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深度优先搜索（DFS）在排列组合问题中的应用详解：C++实现与优化

news 来源：原创 2025/7/27 21:16:19

一、排列问题（Permutations）

目标：生成所有可能的排列（元素顺序不同视为不同结果）。
示例：输入 [1,2,3]，输出所有长度为3的排列，共6种。

C++实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;void backtrack(vector<int>& nums, vector<bool>& used, vector<int>& path, vector<vector<int>>& res) {if (path.size() == nums.size()) {res.push_back(path);  // 保存当前排列return;}for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {if (!used[i]) {  // 选择未使用的元素used[i] = true;path.push_back(nums[i]);backtrack(nums, used, path, res);  // 递归path.pop_back();  // 回溯used[i] = false;}}
}vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> res;vector<bool> used(nums.size(), false);vector<int> path;backtrack(nums, used, path, res);return res;
}int main() {vector<int> nums = {1, 2, 3};auto permutations = permute(nums);for (auto& p : permutations) {for (int num : p) {cout << num << " ";}cout << endl;}return 0;
}

输出：

关键点：

去重：通过used数组标记已使用的元素，避免重复选择。
回溯：递归后需撤销当前选择（path.pop_back()和used[i] = false），以尝试其他分支。

二、组合问题（Combinations）

目标：生成所有可能的组合（元素顺序不同视为相同结果）。
示例：从 [1,2,3] 中选2个元素，输出 {1,2}, {1,3}, {2,3}。

C++实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;void backtrack(int start, int k, vector<int>& nums, vector<int>& path, vector<vector<int>>& res) {if (path.size() == k) {res.push_back(path);  // 保存当前组合return;}for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {path.push_back(nums[i]);backtrack(i + 1, k, nums, path, res);  // 下一层从i+1开始，避免重复path.pop_back();  // 回溯}
}vector<vector<int>> combine(vector<int>& nums, int k) {vector<vector<int>> res;vector<int> path;backtrack(0, k, nums, path, res);return res;
}int main() {vector<int> nums = {1, 2, 3};int k = 2;auto combinations = combine(nums, k);for (auto& c : combinations) {for (int num : c) {cout << num << " ";}cout << endl;}return 0;
}

输出：

1 2 
1 3 
2 3

关键点：

顺序控制：每次递归从i+1开始，避免选择之前的元素，保证组合无序性。
剪枝优化：若剩余元素不足以填满组合，可提前终止循环。

三、处理重复元素

1. 含重复元素的排列去重

示例：输入 [1,1,2]，输出不重复的排列 [1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]。

优化代码：

void backtrack(vector<int>& nums, vector<bool>& used, vector<int>& path, vector<vector<int>>& res) {if (path.size() == nums.size()) {res.push_back(path);return;}for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {if (used[i] || (i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && !used[i-1])) {continue;  // 跳过重复元素}used[i] = true;path.push_back(nums[i]);backtrack(nums, used, path, res);path.pop_back();used[i] = false;}
}vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());  // 必须排序vector<vector<int>> res;vector<bool> used(nums.size(), false);vector<int> path;backtrack(nums, used, path, res);return res;
}

关键点：

排序：预处理数组，使相同元素相邻。
剪枝条件：nums[i] == nums[i-1] && !used[i-1] 表示跳过重复且未被使用的元素。

2. 含重复元素的组合去重

示例：输入 [1,2,2]，输出不重复的组合 [1,2], [2,2]。

优化代码：

void backtrack(int start, int k, vector<int>& nums, vector<int>& path, vector<vector<int>>& res) {if (path.size() == k) {res.push_back(path);return;}for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {if (i > start && nums[i] == nums[i-1]) {continue;  // 跳过重复元素}path.push_back(nums[i]);backtrack(i + 1, k, nums, path, res);path.pop_back();}
}vector<vector<int>> combineUnique(vector<int>& nums, int k) {sort(nums.begin(), nums.end());  // 必须排序vector<vector<int>> res;vector<int> path;backtrack(0, k, nums, path, res);return res;
}

