动态规划-第2篇
前言：在上一篇文章中，我们了解了动态规划的基本概念和解决问题的基本思路。通过分解问题、存储子问题的解，动态规划为我们提供了高效的解决方案。然而，动态规划并不是一成不变的，它有很多不同的技巧和变种，能够应对各类复杂问题。
在本篇文章中，我们将深入探讨一些常见的动态规划问题及其解法，学习如何巧妙地设计状态转移方程，优化空间复杂度，并进一步掌握动态规划的核心思想。通过具体实例，你将能够更好地理解如何在实际开发中运用动态规划来解决复杂问题。🌼🌼
7. 礼物的最⼤价值（medium）
1. 题⽬链接：LCR 166. 珠宝的最高价值
2.解法（动态规划）：
算法思路：
1. 状态表⽰：
对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。
这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，此时的最⼤价值。
2. 状态转移⽅程：
对于 dp[i][j] ，我们发现想要到达 [i, j] 位置，有两种⽅式：
i. 从 [i, j] 位置的上⽅ [i - 1, j] 位置，向下⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能
拿到的礼物价值为 dp[i - 1][j] + grid[i][j] ；
ii. 从 [i, j] 位置的左边 [i, j - 1] 位置，向右⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为 dp[i][j -1] + grid[i][j]
我们要的是最⼤值，因此状态转移⽅程为：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j] 。
3. 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有的值都为 0 即可。
4. 填表顺序：
根据「状态转移⽅程」，填表的顺序是「从上往下填写每⼀⾏」，「每⼀⾏从左往右」。
5. 返回值：
根据「状态表⽰」，我们应该返回 dp[m][n] 的值。
3.C++ 算法代码：
class Solution {
public:int jewelleryValue(vector<vector<int>>& vv) {int m=vv.size();int n=vv[0].size();vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1));dp[0][0]=0;for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+vv[i-1][j-1];}}return dp[m][n];}
};8.下降路径最⼩和（medium）
1. 题⽬链接：931. 下降路径最小和 - 力扣（LeetCode）
2. 解法（动态规划）：
算法思路：
关于这⼀类题，由于我们做过类似的，因此「状态表⽰」以及「状态转移」是⽐较容易分析出来的。
⽐较难的地⽅可能就是对于「边界条件」的处理。
1. 状态表⽰：
对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
i. 从 [i, j] 位置出发，到达⽬标位置有多少种⽅式；
ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，⼀共有多少种⽅式
这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。
2. 状态转移⽅程：
对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况： i. 从正上⽅ [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置；
ii. 从左上⽅ [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
iii. 从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
我们要的是三种情况下的「最⼩值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。
于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j] 。
3. 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，需要「加上⼀⾏」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为⽆穷⼤，然后将第⼀⾏
初始化为 0 即可。
4. 填表顺序：
根据「状态表⽰」，填表的顺序是「从上往下」。
5. 返回值：
注意这⾥不是返回 dp[m][n] 的值！
题⽬要求「只要到达最后⼀⾏」就⾏了，因此这⾥应该返回「 dp 表中最后⼀⾏的最⼩值」。
3.C++ 算法代码
class Solution
{
public:
int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix)
{
// 1. 创建 dp 表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 返回结果
int n = matrix.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));
// 初始化第⼀⾏
for(int j = 0; j < n + 2; j++) dp[0][j] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j
+ 1])) + matrix[i - 1][j - 1];
int ret = INT_MAX;
for(int j = 1; j <= n; j++)
ret = min(ret, dp[n][j]);
return ret;
}
}9. 最⼩路径和（medium）
1.题目链接：64. 最小路径和 - 力扣（LeetCode）
2. 解法（动态规划）：
算法思路：
像这种表格形式的动态规划，是⾮常容易得到「状态表⽰」以及「状态转移⽅程」的，可以归结到
「不同路径」⼀类的题⾥⾯。
1. 状态表⽰：
对于这种路径类的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。
这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少。
2. 状态转移：
简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达 到达 [i, j] 位置处的最⼩路径和，那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
i. 从 [i - 1, j] 向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
ii. 从 [i, j - 1] 向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。
由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可。
也就是： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
3. 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让 dp[0][1] = dp[1][0] = 1 即可。
4. 填表顺序：
根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往
后」。
5. 返回值：
根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n] 。
3.C++ 算法代码：
class Solution
{
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid)
{
// 1. 创建 dp 表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 返回结果
int m = grid.size(), n = grid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
