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机器学习数学基础：29.t检验

news 来源：原创 2025/9/21 21:48:08

t检验学习笔记

一、t检验的定义和用途

t检验是统计学中常用的假设检验方法，主要用于判断样本均值与总体均值间，或两个样本均值间是否存在显著差异。

在实际中应用广泛，例如在医学领域可用于比较两种药物的疗效；在教育领域，能评估不同教学方法对学生成绩的影响等，以此帮助判断实验或调查结果是否具有统计学意义。

二、t检验的基本原理

（一）t分布特性

t检验基于t分布。t分布是一种概率分布，与正态分布类似，但在样本量较小时，其尾部比正态分布更厚。这使得t分布在小样本情形下，能更好地应对样本的不确定性。

（二）t统计量计算

t检验的核心是计算t统计量。不同类型的t检验公式有所不同，但总体思路均是通过比较样本均值与总体均值，或两个样本均值的差异，同时考虑样本标准差和样本量，来衡量该差异是否显著。

以单样本t检验为例，公式为： $t\ =\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$ 。其中， $\bar{X}$ 是样本均值， $\mu$ 是总体均值， $S$ 是样本标准差， $n$ 是样本量。

若计算的t值较大，超出给定显著性水平下的临界值，意味着样本均值与总体均值差异显著，有理由拒绝原假设，认为样本并非来自该总体，或两样本所代表的总体均值存在差异。

三、t检验的分类及应用场景

（一）单样本t检验

目的：检验一个样本均值与已知总体均值是否有显著差异。
案例：已知某地区成年男性平均身高为175cm，现从该地区随机抽取50名成年男性，测得平均身高为178cm，标准差为10cm。判断这50名男性身高与该地区总体成年男性身高是否有显著差异。
- 计算过程
  - 明确已知条件： $\bar{X}\ =178$ ， $\mu \ = 175$ ， $\ = 10$ ， $\ = 50$ 。
  - 代入公式计算t值： $t\ =\frac{178 - 175}{10/\sqrt{50}}\ =\frac{3}{10/7.07}\ =\frac{3}{1.41}\approx2.13$ 。
  - 确定自由度 $df\ =n - 1\ =50 - 1\ =49$ ，选定显著性水平 $\alpha \ = 0.05$ ，查t分布表得临界值。
  - 若t值大于临界值，拒绝原假设，认为这50名男性平均身高与总体平均身高有显著差异；若小于临界值，接受原假设，认为无显著差异。

（二）独立样本t检验

目的：比较两个独立样本的均值，判断两个不同组（如实验组和对照组）间是否存在差异。
案例：对两种不同品牌电池进行续航测试，品牌A测试30个样本，平均续航10小时，标准差1.5小时；品牌B测试25个样本，平均续航9小时，标准差1.2小时。比较两种品牌电池续航能力是否有显著差异。
- 计算过程
  - 构建数据： $\bar{X}_{1}\ =10$ ， $S_{1}\ =1.5$ ， $n_{1}\ =30$ ； $\bar{X}_{2}\ =9$ ， $S_{2}\ =1.2$ ， $n_{2}\ =25$ 。
  - 计算合并方差 $S_{p}^{2}\ =\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\ =\frac{(30 - 1)\times1.5^{2}+(25 - 1)\times1.2^{2}}{30 + 25 - 2}\ =\frac{29\times2.25+24\times1.44}{53}\ =\frac{65.25+34.56}{53}\approx1.88$ 。
  - 计算t值： $t\ =\frac{\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}{\sqrt{S_{p}^{2}(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}})}}\ =\frac{10 - 9}{\sqrt{1.88\times(\frac{1}{30}+\frac{1}{25})}}\ =\frac{1}{\sqrt{1.88\times(\frac{5 + 6}{150})}}\ =\frac{1}{\sqrt{1.88\times\frac{11}{150}}}\approx2.64$ 。
  - 确定自由度 $df\ =n_{1}+n_{2}-2\ =30 + 25 - 2\ =53$ ，根据显著性水平 $\alpha \ = 0.05$ 查t分布表得临界值，比较t值与临界值判断是否有显著差异。

（三）配对样本t检验

目的：比较配对样本（如同一组对象前后两次测试数据）的均值差异，判断某种处理或时间因素等对结果的影响。
案例：对15名学生进行培训前后成绩测试，培训前平均成绩75分，培训后80分，成绩差值标准差为5分。判断培训是否有效提高学生成绩。
- 计算过程
  - 已知 $\bar{d}\ =80 - 75\ =5$ （ $\bar{d}$ 为成绩差值均值）， $S_{d}\ =5$ ， $\ = 15$ 。
  - 计算t值： $t\ =\frac{\bar{d}}{S_{d}/\sqrt{n}}\ =\frac{5}{5/\sqrt{15}}\approx3.87$ 。
  - 自由度 $df\ =n - 1\ =15 - 1\ =14$ ，根据 $\alpha \ = 0.05$ 查t分布表得临界值，比较t值与临界值判断培训是否有效。

四、t检验的步骤总结

（一）提出原假设（ $H_{0}$ ）和备择假设（ $H_{1}$ ）

单样本t检验： $H_{0}$ ： $\bar{X}\ =\mu$ ； $H_{1}$ ： $\bar{X}\neq\mu$ 。
独立样本t检验： $H_{0}$ ： $\mu_{1}\ =\mu_{2}$ ； $H_{1}$ ： $\mu_{1}\neq\mu_{2}$ 。
配对样本t检验： $H_{0}$ ： $\mu_{d}\ =0$ （ $\mu_{d}$ 为配对差值的总体均值）； $H_{1}$ ： $\mu_{d}\neq0$ 。