关键点：

排序：预处理数组，使相同元素相邻。
剪枝条件：i > start && nums[i] == nums[i-1] 跳过同一层中的重复元素。

四、时间复杂度分析

问题类型	时间复杂度	空间复杂度
排列（无重复）	O(n×n!)	O(n)
组合（无重复）	O(C(n,k) ×k)	O(k)
排列（有重复）	O(n×n!/m!)（m为重复数）	O(n)
组合（有重复）	O(C(n,k) ×k)	O(k)

五、应用场景

排列：密码破解、任务调度、路径规划。
组合：子集生成、商品搭配、团队选拔。

六、总结

DFS核心：通过递归和回溯遍历所有可能的分支。
排列与组合区别：排列关注顺序，组合不关注顺序。
去重关键：排序 + 剪枝条件（跳过重复元素）。
优化技巧：剪枝提前终止无效分支，减少递归深度。

七、排列问题例题

1、输出全排列

P1706 全排列问题 - 洛谷

算法代码：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含常用的C++标准库头文件
using namespace std;    // 使用标准命名空间int n;                  // 定义一个全局变量n，表示排列的长度
int vis[10];            // 定义一个大小为10的数组vis，用于标记某个数字是否已经被使用过
int a[10];              // 定义一个大小为10的数组a，用于存储1到n的数字
int b[10];              // 定义一个大小为10的数组b，用于存储当前生成的排列// 定义一个递归函数dfs，用于生成所有可能的排列
void dfs(int step)
{// 如果step等于n+1，说明已经生成了一个完整的排列if(step==n+1){// 输出当前排列for(int i=1;i<=n;i++){printf("%5d",b[i]);  // 每个数字占5个字符宽度}printf("\n");  // 换行return;  // 返回上一层递归}// 遍历1到n的所有数字for(int i=1;i<=n;i++){// 如果数字i没有被使用过if(vis[i]==0){b[step]=a[i];  // 将数字i放入当前排列的第step个位置vis[i]=1;      // 标记数字i为已使用dfs(step+1);   // 递归调用dfs，生成下一个位置的数字vis[i]=0;      // 回溯，取消数字i的标记}}return;  // 返回上一层递归
}int main()
{cin>>n;  // 输入排列的长度n// 初始化数组a，a[i] = ifor(int i=1;i<=n;i++){a[i]=i;          }dfs(1);  // 从第1个位置开始生成排列return 0;  // 程序正常结束
}

图解流程：

2、输出部分排列（需注意）

上述的代码是实现打印n个数的全排列，若我需要打印从 n 个数中任意选取 m 个数的排列，需要做以下两处修改：

修改 dfs 函数的终止条件：
- 原代码的终止条件是 step == n + 1，表示生成了完整的 n 个数的排列。
- 现在需要改为 step == m + 1，表示生成了 m 个数的排列。
修改主函数中的输入和初始化：
- 需要额外输入一个变量 m，表示从 n 个数中选取 m 个数进行排列。

#include<bits/stdc++.h>  // 包含常用的C++标准库头文件
using namespace std;    // 使用标准命名空间int n, m;              // 定义全局变量n和m，n表示总数，m表示选取的数的个数
int vis[10];            // 定义一个大小为10的数组vis，用于标记某个数字是否已经被使用过
int a[10];              // 定义一个大小为10的数组a，用于存储1到n的数字
int b[10];              // 定义一个大小为10的数组b，用于存储当前生成的排列// 定义一个递归函数dfs，用于生成从n个数中选取m个数的排列
void dfs(int step)
{// 如果step等于m+1，说明已经生成了一个完整的m个数的排列if(step == m + 1){// 输出当前排列for(int i = 1; i <= m; i++){printf("%5d", b[i]);  // 每个数字占5个字符宽度}printf("\n");  // 换行return;  // 返回上一层递归}// 遍历1到n的所有数字for(int i = 1; i <= n; i++){// 如果数字i没有被使用过if(vis[i] == 0){b[step] = a[i];  // 将数字i放入当前排列的第step个位置vis[i] = 1;      // 标记数字i为已使用dfs(step + 1);  // 递归调用dfs，生成下一个位置的数字vis[i] = 0;     // 回溯，取消数字i的标记}}return;  // 返回上一层递归
}int main()
{cin >> n >> m;  // 输入总数n和选取的数的个数m// 初始化数组a，a[i] = ifor(int i = 1; i <= n; i++){a[i] = i;          }dfs(1);  // 从第1个位置开始生成排列return 0;  // 程序正常结束
}

