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新手村：逻辑回归-理解02：逻辑回归中的伯努利分布

news 来源：原创 2025/7/27 20:56:56

新手村：逻辑回归-理解02：逻辑回归中的伯努利分布

在这里插入图片描述

伯努利分布在逻辑回归中的潜在含义及其与后续推导的因果关系

1. 伯努利分布作为逻辑回归的理论基础

⭐️ 逻辑回归的核心目标是:

建模二分类问题中 目标变量 y y y 的概率分布。

伯努利分布（Bernoulli Distribution）是逻辑回归的数学基础，因为它直接描述了二元结果（如“成功”或“失败”）的概率特性：

伯努利分布的定义：

随机变量 y y y 服从参数为 p p p 的伯努利分布，即：
P ( y = 1 ) = p , P ( y = 0 ) = 1 − p P(y=1) = p, \quad P(y=0) = 1 - p P(y=1)=p,P(y=0)=1−p
其中 p p p 是事件发生的概率， 0 < p < 1 0 < p < 1 0<p<1。

逻辑回归的建模目标：

逻辑回归假设

  1. 目标变量 y y y 服从伯努利分布，
  2. 且 p p p（即 P ( y = 1 ∣ x ) P(y=1|x) P(y=1∣x)）是输入特征 x x x 的函数。

因此，逻辑回归需要通过输入特征 x x x 的线性组合来建模 p p p。

2. 对数几率(Odds)与线性组合的推导

⭐️ 逻辑回归的核心假设是:
对数几率（Logit）是输入特征的线性组合

⭐️ ⭐️ ⭐️这一假设直接来源于伯努利分布的参数 p p p 需要被建模为输入特征的函数：

推导

∵ \because ∵ ⭐️ 线性模型
z = w ⊤ x ; z=w^\top x ; z=w⊤x;
∴ \therefore ∴ ⭐️ 线性数据通过sigmoid函数转换为概率
p = σ ( z ) = 1 1 + e − w ⊤ x p = \sigma(z)= \frac{1}{1+e^{-w^\top x}} p=σ(z)=1+e−w⊤x1​

∴ \therefore ∴ ⭐️ （Odds）赔率公式

若事件发生的概率为 $ p $，则“发生与不发生的比值”称为（Odds）几率/赔率：

在这里插入图片描述

O d d s = ( p 1 − p ) = σ ( z ) 1 − σ ( z ) = 1 1 + e − w ⊤ x / e − w ⊤ x 1 + e − w ⊤ x = 1 e − w ⊤ x = e w ⊤ x Odds = \left(\frac{p}{1-p}\right) = \frac{\sigma(z)}{1-\sigma(z)} = \frac{1}{1+e^{-w^\top x}} / \frac{e^{-w^\top x}}{1+e^{-w^\top x}}=\frac{1}{e^{-w^\top x}} = e^{w^\top x} Odds=(1−pp​)=1−σ(z)σ(z)​=1+e−w⊤x1​/1+e−w⊤xe−w⊤x​=e−w⊤x1​=ew⊤x

∴ \therefore ∴ ⭐️（Log Odds）对数几率（赔率）的定义：

这个等式的核心思想是：对数几率是输入特征 x x x 的线性组合。

logit ( p ) = ln ⁡ ( p 1 − p ) = w ⊤ x \text{logit}(p) = \ln\left(\frac{p}{1-p}\right) = w^\top x logit(p)=ln(1−pp​)=w⊤x
其中 w w w 是权重向量， x x x 是输入特征。

因果关系：

因为伯努利分布的参数 p p p 需要满足 0 < p < 1 0 < p < 1 0<p<1，而线性组合 w ⊤ x w^\top x w⊤x 的取值范围是 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, +\infty) (−∞,+∞)，因此需要通过一个可逆的单调函数将线性组合映射到 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 区间，从而得到 p p p。

3. Sigmoid函数的引入

Sigmoid函数是这一映射的自然选择，其数学形式为：
p = σ ( w ⊤ x ) = 1 1 + exp ⁡ ( − w ⊤ x ) p = \sigma(w^\top x) = \frac{1}{1 + \exp(-w^\top x)} p=σ(w⊤x)=1+exp(−w⊤x)1​

