只需左移1次。

5. 运算效率

r增大可减少移位次数
如r=16时，对阶或规格化右移次数更少，提高运算速度。

6. 机器实现复杂度

大基数需要更复杂的硬件支持
例如，IBM370短浮点采用r=16，而PDP-11使用r=2。

三、典型基数对比（32位浮点示例）

参数	r=2	r=16
规格化范围	±(1-2^-23)×2127	±(1-2^-23)×16127
最小正数	2^-1×2-128 ≈1e-38	16^-1×16-128 ≈1e-51
尾数有效二进制位数	24位（含隐含1）	5.75位（精度显著降低）
分布密度	高	低

四、基数选择策略

大型/巨型机
选较大r（如16），优先扩大范围，兼顾速度（减少移位）。
微型/嵌入式系统
选r=2，保证精度需求，适应有限硬件资源。

不同基数下的规格化过程对比

在这里插入图片描述

此图说明了不同基数下左移操作对阶码的影响差异。例如，二进制（r=2）需逐位移位，而四进制（r=4）每一次移位处理两位，大幅减少调整次数。

五、总结

尾数基数r的选择需要权衡范围、精度和效率：

优点：r↑ → 范围扩大，运算速度↑
缺点：r↑ → 精度↓，分布密度↓

理解不同基数的影响有助于在体系结构设计中做出合理选择。例如，科学计算侧重范围（选大r），而财务计算需要高精度（应选r=2）。

2.2.5IEEE754标准浮点数

一、IEEE 754标准概述

IEEE 754是计算机科学中浮点数表示的国际标准，主要用于规范浮点数的格式、运算规则及特殊数值的处理。其核心思想是通过符号位、阶码（指数）、尾数（ mantissa） 三部分表示浮点数，并通过规格化和非规格化方式优化精度与范围。

二、浮点数格式结构

以32位单精度浮点数为例，结构如下：

符号位（1位）	阶码（8位，移码表示）	尾数（23位，原码表示）
`S`	`E`	`M`

符号位（S）：0表示正数，1表示负数。
阶码（E）：移码表示，偏置值为 $2^{m-1}-1$ （m为阶码位数）。
- 单精度偏置值： $127 = 2^8 - 1$
- 双精度偏置值： $1023 = 2^{11} - 1$
尾数（M）：原码表示，规格化数最高位隐含1（不存储），非规格化数最高位为0。

三、规格化数与非规格化数

规格化数
- 形式： $\pm 1.xxxx \times 2^E$
- 隐含位：尾数最高位1被隐藏，实际有效位数为24位（单精度）/53位（双精度）。
- 用途：表示大部分正常数值，通过隐藏位提高精度。
非规格化数
- 形式： $\pm 0.xxxx \times 2^E$
- 特点：阶码全0，尾数非0，无隐含位。
- 用途：表示接近0的极小数，解决下溢问题。

四、特殊情况

数值类型	阶码全0	尾数全0	其他情况
+0/-0	是	是	符号位决定正负
±∞	是	否	阶码全1，尾数任意
NaN（非数）	是/否	否	阶码全1，尾数非0

五、浮点数运算步骤

以加法为例，分为5步：

对阶
- 目的：统一阶码，对齐小数点。
- 方法：小阶码向大阶码看齐，尾数右移（基数为2），阶码加1。
- 示例： $0.111_2 \times 2^{111}_2$ , $0.101_2 \times 2^{101}_2$
  → $y$ 右移2位，阶码变为 $2^{111}_2$ 。
尾数求和
- 按定点数加法规则运算，考虑进位/借位。
规格化
- 左规：结果形如 $0.0...01 x ...$ ，尾数左移1位，阶码减1。
- 右规：结果形如 $1. x ... x$ ，尾数右移1位，阶码加1（丢失最高位时舍入）。
舍入
- 四种方式：就近舍入（默认）、正向舍入、负向舍入、截断。
- 示例：尾数 $0.00010000...$ → 近似为 $0.0001$ （截断）或 $0.0001$ （四舍五入）。
溢出判断
- 上溢：正阶码超过最大值（如单精度 $> 127$ ）。
- 下溢：负阶码低于最小值（如单精度 $< - 126$ ），结果为0。

六、不同精度浮点数对比

类型	位数	符号位	阶码位	尾数位（显式）	总位数	偏置值	用途
单精度（float）	32	1	8	23	32	127	广泛应用，精度较低
双精度（double）	64	1	11	52	64	1023	科学计算，高精度
临时浮点数	64	1	15	64	64	16383	扩展精度，无隐含位

