当前位置：首页 > news >正文

信号处理之插值、抽取与多项滤波

news 来源：原创 2025/8/21 1:09:52

信号处理之插值、抽取与多项滤波

一、问题背景

插值(Interpolation)与抽取(Decimation)是数字信号处理中采样率转换的核心操作：

插值：在信号中插入新样本以提高采样率（ $L$ 倍）
抽取：按比例 $M$ 降低采样率（需防混叠）
多项滤波通过多相分解优化计算效率，实现高效的多速率处理。

二、数学原理

1. 插值过程

数学模型：插值因子 $L$ ，插值后信号为：
$x_{\text{up}}[n] = \begin{cases} x[n/L], & n/L \in \mathbb{Z} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
低通滤波：消除镜像频率分量，传递函数为 $H (z)$

2. 抽取过程

数学模型：抽取因子 $M$ ，抽取前需滤波防混叠：
$\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] \cdot x[nM -k]$

3. 多相分解（核心）

将滤波器 $H (z)$ 分解为 $L$ 个（插值）或 $M$ 个（抽取）子滤波器：
$\sum_{r=0}^{L-1} z^{-r} E_r(z^L)$
其中 $E_r(z)$ 为多相分量，对应不同相位延迟的子滤波器。

4、基本操作

插值与抽取的基本操作
- 插值（Interpolation）：将信号采样率提高 $L$ 倍，分为两步：
  - 插零：在原始信号 $x (n)$ 的相邻采样点间插入 $L - 1$ 个零值，得到 $x^{'} (m)$ 。
  - 滤波：通过低通滤波器 $h_{\text{int}}(k)$ 消除镜像频谱，补偿幅度损失。数学表达式为：
    $y_{\text{int}}(m) = L \cdot \sum_{k} x'(k) h_{\text{int}}(m - k)$
    其中增益因子 $L$ 用于恢复插值后信号的幅度。
- 抽取（Decimation）：将信号采样率降低 $D$ 倍，分为两步：
  - 抗混叠滤波：通过低通滤波器 $h_{\text{dec}}(k)$ 限制信号带宽，避免混叠。
  - 抽取：保留每 $D$ 个采样点中的一个，输出 $y_{\text{dec}}(n) = \sum_{k} x(k) h_{\text{dec}}(nD - k)$ 。
多级滤波设计
- CIC滤波器（级联积分梳状滤波器）：常用于高效抽取，传输函数为：
  $H_{\text{CIC}}(z) = \left( \frac{1 - z^{-D}}{1 - z^{-1}} \right)^L$
  其中 $L$ 为级数， $D$ 为抽取因子。CIC无需乘法运算，适合高速处理，但通带衰减较大，需后接补偿滤波器（如CFIR）。
- 半带滤波器（HB）：适用于2倍抽取/插值，通带截止频率为 $\pi/2$ ，半数系数为零，计算效率高。
频域分析
- 插值后信号频谱会压缩为原始带宽的 $1/ L$ ，并产生 $L - 1$ 个镜像，需通过低通滤波器（截止频率 $\pi/L$ ）抑制镜像。
- 抽取前需将信号带宽限制在 $\pi/D$ 内，否则会导致频谱混叠。

二、实现方法

插值抽取流程
- 插值实现步骤：
  1. 插入 $L - 1$ 个零值；
  2. 通过低通滤波器平滑信号；
  3. 乘以增益 $L$ 恢复幅度。
- 抽取实现步骤：
  1. 设计抗混叠滤波器；
  2. 滤波后按因子 $D$ 降采样。
多级滤波优化
- CIC + CFIR组合：
  - 第一级使用CIC进行粗抽取，降低数据速率；
  - 第二级用CFIR补偿CIC的通带衰减。
- 多相滤波结构：
  将滤波器分解为 $L$ 个子滤波器，并行处理插零后的信号，大幅减少计算量。
代码示例（CIC滤波器实现）

def cic_filter(input_signal, D, L):# 积分器部分integral = np.cumsum(input_signal)# 梳状滤波器部分delay = np.zeros_like(integral)delay[D:] = integral[:-D]comb = integral - delay# 级联L次output = comb.copy()for _ in range(L-1):output = np.cumsum(output)delay = np.zeros_like(output)delay[D:] = output[:-D]output = output - delayreturn output[::D]  # 抽取

三、多项滤波实现

1. 插值+滤波的高效结构

传统方法：上采样后滤波，计算效率低（含大量零乘）
多相优化：
- 将滤波器分解为 $L$ 个多相分支 $E_0(z), E_1(z), ..., E_{L-1}(z)$
- 输入信号直接进入对应分支，并行计算后交替输出
- 计算量降低为原来的 $1/ L$

2. 抽取+滤波的高效结构

传统方法：先滤波后下采样，计算冗余
多相优化：
- 分解滤波器为 $M$ 个分支 $E_0(z), E_1(z), ..., E_{M-1}(z)$
- 输入信号分块后分别通过分支，再下采样合并
- 计算量降低为原来的 $1/ M$

3. 插值抽取联合实现

当需要同时进行 $L$ 倍插值和 $M$ 倍抽取时：

级联结构：先插值后抽取，但需满足 $\gcd(L,M)=1$ 避免重复采样
多相联合优化：直接设计分数倍采样率转换滤波器，避免冗余计算

四、多项滤波关键公式推导

多相分解表达式

滤波器冲激响应 $h [n]$ 分解为：
$\sum_{r=0}^{L-1} e_r[m] \cdot \delta[n - r - mL]$
其中 $e_r[m] = h[r + mL]$ ，对应第 $r$ 个多相分支。

插值滤波输出

$\sum_{r=0}^{L-1} e_r[m] \cdot x\left[\left\lfloor \frac{n}{L} \right\rfloor - m \right]$

五、多项滤波实现步骤

设计原型低通滤波器：满足插值/抽取的频响要求（如截止频率 $\pi/\max(L,M)$ ）
多相分解：按 $L$ 或 $M$ 分解为子滤波器
并行滤波：输入信号分块送入多相分支
合并输出：插值时交替拼接结果，抽取时下采样合并

六、多项滤波应用场景

软件无线电（SDR）中的采样率转换
音频处理（如44.1kHz↔48kHz转换）
图像超分辨率与压缩

七、多项滤波MATLAB示例代码

% 设计插值多相滤波器
L = 4; % 插值因子
h = fir1(60, 1/L); % 原型低通滤波器
poly_phases = reshape(h, L, []); % 多相分解% 输入信号
x = randn(1,100); % 多相插值实现
output = zeros(1, L*length(x));
for i = 1:Loutput(i:L:end) = filter(poly_phases(i,:), 1, x);
end

总结：插值抽取的多项滤波通过多相分解，将计算复杂度从 $O (N)$ 降至 $O (N / L)$ 或 $O (N / M)$ ，是实时信号处理系统的核心优化技术。附上其学习研究思维导图：
在这里插入图片描述