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代码随想录D50-51 图论 Python

news 来源：原创 2025/9/21 20:13:57

理论基础

理论基础部分依然沿用代码随想录教程中的介绍：

图的种类

度

连通性

连通性用于表示图中节点的连通情况。

如果有节点不能到达其他节点，则为非连通图，想象将多个水分子表示为图，不考虑非键作用，这张图就不是连通图。

强连通图的概念只针对有向图，因为有向图边的方向也会影响各个节点之间的连通性。

无向图中节点3 、节点4 构成的子图不是该无向图的联通分量。因为必须是极大联通子图才能是连通分量，所以必须是节点3、节点4、节点6 构成的子图才是连通分量。

图的构造

- 邻接矩阵 使用二维数组来表示图结构。邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。

邻接矩阵的优点：

表达方式简单，易于理解
检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。

缺点：

遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费且遍历边的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费

- 邻接表 使用数组 + 链表的方式来表示。邻接表是从边的数量来表示图，有多少边才会申请对应大小的链表。

邻接表的优点：

对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
遍历节点连接情况相对容易

缺点：

检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点连接其他节点的数量。
实现相对复杂，不易理解

图的遍历方式

图的遍历方式基本是两大类：

深度优先搜索（dfs）
广度优先搜索（bfs）

在讲解二叉树章节的时候，其实就已经讲过这两种遍历方式。

二叉树的递归遍历，是dfs 在二叉树上的遍历方式。

二叉树的层序遍历，是bfs 在二叉树上的遍历方式。

深度优先搜索理论基础重要！

对比bfs（广度优先搜索来说）：

dfs是指定一个方向去搜，不到黄河不回头，直到遇到绝境了，搜不下去了，再换方向（换方向的过程就涉及到了回溯），回到上一个节点，然后继续。
bfs是先把本节点所连接的所有节点遍历一遍，走到下一个节点的时候，再把连接节点的所有节点遍历一遍，搜索方向更像是广度，四面八方的搜索过程。

因此我们可以发现，深搜和广搜在图结构上是有一个范式框架的，首先学习深搜框架：

深度优先搜索的本质是回溯算法，回溯就涉及到递归。因此可以使用递归框架：

1. 确认递归函数，确认传入参数

2. 确认函数终止条件

3. 图中涉及到节点出发路径，因此要额外加上路径

98. 所有可达路径

要点：

找到从1到n的所有路径，图遍历方法的考察。输入第一行为节点数和边数量，之后为边索引。

解法：

1. 确认递归函数，参数

首先我们dfs函数一定要存一个图，用来遍历的，需要存一个目前我们遍历的节点，定义为x。

还需要存一个n，表示终点，我们遍历的时候，用来判断当 x==n 时候标明找到了终点。

2. 确认终止条件

当目前遍历的节点为最后一个节点 n 的时候就找到了一条从出发点到终止点的路径。

3. 处理目前搜索节点出发的路径

接下来是走，当前遍历节点x的下一个节点。这个步骤的逻辑如下：

首先是要找到 x节点指向了哪些节点。

然后选中的x所指向的节点，加入到单一路径来。

最后进入下一层递归

实现：

def dfs(graph, x, n, path, result):if x == n:## 一定要注意使用copy 保证过程中所有路径的记录result.append(path.copy())returnfor i in range(1, n + 1):if graph[x][i] == 1:# 判断边之后将节点路径加入path.append(i)# 递归继续深度搜索dfs(graph, i, n, path, result)# 退出dfs说明当前路径结束 回溯path.pop()def main():n, m = map(int, input().split())## 方便直接对应节点graph = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]for i in range(m):s, t = map(int, input().split())graph[s][t] = 1 result = []## 启动深度优先搜索dfs(graph, x=1, n=n, path=[1], result=result)if not result:print(-1)else:## 注意输出格式for path in result:print((' ').join(map(str, path)))if __name__ == "__main__":main()

广度优先搜索理论基础重要！

广搜的搜索方式就适合于解决两个点之间的最短路径问题。

因为广搜是从起点出发，以起始点为中心一圈一圈进行搜索，一旦遇到终点，记录之前走过的节点就是一条最短路。

当然，也有一些问题是广搜和深搜都可以解决的，例如岛屿问题，这类问题的特征就是不涉及具体的遍历方式，只要能把相邻且相同属性的节点标记上就行。

BFS是一圈一圈的搜索过程，我们用一个方格地图，假如每次搜索的方向为上下左右（不包含斜上方），那么给出一个start起始位置，那么BFS就是从四个方向走出第一步。