示例运行：

假设输入：

n = 4
m = 2

输出将是：

    1    21    31    42    12    32    43    13    23    44    14    24    3

3、输出组合（打印n个数中m个数的组合）（重要）

在DFS中，选择或者不选择第k个数就实现了各种组合。以下举两个例子：

（1）输出二进制

以打印000~111为例：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含常用的C++标准库头文件
using namespace std;    // 使用标准命名空间int vis[10];            // 定义一个大小为10的数组vis，用于存储当前的状态（0或1）// 定义一个递归函数dfs，用于生成所有可能的二进制组合
void dfs(int k)
{// 如果k等于4，说明已经生成了一个完整的3位二进制组合if(k == 4){// 输出当前生成的3位二进制组合for(int i = 1; i < 4; i++){cout << vis[i];  // 输出vis数组的第1到第3个元素}cout << " ";  // 换行}else{vis[k] = 0;    // 将当前位设置为0dfs(k + 1);    // 递归调用dfs，生成下一位vis[k] = 1;    // 将当前位设置为1dfs(k + 1);    // 递归调用dfs，生成下一位}
}int main()
{dfs(1);  // 从第1位开始生成二进制组合return 0;  // 程序正常结束
}

代码功能：

这段代码的功能是生成所有可能的3位二进制组合（从 000 到 111），并输出这些组合。

代码流程：

初始化：
- 定义了一个全局数组 vis，用于存储每一位的状态（0或1）。
- 数组大小为10，但实际只用到前3位（索引1到3）。
递归函数 dfs：
- 参数 k 表示当前正在处理的位数。
- 如果 k == 4，说明已经生成了一个完整的3位二进制组合，输出 vis[1] 到 vis[3] 的值。
- 否则：
  - 将当前位 vis[k] 设置为0，然后递归调用 dfs(k + 1)，生成下一位。
  - 将当前位 vis[k] 设置为1，然后递归调用 dfs(k + 1)，生成下一位。
主函数 main：
- 调用 dfs(1)，从第1位开始生成二进制组合。

输出结果：

运行代码后，输出将是所有3位二进制组合：

000 001 010 011 100 101 110 111

如果要反过来，只需交换选择数字0或1的逻辑选择代码行就可以了，输出：111 110 101 100 011 010 001 000，即：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含常用的C++标准库头文件
using namespace std;    // 使用标准命名空间int vis[10];            // 定义一个大小为10的数组vis，用于存储当前的状态（0或1）// 定义一个递归函数dfs，用于生成所有可能的二进制组合
void dfs(int k)
{// 如果k等于4，说明已经生成了一个完整的3位二进制组合if(k == 4){// 输出当前生成的3位二进制组合for(int i = 1; i < 4; i++){cout << vis[i];  // 输出vis数组的第1到第3个元素}cout << " ";  // 换行}else{vis[k] = 1;    // 将当前位设置为0dfs(k + 1);    // 递归调用dfs，生成下一位vis[k] = 0;    // 将当前位设置为1dfs(k + 1);    // 递归调用dfs，生成下一位}
}int main()
{dfs(1);  // 从第1位开始生成二进制组合return 0;  // 程序正常结束
}

（2）输出组合

以包含3个元素的集合{a,b,c}为例子，输出它的所有的子集。

#include<bits/stdc++.h>  // 包含常用的C++标准库头文件，如iostream、vector、algorithm等
using namespace std;    // 使用标准命名空间，避免每次调用标准库函数时都要加std::char a[] = {' ', 'a', 'b', 'c'};  // 定义字符数组a，包含空格和字母a、b、c，用于生成组合时选择字符
int vis[10];  // 定义状态数组vis，用于存储当前的状态（0或1），表示是否选择对应位置的字符// 定义一个递归函数dfs，用于生成所有可能的组合
void dfs(int k)
{// 如果k等于4，说明已经生成了一个完整的3位组合if(k == 4){// 输出当前生成的3位组合for(int i = 1; i < 4; i++){if(vis[i])cout << a[i];  // 如果vis[i]为1，输出字符数组a中对应的字符}cout << " ";  // 输出空格分隔不同的组合}else{vis[k] = 0;  // 将当前位设置为0，表示不选择字符数组a中的对应字符（即选择空格）dfs(k + 1);  // 递归调用dfs，生成下一位的组合vis[k] = 1;  // 将当前位设置为1，表示选择字符数组a中的对应字符dfs(k + 1);  // 递归调用dfs，生成下一位的组合}
}int main()
{dfs(1);  // 从第1位开始生成组合return 0;  // 程序正常结束
}

