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[动手学习深度学习]12.权重衰退

news 来源：原创 2025/8/19 3:47:40

1.介绍

权重衰退是常见的处理过拟合的方法

  • 控制模型容量方法
    1. 把模型控制的比较小，即里面参数比较少
    2. 使参数选择范围小
  • 约束就是正则项
    每个特征的权重都大会导致模型复杂，从而导致过拟合。
    控制权重矩阵范数可以使得减少一些特征的权重，甚至使他们权重为0，从而导致模型简单，减轻过拟合

使用均方范数作为硬性限制

权重衰退即是通过控制参数选择范围来控制模型容量的

  • 公式表达：
    m i n l ( w , b ) s u b j e c t t o ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ≤ θ min\ l(w,b)\ \ subject\ to ||w||^2 ≤ \theta min l(w,b)  subject to∣∣w∣∣2≤θ
    l l l：损失函数
    w w w：参数
    b b b：偏移
    在最小化损失函数时加上限制，使参数的平方和小于一个特定的值，也就说明每个参数的值要小于 θ \theta θ开根
    通常不限制偏移b
    小的 θ \theta θ意味着更强的正则项

使用均方范数作为柔性限制

  • Df：对每个 θ \theta θ，都可以找到 λ \lambda λ使得之前的目标函数等价于下面：
    m i n l ( w , b ) + λ 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 min \ l(w,b)+\frac{\lambda}{2} || w||^2 min l(w,b)+2λ​∣∣w∣∣2
    （可以通过拉格朗日乘子来证明）
  • 超参数 λ \lambda λ控制了正则项的重要程度
    • λ = 0 \lambda=0 λ=0：无作用（当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时，即没有后面的限制，相当于上一个公式里 θ = ∞ \theta=\infty θ=∞）
    • λ → ∞ , w ∗ → 0 \lambda \rightarrow \infty, w^* \rightarrow0 λ→∞,w∗→0：相当于上面 θ → 0 \theta \rightarrow0 θ→0，也就使 w ∗ → 0 w^* \rightarrow0 w∗→0

想通过控制模型参数使模型不要太复杂时，可以通过增加 λ \lambda λ来满足需求（这里 λ \lambda λ是一个平滑的，不像以前的硬性限制）

请添加图片描述

  • 这里可以理解拉格朗日乘子法：
    • 拉格朗日乘子法原本是用于解决约束条件下的多元函数极值问题。举例，求f(x,y)的最小值，但是有约束C(x,y) = 0。乘子法给的一般思路是，构造一个新的函数g(x,y,λ) = f(x,y) +λC(x,y)，当同时满足g’x = g’y = 0时，函数取到最小值。这件结论的几何含义是，当f(x,y)与C(x,y)的等高线相切时，取到最小值。
    • 具体到机器学习这里， C ( x , y ) = w 2 − θ C(x,y) = w^2 -θ C(x,y)=w2−θ。所以视频中的黄色圆圈，代表不同θ下的约束条件。θ越小，则最终的parameter离原点越近。
  • 绿色的线就是原始损失函数l的等高线，优化损失函数l的最优解（波浪号即最优解）在中心位置
  • 当原始损失加入 λ 2 \frac{\lambda}{2} 2λ​项之后，这个项是一个二次项，假如w就两个值，x1（横轴）x2（纵轴），则在图上这个二次项的损失以原点为中心的等高线为橙色的图所示。所以合并后的损失为绿色和黄色的线加一起的损失
  • 当加上损失项后，可知原来最优解对应的二次项的损失特别大，因此原来的最优解不是加上二次项后的公式的最优解了。若沿着橙色的方向走，原有l损失值会大一些，但是二次项罚的损失会变小，当拉到平衡点以内时，惩罚项减少的值不足以原有l损失增大的值，这样w*就是惩罚项后的最优解
  • 损失函数加上正则项成为目标函数，目标函数最优解不是损失函数最优解。
    正则项就是防止达到损失函数最优导致过拟合，把损失函数最优点往外拉一拉。 鼓励权重分散，将所有特征运用起来，而不是依赖其中的少数特征，并且权重分散的话他的内积就小一点
  • l2正则项会对大叔之的权值进行惩罚