搜索的直观过程如下：

在广度优先搜索中，即使有障碍，搜索也是能够继续执行的。

99. 岛屿数量广度优先

要点：

遇到一个没有遍历过的节点陆地，计数器就加一，然后把该节点陆地所能遍历到的陆地都标记上。

在广度搜索函数中，我们需要指定一个优先队列deque，以保证搜索可以逐层进行。

同时，考虑搜索的剪枝，我们需要在搜索过程中严谨地维护已访问节点，以及判断可以遍历的合法节点。

实现：


from collections import dequedirections = [[0, 1], [1, 0], [-1, 0], [0, -1]]def bfs(graph, visit, x, y):## 初始化一个队列 执行先进先出que = deque([])## 将当前传入节点加入队列que.append([x, y])## 只要计算了节点 就先记录visit防止重复visit[x][y] = Truewhile que:cur_x, cur_y = que.popleft()## 遍历四个方向上的所有节点 每个节点遍历完就加入队列 等待下一层for i, j in directions:next_x, next_y = cur_x + i, cur_y + j## 排除不合法节点if next_y < 0 or next_x < 0 or next_x >= len(graph) or next_y >= len(graph[0]):continue## 将之前没有访问的节点进行记录 标记visit if not visit[next_x][next_y] and graph[next_x][next_y] == 1:visit[next_x][next_y] = True## 同时将该节点加入队列 进入下一层遍历que.append([next_x, next_y])def main():n, m = map(int, input().split())graph = []## 初始化节点分布for i in range(n):graph.append(list(map(int, input().split())))visit = [[False] * m for _ in range(n)]res = 0## 逐个节点遍历 每次执行广度优先 直到队列元素周围没有岛屿for i in range(n):for j in range(m):if graph[i][j] == 1 and not visit[i][j]:res += 1bfs(graph, visit, i, j)print(res)if __name__ == '__main__':main()

99. 岛屿数量深度优先

要点：

对于节点的访问而不是路径的访问，深搜的关联条件会多一些：

1. 确认递归函数，参数

递归函数对节点的四个方向进行遍历，如果存在符合要求的节点，就一直遍历直到一次深搜终止。此时无需pop，因为不用记录路径。回到四个方向的循环中会自动开始下一个方向的遍历，以此找完全部数值为1的节点。

2. 确认终止条件

当前节点的值为0，或者已经被遍历过，则终止并回退。

3. 处理目前搜索节点出发的路径

在外层首先做一个对所有节点的遍历，保证代入递归的节点符合岛屿+未访问的要求。一旦进入递归，就意味着我们来到了一个新的岛屿。

实现：


directions = [[0, 1], [1, 0], [-1, 0], [0, -1]]def dfs(graph, visit, x, y):## 没有岛屿或下一个节点已经被访问if graph[x][y] == 0 or visit[x][y]:return## 记录当前访问的节点visit[x][y] = True## 根据方向访问下一个节点for i, j in directions:next_x, next_y = x + i, y + j # 排除不合法节点if next_x < 0 or next_x >= len(graph) or next_y < 0 or next_y >= len(graph[0]):continue## 执行深度优先搜索dfs(graph, visit, next_x, next_y)def main():n, m = map(int, input().split())graph = []## 初始化节点分布for i in range(n):graph.append(list(map(int, input().split())))res = 0visit = [[False] * m for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(m):## 深搜递归退出回到循环时意味着上一个岛屿一定被遍历完了if graph[i][j] == 1 and not visit[i][j]:res += 1 dfs(graph, visit, i, j)print(res)

99. 岛屿的最大面积深度优先

要点：

本题需要比对不同岛屿之间的最大面积，言外之意就是要记录遍历过的岛屿，使用深度优先搜索时可以在dfs内部计数，更简便的技巧是定义全局变量，无参实现主函数和dfs的传递。