  • 因果关系：
    • ⭐️ Sigmoid函数的输出范围恰好是 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)，与伯努利分布的概率 p p p 的取值范围一致。
    • ⭐️ Sigmoid函数的导数形式（ σ ( z ) ( 1 − σ ( z ) ) \sigma(z)(1-\sigma(z)) σ(z)(1−σ(z))）, 在后续的梯度计算中简化了优化过程。
    • 在广义线性模型（GLM）框架下，伯努利分布属于指数族分布，其自然参数 η \eta η 是对数几率 log ⁡ ( p / ( 1 − p ) ) \log(p/(1-p)) log(p/(1−p))，因此连接函数（link function）选择对数几率，直接导致 Sigmoid 函数的使用。
4. 交叉熵损失函数的来源

逻辑回归的损失函数选择交叉熵（Cross-Entropy），而非均方误差（MSE），这一选择与伯努利分布的概率结构直接相关：

  • ⭐️ 伯努利分布的对数似然函数：
    对于样本 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi​,yi​)，其对数似然为：
    log ⁡ P ( y i ∣ x i , w ) = y i log ⁡ p i + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − p i ) \log P(y_i | x_i, w) = y_i \log p_i + (1 - y_i)\log(1 - p_i) logP(yi​∣xi​,w)=yi​logpi​+(1−yi​)log(1−pi​)
    其中 p i = σ ( w ⊤ x i ) p_i = \sigma(w^\top x_i) pi​=σ(w⊤xi​)。
    ⭐️ 最大化对数似然等价于最小化交叉熵损失：
    Loss = − 1 N ∑ i = 1 N [ y i log ⁡ p i + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − p i ) ] \text{Loss} = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N [y_i \log p_i + (1 - y_i)\log(1 - p_i)] Loss=−N1​i=1∑N​[yi​logpi​+(1−yi​)log(1−pi​)]
  • 因果关系：
    由于逻辑回归假设 y y y 服从伯努利分布，因此损失函数必须与该分布的对数似然函数一致。交叉熵直接来源于伯努利分布的概率表达式，而均方误差则忽略了概率的非线性约束，可能导致梯度问题（如预测值接近0或1时梯度趋近于0，收敛缓慢）。
5. 广义线性模型（GLM）的框架

逻辑回归是广义线性模型（GLM）的一个特例，其推导过程严格遵循 GLM 的结构：

  • GLM 的三个要素：
    1. 随机成分：目标变量 y y y 服从伯努利分布。
    2. 系统成分：线性预测器 η = w ⊤ x \eta = w^\top x η=w⊤x。
    3. 连接函数：将线性预测器与 E ( y ∣ x ) E(y|x) E(y∣x)（即 p p p）联系起来。对于伯努利分布，连接函数选择对数几率函数：
      η = log ⁡ ( p 1 − p ) ⇒ p = σ ( η ) \eta = \log\left(\frac{p}{1-p}\right) \quad \Rightarrow \quad p = \sigma(\eta) η=log(1−pp​)⇒p=σ(η)
  • 因果关系：
    GLM 的框架要求连接函数必须与分布的特性匹配。伯努利分布的方差 Var ( y ) = p ( 1 − p ) \text{Var}(y) = p(1-p) Var(y)=p(1−p) 是均值 p p p 的函数，因此模型无需估计方差，只需通过线性组合建模均值 p p p，从而简化了模型结构。
6. 参数估计与优化

逻辑回归通过最大似然估计（MLE) 求解参数 w w w，这一过程依赖于伯努利分布的对数似然函数：

  • 极大似然估计：
    w ^ = arg ⁡ max ⁡ w ∏ i = 1 N P ( y i ∣ x i , w ) = arg ⁡ max ⁡ w ∑ i = 1 N [ y i log ⁡ p i + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − p i ) ] \hat{w} = \arg\max_w \prod_{i=1}^N P(y_i | x_i, w) = \arg\max_w \sum_{i=1}^N [y_i \log p_i + (1 - y_i)\log(1 - p_i)] w^=argwmax​i=1∏N​P(yi​∣xi​,w)=argwmax​i=1∑N​[yi​logpi​+(1−yi​)log(1−pi​)]
  • 优化方法：
    因为对数似然函数是凸函数（在 w w w 上），梯度下降或牛顿法可以高效求解全局最优解。这一凸性也源于伯努利分布的对数似然的数学性质。

总结：伯努利分布的潜在含义与后续推导的因果关系

伯努利分布的作用导致的后续推导
1. 建模二分类目标变量 y y y 的概率分布→ 线性组合的对数几率假设
2. 参数 p p p 需满足 0 < p < 1 0 < p < 1 0<p<1→ 引入 Sigmoid 函数映射到概率空间
3. 对数似然函数的形式→ 交叉熵作为损失函数的选择
4. 属于指数族分布→ 在 GLM 框架下自然推导出模型形式
5. 方差与均值的依赖关系→ 无需估计方差，简化模型参数空间