回顾平方损失：
请添加图片描述
相对原来的权重更新，再减去一个值后，使得这个权重更进一步减小，这样会导致这个权重所占的比例进一步减小请添加图片描述

参数更新法则

在这里插入图片描述
请添加图片描述

2. 代码实现（手动实现）

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

像以前一样生成一些人工数据：
在这里插入图片描述

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20,100,200,5
# 数据越简单，模型越复杂，越容易过拟合。
# num_inputs：特征维度true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1))*0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train) # 生成人工数据集
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)# 初始化模型参数
def init_params():w=torch.normal(0,1,size=(num_inputs,1), requires_grad=True)# 均值为0，方差为1，长度时num_inputs*1的向量，需要梯度b=torch.zeros(1,requires_grad=True)# b：为全0的标量return [w,b]# 定义L2范数惩罚项（核心）
def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2# 注意不要把lambda写进去，因为要写在外面def train(lambd):w, b = init_params() # 初始化模型参数net, loss = lambda X:d2l.linreg(X,w,b), d2l.squared_loss# net做了个很简单的线性回归# 损失函数用平方损失num_epochs, lr = 100, 0.003 # 因为数据量很小，所以可以多训练几次animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log', xlim=[5,num_epochs], legend=['train', 'test']) # 实现动画效果# 标准训练过程for epoch in range(num_epochs):for X,y in train_iter:# with torch.enable_grad():l = loss(net(X), y) + lambd*l2_penalty(w)  # L2范数惩罚项l.sum().backward()d2l.sgd([w,b], lr, batch_size) # 使用小批量随机梯度下降迭代模型参数if (epoch+1)%5==0:animator.add(epoch+1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

在这里插入图片描述在这里插入图片描述

3.简单实现（使用框架）

def train_concise(wd):net=nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss = nn.MSELoss()num_epoch, lr = 100,0.003trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight,"weight_decay":wd},{'params':net[0].bias}], lr=lr)# 惩罚项既可以写在目标函数里，也可以写在训练算法里，每一次更新之前把当前的w乘以衰退因子weight_decayanimator=d2l.Animator(xlabel='epochs',ylabel='loss',yscale='log',xlim=[5, num_epoch],legend=['train','test'])for epoch in range(num_epoch):for X,y in train_iter:with torch.enable_grad():trainer.zero_grad()l = loss(net(X), y)l.backward()trainer.step()if (epoch+1) % 5 == 0:animator.add(epoch+1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数是：', net[0].weight.norm().item())

在这里插入图片描述

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React.js 基础与进阶教程 React.js 是由 Facebook 开发的流行前端 JavaScript 库&#xff0c;专为构建用户界面&#xff08;UI&#xff09;设计&#xff0c;尤其适用于单页面应用&#xff08;SPA&#xff09;。它采用组件化开发模式&#xff0c;使 UI 结构更加清晰、可维护性更…...

编程日记 2025/8/19 3:40:10

Docker基础入门（一）

初识Docker 什么是Docker Docker是一个快速交付应用、运行应用的技术&#xff1a; 可以将程序及其依赖、运行环境一起打包为一个镜像&#xff0c;可以迁移到任意Linux操作系统运行时利用沙箱机制形成隔离容器&#xff0c;各个应用互不干扰启动、移除都可以通过一行命令完成&…...

编程日记 2025/8/16 12:31:21

moment.js时间处理库

目录 一、moment().isValid()验证时间是否有效 二、moment().second()获取秒数或者设置秒数 三、moment().day()获取星期或者设置星期 四、moment().add()加法操作 五、moment().subtract()减法操作 六、moment.max()最大值 七、moment.min()最小值 八、克隆时间 一、mo…...

编程日记 2025/8/17 19:25:43

基于hive的电信离线用户的行为分析系统

标题:基于hive的电信离线用户的行为分析系统 内容:1.摘要 随着电信行业的快速发展&#xff0c;用户行为数据呈现出海量、复杂的特点。为了深入了解用户行为模式&#xff0c;提升电信服务质量和精准营销能力&#xff0c;本研究旨在构建基于 Hive 的电信离线用户行为分析系统。通…...

编程日记 2025/8/16 5:25:14