实现：

directions = [[0, 1], [1, 0], [0, -1], [-1, 0]]def dfs(graph, visit, x, y):global resultif graph[x][y] == 0 or visit[x][y]:returnvisit[x][y] = True  # 先标记为访问过result += 1  # 计数for i, j in directions:next_x, next_y = x + i, y + j if next_x < 0 or next_x >= len(graph) or next_y < 0 or next_y >= len(graph[0]):continuedfs(graph, visit, next_x, next_y)  # 使用next_x和next_y进行递归调用def main():global resultn, m = map(int, input().split())graph = []for i in range(n):graph.append(list(map(int, input().split())))max_res = 0visit = [[False] * m for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(m):if graph[i][j] == 1 and not visit[i][j]:result = 0  # 初始化为0dfs(graph, visit, i, j)max_res = max(max_res, result)print(max_res)if __name__ == "__main__":main()

99. 岛屿的最大面积广度优先

要点：

广度优先搜索仍然遵循层级关系，使用deque记录层次；在每次遍历到新的节点时记录即可。

实现：


from collections import dequedirections = [[0, 1], [1, 0], [0, -1], [-1, 0]]def bfs(graph, visit, x, y):result = 1que = deque([])que.append([x, y])visit[x][y] = Truewhile que:cur_x, cur_y = que.popleft()for i, j in directions:next_x, next_y = cur_x + i, cur_y + j if next_x < 0 or next_x >= len(graph) or next_y < 0 or next_y >= len(graph[0]):continueif not visit[next_x][next_y] and graph[next_x][next_y] == 1:visit[next_x][next_y] = Trueque.append([next_x, next_y])result += 1return resultdef main():n, m = map(int, input().split())graph = []for i in range(n):graph.append(list(map(int, input().split())))max_res = 0visit = [[False] * m for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(m):if graph[i][j] == 1 and not visit[i][j]:result = bfs(graph, visit, i, j)max_res = max(max_res, result)print(max_res)

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编程日记 2025/9/20 20:29:25

基于Spring Boot+Vue的宠物服务管理系统(源码+文档)

项目简介宠物服务管理系统实现了以下功能： 基于Spring BootVue的宠物服务管理系统的主要使用者分为用户管理模块，由于系统运行在互联网络中，一些游客或者病毒恶意进行注册，产生大量的垃圾用户信息，管理员可以对这些…...

编程日记 2025/9/20 5:23:56

简要分析LeetCode树经典题目（Java）

目录开场白实战环节准备工作遍历问题 LeetCode144. 二叉树的前序遍历方法一方法二 LeetCode94. 二叉树的中序遍历 LeetCode145. 二叉树的后序遍历方法一方法二 LeetCode102. 二叉树的层序遍历 LeetCode103. 二叉树的锯齿形层序遍历 LeetCode107. 二叉树的…...

编程日记 2025/9/16 9:58:14

vue3开发打年兽功能

1.效果 WeChat_20250217192041 2.代码 2.1 index.vue <template><div class"pages"><TopNavigationYleftTitle"打年兽"ruleIconColor"#fff"backgroundImage""svgIpcn"backIcon4"gradientBackgroundColor&q…...

编程日记 2025/9/21 8:04:37

动手学Agent——Day2

文章目录一、用 Llama-index 创建 Agent1. 测试模型2. 自定义一个接口类3. 使用 ReActAgent & FunctionTool 构建 Agent 二、数据库对话 Agent1. SQLite 数据库1.1 创建数据库 & 连接1.2 创建、插入、查询、更新、删除数据1.3 关闭连接建立数据库 2. ollama3. 配置对话…...

编程日记 2025/9/19 19:47:46

如何在 GitHub 中创建一个空目录？

GitHub 是开发人员必不可少的工具，它提供了存储、共享和协作代码的平台。一个常见的问题是如何在 GitHub 存储库中创建一个空目录或文件夹。GitHub 不支持直接创建空目录。但是，有一种解决方法是使用一个虚拟文件，通常是一个 .gitkeep 文件。…...

编程日记 2025/9/20 19:30:20

理论基础

图的种类

度

连通性

图的构造

图的遍历方式

深度优先搜索理论基础 重要！

98. 所有可达路径

要点：

解法：

实现：

广度优先搜索理论基础 重要！

99. 岛屿数量 广度优先

要点：

实现：

99. 岛屿数量 深度优先

要点：

实现：

99. 岛屿的最大面积 深度优先

要点：

实现：

99. 岛屿的最大面积 广度优先

要点：

实现：