关键结论

逻辑回归的整个建模过程（从假设到损失函数设计）本质上是伯努利分布的数学特性驱动的：

  • 伯努利分布的二元性：决定了模型需要预测概率 p p p 而不是直接分类。
  • 对数几率的线性假设：通过伯努利分布的对数似然推导出，确保模型的可解释性。
  • Sigmoid 函数与交叉熵：直接来源于伯努利分布的概率表达式，保证了数学上的合理性与优化效率。

这一理论框架使得逻辑回归成为二分类问题中简洁、高效且可解释的模型。

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编程日记 2025/7/17 4:06:49

2小样本学习（Few-Shot）之相似度

目录 小样本学习的基本思路： 具体实现方法： 小样本学习的基本思路： 学习一个相似度函数similarity function：sim(x,x) 两个样本越相近，相似度越高。 比如：...

编程日记 2025/6/28 5:38:40

docker-操作实战

前言 C镜像制作 因为我平常不用&#xff0c;所以不书写了 SpringBoot 微服务镜像制作 mkdir java ca java cp /data/maxhou/myapp/xxx.jar . vi Dockerfile FROM openjdk:8 COPY ./xxx.jar /app.jar CMD ["java","-jar","/app.jar"]COPY ./…...

编程日记 2025/7/23 21:52:24

后大模型时代智能体将成为“新宠”

智能体 |未来已来 智能体 |市场井喷 智能体 |定义 智能体 |与大模型的区别 智能体 |与Copilot的区别 智能体 |企业价值 智能体 |个体价值 智能体 |开发流程 智能体 |提示词解读 智能体 |应用场景 智能体 |重难点问题...

编程日记 2025/7/22 2:20:58

【MySQL】监控MySQL

目录 使用状态变量监控MySQL 使用性能模式&#xff08;Performance Schema&#xff09;监控MySQL 1.性能模式 2.性能模式设置表 3.sys模式 使用状态变量监控MySQL 使用 show status 语句评估系统运行状况。 可以添加范围修饰符global或session来显示全局或本地状态信息。…...

编程日记 2025/7/27 20:31:18

CTF类题目复现总结-[BSidesSF2020]toast-clicker 1

一、靶场地址 https://buuoj.cn/challenges#[BSidesSF2020]toast-clicker1二、复现步骤 1、下载压缩包&#xff0c;解压是apk文件&#xff1b; 2、利用 jadx apk反编译工具&#xff1b; jadx下载地址&#xff1a;https://github.com/skylot/jadx67, 83, 68, 120, 62, 109, …...

编程日记 2025/7/24 1:12:58

（更新完）Supplementary Material——AZ-NAS

6. Supplementary Material 在本补充材料中&#xff0c;我们提供了 AZ-NAS 在 NDS [18]、NAS-Bench-201 [7] 和 MobileNetV2 [14, 19] 搜索空间上的额外结果和深入分析。 Additional results on the NDS benchmark. 神经设计空间&#xff08;NDS&#xff09; [18] 基准提供了…...

编程日记 2025/7/24 18:35:38

基于SSM框架的线上甜品销售系统(源码+lw+部署文档+讲解)，源码可白嫖!

摘要 网络技术和计算机技术发展至今&#xff0c;已经拥有了深厚的理论基础&#xff0c;并在现实中进行了充分运用&#xff0c;尤其是基于计算机运行的软件更是受到各界的关注。加上现在人们已经步入信息时代&#xff0c;所以对于信息的宣传和管理就很关键。因此网上销售信息的…...

编程日记 2025/7/27 9:58:35

TCP | 序列号和确认号 [逐包分析] | seq / ack 详解

注 &#xff1a; 本文为 “TCP 序号&#xff08;seq&#xff09;与确认序号&#xff08;ack&#xff09;” 相关文章合辑。 英文引文&#xff0c;机翻未校。 中文引文&#xff0c;略作重排。 如有内容异常&#xff0c;请看原文。 Understanding TCP Seq & Ack Numbers […...

编程日记 2025/7/24 7:48:27

Citus源码（1）分布式表行为测试

最近对citus的实现非常好奇&#xff0c;本篇对citus的行为做一些测试。本篇只测行为&#xff0c;不分析源码。后面会继续写一系列文章分析citus源码。 环境&#xff1a;3节点 PG17 with citus。 SELECT citus_set_coordinator_host(127.0.0.1, 3001); SELECT citus_add_node(1…...

编程日记 2025/7/22 13:00:22