for(int i = 1; i <= m; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j -
1];
return dp[m][n];
}
}10. 地下城游戏（hard）
1. 题⽬链接：174. 地下城游戏 - 力扣（LeetCode）
2. 解法（动态规划）：
算法思路：
1. 状态表⽰：
这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。
这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点
数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。
综上所述，定义状态表⽰为：
dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。
2. 状态转移⽅程：
对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设 dp[i] [j] 的最终答案是 x）：
i. ⾛到右边，然后⾛向终点
那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。
通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；
ii. ⾛到下边，然后⾛向终点
那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。
通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] ；
综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：
dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]
但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变
成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的
如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i] [j] 与 1 取⼀个最⼤值即可：
dp[i][j] = max(1, dp[i][j])
3. 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让 dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。
4. 填表顺序：
根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。
5. 返回值：
根据「状态表⽰」，我们需要返回 dp[0][0] 的值。
3.C++ 算法代码：
class Solution
{
public:
int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon)
{
int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
// 建表 + 初始化
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
// 填表
for(int i = m - 1; i >= 0; i--)
for(int j = n - 1; j >= 0; j--)
{
dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j];
dp[i][j] = max(1, dp[i][j]);
}
// 返回结果
return dp[0][0];
}
}简单多状态 dp 问题
11. 按摩师（easy）
打家劫舍问题的变形~ ⼩偷变成了按摩师
1. 题⽬链接：面试题 17.16. 按摩师
2. 解法（动态规划）：
算法思路：
1. 状态表⽰：
对于简单的线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：
i. 以某个位置为结尾，巴拉巴拉；
ii. 以某个位置为起点，巴拉巴拉。
这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：
dp[i] 表⽰：选择到 i 位置时，此时的最⻓预约时⻓。
但是我们这个题在 i 位置的时候，会⾯临「选择」或者「不选择」两种抉择，所依赖的状态需要
细分：
▪ f[i] 表⽰：选择到 i 位置时， nums[i] 必选，此时的最⻓预约时⻓；
▪ g[i] 表⽰：选择到 i 位置时， nums[i] 不选，此时的最⻓预约时⻓。
2. 状态转移⽅程：
因为状态表⽰定义了两个，因此我们的状态转移⽅程也要分析两个：
对于 f[i] ：
▪ 如果 nums[i] 必选，那么我们仅需知道 i - 1 位置在不选的情况下的最⻓预约时⻓，
然后加上 nums[i] 即可，因此 f[i] = g[i - 1] + nums[i] 。
对于 g[i] ：
▪ 如果 nums[i] 不选，那么 i - 1 位置上选或者不选都可以。因此，我们需要知道 i置上选或者不选两种情况下的最⻓时⻓，因此 g[i] = max(f[i - 1], g[i])
3. 初始化：
这道题的初始化⽐较简单，因此⽆需加辅助节点，仅需初始化 f[0] = nums[0], g[0] = 0即可。
4. 填表顺序
根据「状态转移⽅程」得「从左往右，两个表⼀起填」。
5. 返回值
根据「状态表⽰」，应该返回 max(f[n - 1], g[n - 1]) 。
3.C++ 算法代码：
class Solution {
public:
int massage(vector<int>& nums) {
// 1. 创建⼀个 dp 表
// 2. 初始化
// 3. 填表
// 4. 返回值
int n = nums.size();
if(n == 0) return 0; // 处理边界条件
vector<int> f(n);
auto g = f;
f[0] = nums[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + nums[i];
g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
}
return max(f[n - 1], g[n - 1]);
}
};12. 打家劫舍II （medium）
1.题目链接： 213. 打家劫舍 II - 力扣（LeetCode）
2. 解法（动态规划）
算法思路：
这⼀个问题是「打家劫舍I」问题的变形。
上⼀个问题是⼀个「单排」的模式，这⼀个问题是⼀个「环形」的模式，也就是⾸尾是相连的。但
是我们可以将「环形」问题转化为「两个单排」问题：
a. 偷第⼀个房屋时的最⼤⾦额 x ，此时不能偷最后⼀个房⼦，因此就是偷 [0, n - 2] 区间的房⼦；
b. 不偷第⼀个房屋时的最⼤⾦额 y ，此时可以偷最后⼀个房⼦，因此就是偷 [1, n - 1] 区间的房⼦；
两种情况下的「最⼤值」，就是最终的结果。
因此，问题就转化成求「两次单排结果的最⼤值」
3. C++算法代码：
class Solution {
public:int rob(vector<int>& nums) {int n=nums.size();int f1=test(nums,2,n-2)+nums[0];//第一个偷的话int g1=test(nums,1,n-1);//第一个不偷的话return max(f1,g1);}int test(vector<int>& nums,int left,int right)//与按摩问题一样{if(left>right)return 0;int n=nums.size();vector<int> f(n);f[left]=nums[left];auto g=f;g[left]=0;for(int i=left+1;i<=right;i++){f[i]=g[i-1]+nums[i];g[i]=max(f[i-1],g[i-1]);}return max(f[right],g[right]);}
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Python Cookbook-3.16 查看汇率
任务 想周期性地(用 crontab 或者 Windows计划任务来运行某 Python 脚本)从 Web 获取数据，监视某两种货币之间的兑换比例，并在两者之间的汇率达到某个值时发送提醒邮件。 解决方案 这个任务和一系列的从 Web 获取数据的监控任务很类似，它们…...
