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Leetcode 62: 不同路径

news 来源：原创 2025/8/26 22:09:17

Leetcode 62: 不同路径

问题描述：
一个机器人位于一个 (m \times n) 网格的左上角（起始点位于 ((0, 0))）。
机器人每次只能向下或向右移动一步。网格的右下角为终点（位于 ((m-1, n-1))）。
计算机器人从左上角到右下角的不同路径总数。

适合面试的解法：动态规划（DP）

动态规划（DP）是一种经典的方法，非常适合解决路径问题。通过定义状态和状态转移方程，我们可以高效地求解从起点到终点的路径数。

解题思路

核心步骤：动态规划

1. 状态定义
  • 定义 dp[i][j] 表示从起点 ((0, 0)) 到达位置 ((i, j)) 的不同路径数。
2. 状态转移方程
  • 机器人从当前位置 ((i, j)) 可以通过以下两种方式到达：
    1. 从上方位置 ((i-1, j)) 移动到达；
    2. 从左侧位置 ((i, j-1)) 移动到达。
  • 因此，状态转移方程为：
    [
    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    ]
3. 初始化
  • 初始位置：dp[0][0] = 1，当前位置本身是一条路径。
  • 第一行（只能从左侧到达）：dp[0][j] = 1，对于所有列 (j)。
  • 第一列（只能从上方到达）：dp[i][0] = 1，对于所有行 (i)。
4. 结果
  • 网格右下角的值 dp[m-1][n-1] 即为最终解。

代码模板：动态规划（二维数组版）

class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {// Step 1: 初始化 DP 数组int[][] dp = new int[m][n];// Step 2: 初始化第一行和第一列for (int i = 0; i < m; i++) {dp[i][0] = 1; // 第一列全部为 1}for (int j = 0; j < n; j++) {dp[0][j] = 1; // 第一行全部为 1}// Step 3: 填充 DP 表for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; // 从上方或左侧到达}}// Step 4: 返回最终结果return dp[m-1][n-1];}
}

复杂度分析

  1. 时间复杂度：

    • DP 表填充覆盖整个网格，复杂度为 (O(m \times n))。

  2. 空间复杂度：

    • 使用 (m \times n) 的二维 DP 数组存储状态，空间复杂度为 (O(m \times n))。

如何优化空间（滚动数组）

二维数组中的当前行状态仅依赖于上一行状态，所以可以将二维数组优化为一维数组，只记录当前行状态，从而降低空间复杂度。

代码模板：动态规划（滚动数组版）

class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {// Step 1: 初始化滚动数组int[] dp = new int[n];dp[0] = 1; // 第一列的起始值为 1// Step 2: 填充 DP 数组for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]; // 更新当前列的值}}// Step 3: 返回最后结果return dp[n-1];}
}

复杂度分析（优化版）

  1. 时间复杂度：

    • 与二维 DP 相同，需要遍历整个网格，计算复杂度为 (O(m \times n))。

  2. 空间复杂度：

    • 使用一维 DP 数组代替二维数组，空间复杂度优化为 (O(n))。

测试用例

示例 1：

输入：

m = 3, n = 2

输出：

3

解释：有三条不同路径：

  1. 向右 -> 向右 -> 向下
  2. 向右 -> 向下 -> 向右
  3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：

输入：

m = 7, n = 3

输出：

28
示例 3：

输入：

m = 1, n = 1

输出：

1

解释：机器人已经在终点。

如何快速 AC（面试技巧）

1. 清晰解释动态规划的状态定义

  • 将问题从寻找路径具体过程，转化为确定当前网格每个点的路径总数。
  • 用 dp[i][j] 表示子问题的解，可以来源于状态转移公式。

2. 时间复杂度与空间优化

  • 明确整个解法的时间复杂度是 (O(m \times n))。
  • 提出滚动数组优化，进一步降低空间复杂度到 (O(n))。

3. 注重边界条件

  • 初始行或列的路径只有一种，这是很多面试中容易忽略的细节。
  • 边界处理清晰且代码易于扩展。

总结

适合面试的解法：动态规划

  • 推荐解法是 动态规划，解释清晰且实现容易，适合从基础到高级的面试场景。
  • 经典解：二维 DP 表
    • 空间复杂度 (O(m \times n))，直观清楚。
  • 优化解：滚动数组
    • 通过空间优化，复杂度降低至 (O(n))，展示更优秀的设计能力。

如何快速 AC：

  1. 明确动态规划解法的定义：
    • 状态 (dp[i][j])，状态转移关系，最终结果提取逻辑。
  2. 代码实现简洁：
    • 看似简单的边界条件，不容忽略。
  3. 优化问题扩展：
    • 提及滚动数组优化思路，覆盖不同场景。

用动态规划解法，能够快速完成该问题的求解，非常适合面试环境，既能展示逻辑能力，也体现编码效率！

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