代码功能解释：

该代码通过递归函数 dfs 生成所有可能的3位组合，组合中的每一位可以是空格或字符 a、b、c。
vis 数组用于记录每一位是否选择字符（1表示选择，0表示不选择）。
当 k == 4 时，表示已经生成了一个完整的3位组合，此时遍历 vis 数组，输出对应的字符。
递归过程中，每次调用 dfs 时，都会尝试将当前位设置为0或1，然后继续递归生成下一位的组合。

输出示例：

运行该代码会输出所有可能的3位组合，例如：

   a b c ab ac bc abc

（其中空格表示未选择字符）

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编程日记 2025/7/24 7:48:27

Citus源码（1）分布式表行为测试

最近对citus的实现非常好奇，本篇对citus的行为做一些测试。本篇只测行为，不分析源码。后面会继续写一系列文章分析citus源码。环境：3节点 PG17 with citus。 SELECT citus_set_coordinator_host(127.0.0.1, 3001); SELECT citus_add_node(1…...

编程日记 2025/7/22 13:00:22

【AI测试必学】DeepSeek API 快速入门：获取 API Key 与调用 API 步骤详解

DeepSeek API 快速入门：获取 API Key 与调用 API 步骤详解一、获取 API Key二、调用 DeepSeek API方法 1：使用 OpenAI Python SDK 调用 DeepSeek API方法 2：使用 requests 库直接发送 HTTP 请求方法 3：使用 curl 命令相关链接一…...

编程日记 2025/7/27 6:38:26

Web前端之UniApp、Taro、ReactNative和Flutter的区别

MENU 前言介绍及公司技术差异使用方法使用场景差异注意事项打包与部署差异框架应用实例结语前言在移动应用开发领域，跨平台框架已成为开发者的得力工具。UniApp、Taro、ReactNative和Flutter它们在Android（安卓）或iOS（苹果&…...

编程日记 2025/7/22 13:34:43

[leetcode]map的用法

1. 定义和初始化定义：std::map是一个关联容器，键值对会自动根据键的值进行排序（默认是升序）。 cpp复制 map<char, int> mp; 插入元素：可以通过operator[]或insert方法插入键值对。 cpp复制 mp[a] 1; mp[b] 3…...

编程日记 2025/7/22 17:35:44

PHP大马的使用

BestShell/best_php_shell.php at master Kevil-hui/BestShell 这里用到的是这位师傅的大马（主要是从头开始写一个大马实在太麻烦了） 用pikachu靶场进行上传的测试在这里传马，这个是简单的前端校验，bp抓包改后缀就好了上传成…...

编程日记 2025/7/22 2:22:26

【CC2530 教程十】CC2530 Z-Stack 协议栈

一、Z-Stack 协议栈目录结构： Z-Stack 协议栈可以从 TI 官网免费下载，下载安装完成以后，会默认在 C 盘的根目录下创建 Texas Instruments 目录，该目录下的子目录就是安装的 Z-Stack 文件，并且在该子目录下创建Accessor…...

编程日记 2025/7/21 21:30:18

区间端点（java）(贪心问题————区间问题)

deepseek给了一种超级简单的做法我是真的想不到贪心的思路是局部最优——>全局最优这种我是真的没有想到，这样的好处就是后面便利的时候可以通过foreach循环直接便利qu的子元素也就是对应的某一个区间, 将一个二维数组变成一维数组，每一个一维…...

编程日记 2025/7/23 5:59:54

定长内存池原理及实现

目录一、池化技术二、内存池三、内存池主要解决的问题四、定长内存池的实现 1.定长内存池的原理 2.框架 3.Delete实现 4.New实现 5.性能测试五、源码 FixedMemoryPool.h test.cc 一、池化技术所谓“池化技术”，就是程序先向系统申请过量的资源&…...