Manus（一种AI代理或自动化工具）与DeepSeek（一种强大的语言模型或AI能力）结合使用任务自动化和智能决策
一、Manus与DeepSeek差异 十分好奇DeepSeek和Manus究竟谁更厉害些，DeepSeek是知识型大脑，Manus则是全能型执行者。即DeepSeek专注于语言处理、知识整合与专业文本生成。其核心优势在于海量参数支持的深度学习和知识推理能力，例如撰写论文、润…...
Redis存数据就像存钱：RDB定期存款 vs AOF实时记账
Redis持久化 ◆ 核心概念1. ◆ 持久化全景图2. ◆ 生产环境黄金法则 ◆ RDB深度优化1. ◆ 生产配置精要2. ◆ 高级触发场景3. ◆ 故障应急方案 ◆ AOF深度解析1. ◆ 7.0版本革命性改进2. ◆ 同步策略深度测试3. ◆ 重写过程优化 ◆ 混合持久化实战1. ◆ 配置示例2. ◆ 数据恢复…...
【从零开始学习计算机科学】编译原理（一）编译过程概述
【从零开始学习计算机科学】编译原理（一）编译过程概述 绪论编译过程概述词法分析语法分析代码优化代码生成其他功能编译器的前端和后端绪论 什么叫编译程序？为什么我们需要编译程序？编译程序就是一个程序，将便于人编写、阅读、维护的高级计算机语言所写作的源代码程序，翻…...
第十八：go 并发 goroutine
channel 可以让多个goroutine 之间实现通信 Add方法调用时机：必须在goroutine 启动之前调用Add方法来增加计数器的值。 如果在goroutine已经启动之后再调用Add，可能会导致Wait方法提前返回，因为计数器没有正确反映正在运行的goroutine的数量…...
基于QGIS的二次开发（四）：矢量编辑与属性表操作
一、实验目的 本次实验续接上一次的实验内容，旨在通过设计与开发地理信息系统的过程，加深学生对地理信息系统的理解，并掌握相关的设计与开发技能，包括熟悉地理信息系统的设计与开发流程，加强对 MVC 软件设计模式的理解…...
AI日报 - 2025年3月13日
🌟 今日概览（60秒速览） ▎🤖 AGI突破 | Reka开源21B参数推理模型Flash 3，推出企业智能平台Nexus 🔬 模型采用RLOO方法结合模型与规则基础奖励，实现高效推理 ▎💼 商业动向 | Waymo在…...
lua C语言api学习1 编译第一个程序
本文开始进行lua C语言api的学习 1 简介 lua语言与C语言使用还是很紧密,以前我只是学习lua语言比较多,C语言api部分了解比较少,最近在学习tcc编译器的使用进一步学习一下lua C语言api的使用。 2 配置编译环境 首先需配置好tcc编译器环境[参考],再配置好lua源码路径[参考],新…...
【物联网-WIFI】
物联网-WIFI ■ ESP32-C3-模块简介■ ESP32-C3-■ ESP32-C3-■ WIFI-模组■ WIFI-■ WIFI- ■ ESP32-C3-模块简介 ■ ESP32-C3- ■ ESP32-C3- ■ WIFI-模组 ■ WIFI- ■ WIFI-...
在MATLAB中实现PID控制仿真
在MATLAB中实现PID控制仿真可以通过代码编程或Simulink图形化建模两种方式完成。以下是两种方法的详细操作步骤和示例： 方法1：使用MATLAB脚本编程（基于控制系统工具箱） 步骤1：定义被控对象的数学模型 假设被控对象是…...
C#实现本地Deepseek模型及其他模型的对话v1.4
前言 系 统：Window11 开发工具：Visual Studio 2022 相关技术：C# 、WPF .Net 8.0 1、C#实现本地AI聊天功能 WPFOllamaSharpe实现本地聊天功能,可以选择使用Deepseek 及其他模型。 新增根据聊天记录回复的功能。 优化了部分ViewModelÿ…...
用sphinx-doc整理文档#2
上一篇博客：用sphinx-doc整理文档 回头看，上一篇博客已经是18年的事情了。最近我又开始维护起18年的项目了。最近策划同事提了一些需求。我又改进了一波，所以有本文。 sphinx支持导出pdf sphinx本身是支持导出pdf的，命令如下&am…...
DBeaver部分操作指南（数据库连接，构造ERD图，格式化SQL）
详细步骤指导如何使用DBeaver来连接到数据库： 步骤 1: 下载并安装 DBeaver 如果还没有安装DBeaver，请访问DBeaver官网下载适合操作系统的版本，并按照指示完成安装。 步骤 2: 启动 DBeaver 安装完成后，启动DBeaver应用程序。 …...
十种处理权重矩阵的方法及数学公式
1. 权重归一化（Weight Normalization） 目的：通过分离权重向量的范数和方向来加速训练。公式：对于权重向量 w \mathbf{w} w，归一化后的权重 w ′ \mathbf{w} w′ 为： w ′ w ∥ w ∥ \mathbf{w} \frac{…...