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集合论之集合的表示法

news 来源：原创 2025/8/30 7:28:33

1. 说明

2. 常用表示法

2.1 枚举法(Roster Notation)

2.2 构建法(Set-builder notation)

3. 其它表示法

1. 说明

要表示一个集合，可以直接列出其元素，或者提供一种可以唯一地刻画其元素的方当。

2. 常用表示法

2.1 枚举法(Roster Notation)

列表法(poster notation)或枚举法(enumeration notation)是由 Ernst Zermelo (德国数学家)于 1908 年引入的一种记法。方法是在一对花括号(大括号)间逐个列出集合的元素，元素之间用逗号分隔。例如，{1,2,3,4} ,{蓝，白，红} 。

当生成所有集合元素有明确的模式时，可以使用省略号来缩写符号。例如，

对于不大于 1000 的正整数，可以写成

{1 , 2 , 3 , … ,1000 }

省略号还允许将枚举扩展至某些无限集。例如，

对于所有整数的集合，可以写成

{… ，-3, -2 ,-1 ,0, 1, 2 , 3 , … } 或 {0 ，-1, 1 ,-2 ,2, -3 , 3 , … } 。

2.2 构建法(Set-builder notation)

集合构建法将集合指定为满足某些逻辑公式的所有元素的集合。更确切地说，若 P(x) 是一个取决于某个变量 x 的逻辑公式，其依据这个变量 x的值计算出真或假，则用

{ x: P(x) }

或

{ x | P(x) }

表示使 P(x) 为真的所有 x 的集合。例如，一个集合 F 可以表示如下：

F = { n | n 是一个整数，且 0 ≤ n ≤ 19 } 。

在这种记法中，垂直条“|”可读作“使得(such that)”,而整个公式可读作“F是使得 n 是一个位于范围 0(含)至19(含)的所有整数 n 的集合”。

一些逻辑公式(例如，S 是一个集合且 S ∉ S ) 不能用于构建法表示，因为不存在任何集合，其元素可以用公式来描述。有几种方法可以避免这个问题。可以证明公式定义了一个集合；这通常几乎是直接的，但可能非常困难。

我们可以引入一个一定包含所有具体集合的元素的更大集合U，并记为

{ x: x ∈U }

或

{ x ∈U | … }

我们也可以一次性定义 ⁠U ⁠，并遵循这样的惯例：符号竖线左侧出现的每个变量都代表 U ⁠ 的一个元素。这相当于说 ⁠ x ∈U 在集合构造器符号中是隐式的。在这种情况下，U ⁠ 通常称为论域(domain of discourse)或宇宙(Universe)。例如，按照小写拉丁字母可以表示实数而不能表示其他任何数的惯例，表达式

{ x | x ∉ ℚ }

或

{ x ∈ℝ | x ∉ ℚ }

其定义了非比数(irrational numbers)。

3. 其它表示法

这些表示法比较少见，但有些图书作者会这样表示。在不引起混淆的情况下，第一项为元素表达式，逗号后面写满足的条件。例如，二维平面上的上半平面：

$\mathbb{R}^{2}_{+} = \left \{ z = x + iy , x \in \mathbb{R} ,y > 0 \right \}$ 。

1. 说明

2. 常用表示法

2.1 枚举法(Roster Notation)

2.2 构建法(Set-builder notation)

3. 其它表示法

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