编程日记 2025/7/23 14:47:02

通过php连接redis数据库

如上图所示，这是去搭建一个lamp平台， 阿帕奇和php安装好之后，php直接就被安装成阿帕奇的一个功能模块。如上图所示，这就是php作为阿帕奇的功能模块。如上图所示，我们去正常启动redis数据库。如上图所示&#xff0c…...

编程日记 2025/7/24 4:24:54

3D点云的深度学习网络分类（按照作用分类）

1. 3D目标检测（Object Detection） 用于在点云中识别和定位目标，输出3D边界框（Bounding Box）。 🔹 方法类别： 单阶段（Single-stage）：直接预测3D目标位置&am…...

编程日记 2025/7/21 5:15:43

论文解读：《Word embedding factor based multi-head attention》——基于词嵌入因子的多头注意力

原文链接：Word embedding factor based multi-head attention | Artificial Intelligence Review 多头注意力机制线性地将查询、键和值投影到不同的子空间中，允许模型从不同的角度理解输入序列，并利用输入句子序列中有关令牌之间关系的信息。…...

编程日记 2025/7/19 6:10:25

单片机和微控制器知识汇总——《器件手册--单片机、数字信号处理器和可编程逻辑器件》

目录四、单片机和微控制器 4.1 单片机(MCU/MPU/SOC) 一、定义二、主要特点三、工作原理四、主要类型五、应用领域六、选型与设计注意事项七、发展趋势 4.2 数字信号处理器(DSP/DSC) 编辑编辑一、定义二、工作原理三、结构特点四、应用领域五、选型与设计注…...

编程日记 2025/7/24 1:12:38

LeetCode hot 100 每日一题(15)——48.旋转图像

这是一道难度为中等的题目，让我们来看看题目描述： 给定一个 n n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。你必须在原地旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。提示…...

编程日记 2025/7/22 2:22:26

Java多线程精讲：线程操作与状态转换全解析

前言本章内容为作者结合学习与实践的总结整理，虽力求准确，但疏漏之处在所难免。若有任何疑问或建议，恳请读者朋友们不吝指正，共同完善知识体系，感激不尽！ 一、认识多线程（Thread&#…...

编程日记 2025/7/25 14:58:05

HashMap的位操作是什么？HashSet 的 contains 方法复杂度是多少？红黑树简单讲一下？

一、HashMap 的位操作设计 HashMap 使用位运算优化哈希计算与索引定位，核心场景如下： 哈希扰动函数计算键的哈希值时，将高16位与低16位异或： static final int hash(Object key) {int h;return (key null) ? 0 : (h key.hash…...

编程日记 2025/7/22 19:18:10

GitHub开源的容器管理面板-Dpanel

dpanel Docker安装部署二进制部署 GitHub官网一块轻量化docker可视化管理面板，由国人开发，个人觉得是比较好用的，功能都很齐全，并且可以通过修改源码，自定义前端样式等。 Docker安装部署官网部署环境&#xff1…...

编程日记 2025/7/26 21:29:46

vue-将组件内容导出为Word文档-docx

1. 安装依赖首先，我们需要安装docx库，以便在前端生成Word文档。可以通过以下命令进行安装： npm install docx 2. 实现导出功能 2.1 初始化文档使用docx库创建一个新的文档实例，并定义文档的结构和内容。我们使用Document、…...

编程日记 2025/7/27 19:59:17

一、排列问题（Permutations）

C++实现代码

关键点：

二、组合问题（Combinations）

C++实现代码

关键点：

三、处理重复元素

1. 含重复元素的排列去重

关键点：

2. 含重复元素的组合去重

关键点：

四、时间复杂度分析

五、应用场景

六、总结

七、排列问题例题

1、输出全排列

P1706 全排列问题 - 洛谷

算法代码：

图解流程：

2、输出部分排列（需注意）

修改 dfs 函数的终止条件：

修改主函数中的输入和初始化：

示例运行：

3、输出组合（打印n个数中m个数的组合）（重要）

（1）输出二进制

代码功能：

代码流程：

输出结果：

（2）输出组合

代码功能解释：

输出示例：

相关文章：

修改 `dfs` 函数的终止条件：