七、实例解析

例1：十进制0.15625转IEEE 754单精度

二进制： $0.00101_2 = 1.01 \times 2^{-3}$ 。
阶码： $\rightarrow 01111100_2$ 。
尾数：隐含1后为 $101$ ，填充20个0 → `001010000000000000000

2.2.6定点、浮点表示法与定点、浮点计算机

一、定点与浮点表示法

计算机中处理实数时，有两种基本的数据表示方法：定点表示法和浮点表示法。

1. 定点表示法

定义：小数点位置固定，分为 定点小数 和 定点整数。
结构：
- 定点小数（纯小数）：
  - 格式：符号位 + 小数部分，小数点隐含在符号位后。
  - 例：0.101101（原码）或 1.101101（补码）。
- 定点整数（纯整数）：
  - 格式：符号位 + 整数部分，小数点隐含在末尾。
  - 例：0 101101（原码）或 1 101101（补码）。

表示范围：

类型	原码范围	补码范围
定点小数	$2^{-n}) \sim (1 - 2^{-n})$	$\sim (1 - 2^{-n})$
定点整数	$-(2^{n} - 1) \sim (2^{n} - 1)$	$-2^{n} \sim (2^{n} - 1)$

2. 浮点表示法

定义：小数点位置根据阶码（指数） 浮动，格式： $(-1)^S \times M \times r^E$ ，其中 $S$ 是符号位， $M$ 是尾数， $E$ 是阶码。
IEEE 754 标准：

在这里插入图片描述

规格化与非规格化：
- 规格化数：尾数首位隐含为 1（例如 1.1011 × 2^5）。
- 非规格化数：阶码全 0，用于表示接近 0 的数。

3. 定点与浮点对比

特性	定点表示法	浮点表示法
表示范围	小	大
精度	固定（有限小数位数）	可变（牺牲部分精度）
运算复杂度	简单（仅整数运算）	复杂（需对阶、规格化）
溢出处理	数值超范围直接溢出	阶码超范围才会溢出

二、定点计算机与浮点计算机

1. 定点计算机

特点：
- 只能处理定点数，无硬件浮点运算单元。
- 浮点运算由软件模拟，效率低。
- 适用于嵌入式系统或低功耗场景。
结构：

2. 浮点计算机

特点：
- 含浮点运算部件（FPU），支持硬件浮点指令。
- 直接处理浮点数的加减乘除，效率高。
- 适用于科学计算、图形处理。
结构：

三、定点与浮点的选择

定点机适用场景：
- 实时控制（如工业仪表）。
- 需要高精度整数运算（如财务系统）。
浮点机适用场景：
- 大规模数值计算（如气象模拟）。
- 需要大范围动态数值（如图形渲染）。

四、IEEE 754 浮点运算的注意事项

精度问题：
- 浮点数无法精确表示某些十进制小数（如 0.1 + 0.2 ≈ 0.30000000000000004）。
规格化要求：
- 运算后需判断是否溢出，并进行左规或右规。

2.2.1定点表示法

一、基本概念

二、定点小数（纯小数）

1. 格式定义

2. 表示范围

三、定点整数（纯整数）

1. 格式定义

2. 表示范围

四、关键特性对比

五、溢出检测与处理

六、典型例题

总结

2.2.2浮点表示法

一、浮点数基本组成

二、规格化浮点数

三、IEEE 754标准详解

四、浮点数表示范围

五、浮点数运算步骤

六、典型问题示例

七、总结

2.2.3浮点数阶码的移码表示法

1. 移码的基本概念

2. 移码的计算规则

3. 移码的关键特性

4. 移码在浮点数中的优势

5. 实例分析

6. 移码转换流程图

7. 移码与IEEE 754标准

8. 总结

2.2.4浮点数尾数的基数

一、尾数基数的定义

二、基数r对浮点数特性的影响

1. 表示范围

2. 有效精度

3. 数值分布密度

4. 规格化操作

5. 运算效率

6. 机器实现复杂度

三、典型基数对比（32位浮点示例）

四、基数选择策略

不同基数下的规格化过程对比

五、总结

2.2.5IEEE754标准浮点数

一、IEEE 754标准概述

二、浮点数格式结构

三、规格化数与非规格化数

四、特殊情况

五、浮点数运算步骤

六、不同精度浮点数对比

七、实例解析

2.2.6定点、浮点表示法与定点、浮点计算机

一、定点与浮点表示法

1. 定点表示法

2. 浮点表示法

3. 定点与浮点对比

二、定点计算机与浮点计算机

1. 定点计算机

2. 浮点计算机

三、定点与浮点的选择

四、IEEE 754 浮点运算的注意事项

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