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Adam 优化器与动量法：二阶矩与 ODE 的联系

news 来源：原创 2025/8/26 22:11:31

Adam 优化器与动量法：二阶矩与 ODE 的联系

作为深度学习研究者，你一定对 Adam（Adaptive Moment Estimation）优化器非常熟悉。它因自适应学习率和高效率而成为训练神经网络的标配算法。Adam 使用了一阶动量（梯度的指数移动平均）和二阶动量（梯度平方的指数移动平均），这让人不禁联想到动量法：Adam 是不是动量法的一种变种？它也能用 ODE（普通微分方程）来描述吗？本篇博客将以直观的语言，面向深度学习研究者，探讨 Adam 与动量法的关系，以及如何从连续视角用 ODE 理解 Adam。

Adam 优化器：核心机制

先回顾 Adam 的更新规则。给定目标函数 ( $f (x)$ )，Adam 的迭代步骤如下：

计算梯度：
$g_t = \nabla f(x_t)$
更新一阶动量（均值）：
$m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t$
更新二阶动量（未中心化的方差）：
$v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) g_t^2$
偏差校正：
$\hat{m}_t = \frac{m_t}{1 - \beta_1^t}, \quad \hat{v}_t = \frac{v_t}{1 - \beta_2^t}$
参数更新：
$x_{t+1} = x_t - \eta \frac{\hat{m}_t}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon}$

( $\beta_1$ )（如 0.9）：一阶动量的衰减率。
( $\beta_2$ )（如 0.999）：二阶动量的衰减率。
( $\eta$ )：学习率。
( $\epsilon$ )：小常数，防止除零。

Adam 的“动量”体现在 ( $m_t$ )（类似动量法的速度）和 ( $v_t$ )（自适应调整步长），但它与传统动量法有显著区别。

Adam 是动量法吗？

相似之处

一阶动量：( $m_t$ ) 是梯度的指数移动平均，类似于动量法（可以参考笔者的另一篇博客：动量法与带阻尼的二阶 ODE：从离散优化到连续动态的奇妙联系）中的 ( $v_t = \gamma v_{t-1} - \eta \nabla f(x_t)$ )。两者都利用历史梯度平滑更新方向。
加速效果：Adam 和动量法都能加速收敛，尤其在平坦区域或梯度噪声大的情况下。

不同之处

二阶动量：动量法没有 ( $v_t$ ) 这样的二阶矩。Adam 的 ( $v_t$ ) 估计梯度的未中心化方差，用于自适应调整学习率（( $\frac{\eta}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon}$ )），而动量法只依赖固定学习率。
更新规则：动量法直接用速度 ( $v_t$ ) 更新参数，Adam 则将 ( $m_t$ ) 除以 ( $\sqrt{v_t}$ )，引入了尺度自适应性。
物理类比：动量法像带阻尼的小球滚动，Adam 更像一个“智能小球”，根据路径的“颠簸程度”（梯度方差）动态调整步伐。

结论：Adam 可以看作是动量法的扩展，但严格来说不是传统动量法。它融合了动量法（一阶）和 RMSProp（二阶）的思想，是一种更复杂的自适应优化算法。

Adam 能用 ODE 描述吗？

动量法可以用带阻尼的二阶 ODE 表示：
$\frac{d^2 x}{dt^2} + \mu \frac{dx}{dt} + \beta \nabla f(x) = 0$
Adam 引入了二阶动量，它也能用 ODE 表示吗？答案是肯定的，但会比动量法复杂一些，因为 Adam 的动态涉及两个辅助变量（( $m$ ) 和 ( $v$ )）的耦合演化。