（二）计算t统计量

依据不同类型t检验的相应公式计算t值。

（三）确定自由度

按照不同类型t检验的自由度计算公式确定，如单样本和配对样本t检验自由度为 $n - 1$ ，独立样本t检验自由度为 $n_{1}+n_{2}-2$ 。

（四）查找临界值

根据选定的显著性水平和自由度，查阅t分布表找到临界值。

（五）做出决策

比较计算的t值与临界值，t值大于临界值，拒绝原假设；t值小于临界值，接受原假设。

五、注意事项

（一）数据正态性

t检验通常要求数据服从正态分布，小样本时尤其重要。若数据明显不服从正态分布，可能需进行数据转换或采用非参数检验方法。

（二）方差齐性

独立样本t检验中，一般要求两样本方差相等（方差齐性）。可通过方差齐性检验判断，不满足时可能需用校正的t检验方法。

（三）样本独立性

独立样本t检验中，样本应相互独立，无关联或依赖关系；配对样本t检验中，配对的合理性和准确性很关键，要确保配对依据合理有效。

六、原假设与备择假设的设定原则

（一）完备且对立原则

原假设和备择假设构成完备事件组且相互对立，在假设检验中必有且仅有一个成立。例如，判断硬币是否均匀， $H_{0}$ ：硬币均匀（正面朝上概率 $\ = 0.5$ ）； $H_{1}$ ：硬币不均匀（ $p\neq0.5$ ），涵盖所有情况且不能同时成立。

（二）先备择后原假设原则

通常先确定备择假设，因其往往是研究者关心、欲支持或证实的内容，相对更易明确。比如，研究者猜测新药物比传统药物疗效好， $H_{1}$ ：新药物疗效优于传统药物； $H_{0}$ ：新药物疗效不比传统药物好。

（三）等号原则

等号“ $\ =$ ”总放在原假设上。原假设一般表示变量间无差异、无影响或参数等于特定值等情况。例如，比较两总体均值， $H_{0}$ ： $\mu_1 \ = \mu_2$ ； $H_{1}$ ： $\mu_1\neq\mu_2$ 。

（四）主观性原则

假设确定具主观性，不同研究者因研究目的、背景知识和角度不同，对同一实际问题可能提出相反假设，但都应符合最终目的。比如，研究政策对经济增长影响，关注政策是否有效时， $H_{0}$ ：政策对经济增长无影响， $H_{1}$ ：政策对经济增长有影响；关注政策是否有负面效果时， $H_{0}$ ：政策对经济增长无负面影响， $H_{1}$ ：政策对经济增长有负面影响。

（五）目的导向原则

假设检验主要是收集证据拒绝原假设。原假设通常是被怀疑、需样本数据提供证据否定的假设。有足够证据时拒绝原假设，接受备择假设；无充分证据时，不意味着完全接受原假设，只是暂时无理由否定。

七、单尾概率和双尾概率在t检验中的应用

（一）单尾概率在t检验中的应用

案例背景：某公司研发了一种新型减肥药物，为了检验其效果，随机选取了50名肥胖患者作为样本进行临床试验。已知未使用该药物时，肥胖人群的平均体重下降量为0kg（可视为总体均值）。经过一段时间使用后，测得这50名患者的平均体重下降了3kg，标准差为1.5kg。公司想要了解这种新型减肥药物是否能显著降低体重，即只关心体重是否下降，不关心是否会使体重增加，此时采用单尾t检验。

假设设定：

原假设 $H_0$ ： $\mu \geq 0$ （药物没有显著降低体重，即总体平均体重下降量大于等于0）
备择假设 $H_1$ ： $\mu < 0$ （药物显著降低体重，即总体平均体重下降量小于0）

检验过程：

计算t统计量：已知 $\bar{X} \ = 3$ （样本均值）， $\mu \ = 0$ （总体均值）， $\ = 1.5$ （样本标准差）， $\ = 50$ （样本量），根据单样本t检验公式 $t\ =\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$ ，可得 $t\ =\frac{3 - 0}{1.5/\sqrt{50}}\approx14.14$ 。
确定自由度 $\ = n - 1 \ = 50 - 1 \ = 49$ ，假设选定显著性水平 $\alpha \ = 0.05$ ，在t分布表中查找单尾概率 $P(1)\ =0.05$ 对应的临界值（假设为 - 1.677，实际值需根据具体精确的t分布表确定）。
由于计算得到的t值 $14.14 > - 1.677$ ，且在单尾检验中，这里是左侧单尾检验，当t值小于临界值时拒绝原假设，而此例中t值远大于临界值，说明样本数据不支持原假设，拒绝 $H_0$ ，接受 $H_1$ ，即认为这种新型减肥药物能显著降低体重。

（二）双尾概率在t检验中的应用

案例背景：研究人员想要比较两种不同品牌的灯泡使用寿命是否存在差异。分别从品牌A和品牌B的灯泡中随机抽取了30个和25个样本进行测试。品牌A灯泡样本的平均使用寿命为1000小时，标准差为50小时；品牌B灯泡样本的平均使用寿命为980小时，标准差为40小时。研究人员不确定哪个品牌的灯泡使用寿命更长或更短，只是关注它们之间是否有显著差异，所以采用双尾t检验。