从离散到连续的推导

假设时间步长为 ( $\Delta t$ )，将 Adam 的更新看作连续过程：

一阶动量 ( $m_t$ )：
$m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t$
两边减去 ( $m_{t-1}$ ) 并除以 ( $\Delta t$ )：
$\frac{m_t - m_{t-1}}{\Delta t} = \frac{(\beta_1 - 1) m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t}{\Delta t}$
令 ( $\mu_1 = \frac{1 - \beta_1}{\Delta t}$ )，当 ( $\Delta t \to 0$ )：
$\frac{dm}{dt} = -\mu_1 m + \mu_1 \nabla f(x)$
这是一个一阶 ODE，描述 ( $m (t)$ ) 随时间趋向梯度的指数加权平均。
二阶动量 ( $v_t$ )：
$v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) g_t^2$
类似地，令 ( $\mu_2 = \frac{1 - \beta_2}{\Delta t}$ )：
$\frac{dv}{dt} = -\mu_2 v + \mu_2 \nabla f(x)^2$
这是另一个一阶 ODE，描述 ( $v (t)$ ) 趋向梯度平方的加权平均。
参数更新 ( $x_t$ )：
$x_{t+1} = x_t - \eta \frac{\hat{m}_t}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon}$
忽略偏差校正（假设 ( $t$ ) 较大，( $\beta_1^t, \beta_2^t \to 0$ )），近似为：
$\frac{x_{t+1} - x_t}{\Delta t} = -\eta \frac{m_t}{\sqrt{v_t} + \epsilon}$
当 ( $\Delta t \to 0$ )：
$\frac{dx}{dt} = -\eta \frac{m}{\sqrt{v} + \epsilon}$

Adam 的 ODE 系统

综合上述，Adam 对应一个耦合的 ODE 系统：
$\frac{dx}{dt} = -\eta \frac{m}{\sqrt{v} + \epsilon}$
$\frac{dm}{dt} = -\mu_1 m + \mu_1 \nabla f(x)$
$\frac{dv}{dt} = -\mu_2 v + \mu_2 \nabla f(x)^2$

( $x (t)$ )：参数随时间的轨迹。
( $m (t)$ )：一阶动量的连续演化。
( $v (t)$ )：二阶动量的连续演化。

是否二阶 ODE？

动量法：通过 ( $\frac{dx}{dt}$ ) 消去速度，得到二阶 ODE。
Adam：( $m$ ) 和 ( $v$ ) 是独立的动态变量，无法直接消去为一阶导数，因此是三个一阶 ODE 的系统，而非单个二阶 ODE。但从物理意义上，它仍有“加速度”的影子，因为 ( $m$ ) 和 ( $v$ ) 的变化影响 ( $x$ ) 的更新速率。

物理类比与直观理解

动量法：像一个小球受阻尼和梯度力推动。
Adam：像一个“自适应小球”，不仅有速度（( $m$ )），还根据路径“颠簸”（( $v$ )）调整步伐。( $\sqrt{v}$ ) 像一个动态摩擦系数，让小球在梯度大的地方慢行，在平坦处快走。

当 ( $\to \infty$ )：

( $\frac{dm}{dt} \to 0$ )，则 ( $\to \nabla f(x)$ )。
( $\frac{dv}{dt} \to 0$ )，则 ( $\to \nabla f(x)^2$ )。
( $\frac{dx}{dt} \to 0$ )，则 ( $\nabla f(x) \to 0$ )，( $x$ ) 收敛到最优解。

与深度学习的联系

自适应性：( $v$ ) 的引入让 Adam 比动量法更灵活，尤其在深度网络的高维、噪声梯度中表现优异。
ODE 视角：Adam 的连续形式揭示了其动态平衡过程，与扩散模型中的概率流 ODE 有类似的多变量耦合特性。

总结

Adam 优化器虽然不是传统动量法，但通过一阶动量 ( m ) 和二阶动量 ( $v$ )继承并扩展了动量的思想。它的离散更新可以转化为一个三变量 ODE 系统：
$\frac{dx}{dt} = -\eta \frac{m}{\sqrt{v} + \epsilon}, \quad \frac{dm}{dt} = -\mu_1 m + \mu_1 \nabla f(x), \quad \frac{dv}{dt} = -\mu_2 v + \mu_2 \nabla f(x)^2$
这不是二阶 ODE，而是耦合的一阶系统，体现了自适应优化的复杂动态。对于深度学习研究者来说，这种 ODE 视角不仅加深了对 Adam 的理解，还为探索连续优化方法提供了灵感。

注：推导简化了偏差校正的影响，实际 ODE 可能更复杂，但核心思想一致。

后记

2025年3月8日19点46分于上海，在Grok3大模型辅助下完成。

Adam 优化器与动量法：二阶矩与 ODE 的联系

Adam 优化器：核心机制

Adam 是动量法吗？

相似之处

不同之处

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从离散到连续的推导

Adam 的 ODE 系统

是否二阶 ODE？

物理类比与直观理解

与深度学习的联系

总结

后记

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